(江蘇專用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 第29練 立體幾何中的向量方法、拋物線試題 理.docx
《(江蘇專用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 第29練 立體幾何中的向量方法、拋物線試題 理.docx》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(江蘇專用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 第29練 立體幾何中的向量方法、拋物線試題 理.docx(13頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
第29練 立體幾何中的向量方法、拋物線 [明晰考情] 1.命題角度:空間角的計算,頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì). 2.題目難度:中檔難度. 考點(diǎn)一 空間角的計算 要點(diǎn)重組 設(shè)直線l,m的方向向量分別為a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).平面α,β的法向量分別為μ=(a3,b3,c3),v=(a4,b4,c4)(以下相同). (1)線線夾角 設(shè)l,m的夾角為θ,則 cosθ==. (2)線面夾角 設(shè)直線l與平面α的夾角為θ, 則sinθ=|cos〈a,μ〉|=. (3)二面角 設(shè)α-l-β的夾角為θ(0≤θ≤π), 則|cosθ|=|cos〈μ,v〉|=. 方法技巧 利用空間向量求解立體幾何中的綜合問題,要根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標(biāo)系,將題中條件數(shù)量化,利用計算方法求解幾何問題. 1.如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,AB=BC=2,AD=PD=4,∠BAD=60,∠ADP=120,點(diǎn)E為PA的中點(diǎn). (1)求證:BE∥平面PCD; (2)若平面PAD⊥平面ABCD,求直線BE與平面PAC所成角的正弦值. (1)證明 取PD中點(diǎn)F,連結(jié)CF,EF. 因?yàn)辄c(diǎn)E為PA的中點(diǎn), 所以EF∥AD且EF=AD, 又因?yàn)锽C∥AD且BC=AD, 所以EF∥BC且EF=BC, 所以四邊形BCFE為平行四邊形,所以BE∥CF, 又BE?平面PCD,CF?平面PCD, 所以BE∥平面PCD. (2)解 在平面ABCD中,過點(diǎn)D作DG⊥AD,在平面PAD中,過點(diǎn)D作DH⊥AD. 因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,DG?平面ABCD,所以DG⊥平面PAD, 又DH?平面PAD, 所以DG⊥DH,所以DA,DG,DH兩兩互相垂直. 以D為原點(diǎn),DA,DG,DH所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz(如圖), 則A(4,0,0),B(3,,0),C(1,,0),P,E, 所以=(-3,,0),=,=, 設(shè)n=(x,y,z)是平面ACP的一個法向量, 則即 取x=1,則y=,z=,得n=(1,,). 設(shè)直線BE與平面PAC所成角為θ, 則sinθ=|cos〈n,〉|==, 所以直線BE與平面PAC所成角的正弦值為. 2.如圖,在五面體ABCDEF中,F(xiàn)A⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M為EC的中點(diǎn),AF=AB=BC=FE=AD. (1)求異面直線BF與DE所成的角的大小; (2)證明:平面AMD⊥平面CDE; (3)求二面角A-CD-E的余弦值. (1)解 如圖所示,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),,,所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz. 設(shè)AB=1,依題意得 B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1),F(xiàn)(0,0,1),M,A(0,0,0). 則=(-1,0,1),=(0,-1,1), 于是cos〈,〉===. 所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60. (2)證明 由=,=(-1,0,1), =(0,2,0),可得=0,=0. 因此,CE⊥AM,CE⊥AD. 又AM∩AD=A,AM?平面AMD,AD?平面AMD, 故CE⊥平面AMD. 又CE?平面CDE,所以平面AMD⊥平面CDE. (3)解 設(shè)平面CDE的法向量為u=(x,y,z), 則即 令x=1,可得u=(1,1,1). 又由題設(shè)知,平面ACD的一個法向量為v=(0,0,1). 所以cos〈u,v〉===. 因?yàn)槎娼茿-CD-E為銳角,所以其余弦值為. 3.如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,AB∥CD,∠DAB=90,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中點(diǎn). (1)證明:平面PAD⊥平面PCD; (2)求AC與PB所成角的余弦值; (3)求平面AMC與平面BMC所成二面角(銳角)的余弦值. (1)證明 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 則A(0,0,0),D(1,0,0),P(0,0,1),B(0,2,0),C(1,1,0),M. 因?yàn)椋?0,0,1),=(0,1,0),故=0, 所以AP⊥DC. 由題設(shè)知AD⊥DC,且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線,所以DC⊥平面PAD. 又DC?平面PCD,所以平面PAD⊥平面PCD. (2)解 因?yàn)椋?1,1,0),=(0,2,-1), 所以||=,||=,=2, 所以cos〈,〉==. (3)解 設(shè)平面AMC的一個法向量為n1=(x1,y1,z1). 