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寒假訓(xùn)練08雙曲線 [2018集寧一中]如圖，若，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)． （1）若雙曲線上一點(diǎn)到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于7，求點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離； （2）若是雙曲線左支上的點(diǎn)，且，求的面積． 【答案】（1）10或22；（2）16． 【解析】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故，，． （1）由雙曲線的定義得， 又雙曲線上一點(diǎn)到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于16， 假設(shè)點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于，則，解得或． 由于，，， 故點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為10或22． （2）將兩邊平方，得， ∴， 在中，由余弦定理得， ∴，的面積． 一、選擇題 1．[2018廣安診斷]若雙曲線的一條漸近線為，則實(shí)數(shù)（） A． B． C． D． 2．[2018寧陽一中]橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則應(yīng)滿足的條件 是（） A． B． C． D． 3．[2018東城區(qū)期末]已知雙曲線上一點(diǎn)到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于4， 那么點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于（） A．2 B．4 C．5 D．6 4．[2018襄陽月考]已知，是雙曲線的焦點(diǎn)，是雙曲線的一條漸近線，離心率等于的橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)相同，是橢圓與雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)，則（） A． B． C． D．且且 5．[2018銀川一中]已知雙曲線的方程為，則下列關(guān)于雙曲線說法正確的是（） A．虛軸長為4 B．焦距為 C．離心率為 D．漸近線方程為 6．[2018懷化三中]設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)．若雙曲線上存在點(diǎn)，使，且，則雙曲線離心率為（） A． B． C． D． 7．[2018牡丹江一中]橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，，點(diǎn)是 橢圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則的面積是（） A．4 B．2 C．1 D． 8．[2018長安區(qū)一中]若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（） A． B． C．或 D．以上答案均不對 9．[2018中山一中]過雙曲線的左焦點(diǎn)作軸的垂線，垂線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為，則雙曲線的離心率為（） A． B．4 C．3 D．2 10．[2018棗莊三中]設(shè)雙曲線的半焦距為，設(shè)直線過點(diǎn)和兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為（） A．或 B． C．或 D． 11．[2018長治二中]已知雙曲線：的離心率，圓的圓心是拋物線的焦點(diǎn)，且截雙曲線的漸近線所得的弦長為2，則圓的方程為（） A． B． C． D． 12．[2018撫州聯(lián)考]過雙曲線：的右焦點(diǎn)作軸的垂線，與在第一象限的交點(diǎn)為，且直線的斜率大于2，其中為的左頂點(diǎn)，則的離心率的取值范圍為（） A． B． C． D． 二、填空題 13．[2018烏魯木齊七十中]若雙曲線的一條漸近線方程為，則其離心率為________． 14．[2018集寧一中]已知雙曲線的漸近線方程是，且過點(diǎn)，求雙曲線的方程_______． 15．[2018湖濱中學(xué)]已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，若上存在點(diǎn)使為等腰三角形，且其頂角為，則的值是_______． 16．[2018石嘴山三中]設(shè)雙曲線的半焦距為，直線經(jīng)過雙曲線的右頂點(diǎn)和虛軸的上端點(diǎn)．已知原點(diǎn)到直線的距離為，雙曲線的離心率為______． 三、解答題 17．[2018寧夏期末]已知雙曲線：與橢圓有共同的焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上． （1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）以為中點(diǎn)作雙曲線的一條弦，求弦所在直線的方程． 18．[2018西安月考]求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： （1）焦點(diǎn)在軸上，虛軸長為8，離心率為； （2）兩頂點(diǎn)間的距離是6，兩焦點(diǎn)的連線被兩頂點(diǎn)和中心四等分； （3）一條漸近線方程為，且與橢圓有相同的焦點(diǎn)； （4）經(jīng)過點(diǎn)，且與雙曲線有共同的漸近線．  寒假訓(xùn)練08雙曲線 一、選擇題 1．【答案】B 【解析】∵雙曲線的方程為，∴雙曲線的漸近線方程為， 又∵一條漸近線方程為，∴．故選B． 2．【答案】C 【解析】雙曲線的焦點(diǎn)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)， 橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)， 可得，，解得．故選C． 3．【答案】D 【解析】由題意得，∴，負(fù)值舍去，∴選D． 4．【答案】A 【解析】由題意得，∴，∵，∴， 又，， ∴，∴，故選A． 5．【答案】D 【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)： 對于A，雙曲線的方程為，其中，虛軸長為6，則A錯(cuò)誤； 對于B，雙曲線的方程為，其中，， 則，則焦距為，則B錯(cuò)誤； 對于C，雙曲線的方程為，其中，， 則，則離心率為，則C錯(cuò)誤； 對于D，雙曲線的方程為，其中，， 則漸近線方程為，則D正確．故選D． 6．【答案】A 【解析】根據(jù)雙曲線的定義、余弦定理以及這三個(gè)條件， 列方程組得，化簡得， 故離心率，故選A． 7．【答案】C 【解析】由題意得，，， ∴， ， 因此為直角三角形，的面積是，故選C． 8．【答案】A 【解析】由于方程表示雙曲線，屬于，解得，故選A． 9．【答案】D 【解析】把代入雙曲線方程，由，可得， ∵三角形的面積為，∴，∴，∴．故選D． 10．【答案】D 【解析】由題意，直線的方程為，即， ∴原點(diǎn)到的距離為， ∵原點(diǎn)到的距離為，∴，整理可得， ∴，∴或，∴或， ∵，， 故不合題意，舍去，雙曲線的離心率為．故選D． 11．【答案】C 【解析】由題意，即，， 可得雙曲線的漸近線方程為，即為， 圓的圓心是拋物線的焦點(diǎn)，可得， 圓截雙曲線的漸近線所得的弦長為2， 由圓心到直線的距離為， 可得，解得，可圓的方程為，故選C． 12．【答案】B 【解析】，設(shè)，代入可解得，， 由于，即，整理得， 又，∴，即， ∴， (舍)或．故選B． 二、填空題 13．【答案】或 【解析】由題意得，當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，此時(shí)， 此時(shí)雙曲線的離心率為， 當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，此時(shí)， 此時(shí)雙曲線的離心率為． 故答案為或． 14．【答案】 【解析】雙曲線的漸近線方程是，∴， 由過點(diǎn)得．由，得，， ∴雙曲線的方程為．故答案為． 15．【答案】 【解析】由題意可得，， ∴，代入雙曲線的方程可得， ∴，∴，故答案是． 16．【答案】2 【解析】∵直線過，兩點(diǎn)，∴直線的方程為，即， ∵原點(diǎn)到直線的距離為，∴． 又，∴，即；∴或； 又∵，∴，；故離心率為；故答案為2． 三、解答題 17．【答案】（1）；（2）． 【解析】由已知橢圓方程求出其焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得雙曲線的焦點(diǎn)為，， 由雙曲線定義，即， ∴，，∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （2）設(shè)，，∵，在雙曲線上，∴， ①－②得，∴，， 故弦所在直線的方程為，即． 18．【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）． 【解析】（1）設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，， 從而，，代入，得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （2）由兩頂點(diǎn)間的距離是6得，即． 由兩焦點(diǎn)的連線被兩頂點(diǎn)和中心四等分可得，即， 于是有． 由于焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸不確定，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或． （3）方法1：橢圓方程可化為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為， 故可設(shè)雙曲線的方程為，其漸近線方程為，則， 結(jié)合，解得，，∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為． 方法2：由于雙曲線的一條漸近線方程為，則另一條漸近線方程為． 故可設(shè)雙曲線的方程為，即， ∵雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)，∴，解得， ∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （4）由題意可設(shè)所求雙曲線方程為， 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得， ∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．