則 取x1=1,得y1=-1,z1=2,所以n1=(1,-1,2). 同理可得平面BMC的一個法向量為n2=(1,1,2). 因?yàn)閏os〈n1,n2〉===. 所以平面AMC與平面BMC所成二面角(銳角)的余弦值為. 4.(2018江蘇省邗江中學(xué)調(diào)研)如圖,在三棱錐A-BCD中,已知△ABD,△BCD都是邊長為2的等邊三角形,E為BD的中點(diǎn),且AE⊥平面BCD,F(xiàn)為線段AB上一動點(diǎn),記=λ. (1)當(dāng)λ=時,求異面直線DF與BC所成角的余弦值; (2)當(dāng)CF與平面ACD所成角的正弦值為時,求λ的值. 解 連結(jié)CE, 以EB,EC,EA所在直線分別為x,y,z軸, 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 則A(0,0,),B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0), 因?yàn)镕為線段AB上一動點(diǎn),且=λ, 則=λ=λ(-1,0,)=(-λ,0,λ), 所以F(1-λ,0,λ). (1)當(dāng)λ=時,F(xiàn),=,=(1,-,0), 所以cos〈,〉==,所以異面直線DF與BC所成角的余弦值為. (2)=(1-λ,-,λ),=(1,0,), 設(shè)平面ACD的一個法向量為n=(x,y,z), 則 取x=,得n=(,-1,-1), 設(shè)CF與平面ACD所成的角為θ,則sin θ=|cos〈,n〉| ==. 解得λ=或λ=2(舍去),所以λ=. 考點(diǎn)二 拋物線 要點(diǎn)重組 (1)拋物線方程中,字母p的幾何意義是拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離,等于焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離.牢記它對解題非常有益. (2)求拋物線方程時,若由已知條件可知曲線是拋物線,要依據(jù)題設(shè)條件,弄清拋物線的對稱軸和開口方向,再正確選擇拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程. (3)在解題中,拋物線上的點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線三者通常與拋物線的定義相聯(lián)系,要注意相互轉(zhuǎn)化. 5.(1)已知拋物線關(guān)于x軸對稱,它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),并且經(jīng)過點(diǎn)M(2,-2),求它的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)已知A,B是拋物線y2=2px(p>0)上不同的兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若OA=OB,且△AOB的垂心恰是此拋物線的焦點(diǎn)F,求直線AB的方程. 解 (1)∵拋物線關(guān)于x軸對稱,它的頂點(diǎn)在原點(diǎn),并且經(jīng)過點(diǎn)M(2,-2), ∴可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0). ∵點(diǎn)M在拋物線上, ∴(-2)2=2p2,即p=2. 因此,所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=4x. (2)如圖所示.設(shè)A(x0,y0), 由題意可知,B(x0,-y0). 又F是△AOB的垂心, 則AF⊥OB,∴kAFkOB=-1, 即=-1,∴y=x0. 又y=2px0,∴x0=2p+=. 因此直線AB的方程為x=. 6.已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),斜率為2的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)兩點(diǎn),且AB=9. (1)求該拋物線的方程; (2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),C為拋物線上一點(diǎn),若=+λ,求λ的值. 解 (1)直線AB的方程是y=2, 與y2=2px聯(lián)立,從而有4x2-5px+p2=0, 又x1,2=,所以x1+x2=. 由拋物線定義得AB=x1+x2+p=9, 所以p=4, 所以拋物線方程為y2=8x. (2)由p=4,4x2-5px+p2=0,化簡得x2-5x+4=0, 從而x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4, 從而A(1,-2),B(4,4). 設(shè)=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(1+4λ,-2+4λ). 又因?yàn)閥=8x3, 即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1), 即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2. 綜上λ=0或λ=2. 7.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(8,-4),P(2,t)(t<0)在拋物線y2=2px(p>0)上. (1)求p,t的值; (2)過點(diǎn)P作PM垂直于x軸,M為垂足,直線AM與拋物線的另一交點(diǎn)為B,點(diǎn)C在直線AM上.若PA,PB,PC的斜率分別為k1,k2,k3,且k1+k2=2k3,求點(diǎn)C的坐標(biāo). 解 (1)將點(diǎn)A(8,-4)代入y2=2px,得p=1. 所以拋物線的方程為y2=2x. 將點(diǎn)P(2,t)代入y2=2x,得t=2. 因?yàn)閠<0,所以t=-2. (2)依題意,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0), 直線AM的方程為y=-x+. 聯(lián)立解得B. 所以k1=-,k2=-2, 代入k1+k2=2k3,得k3=-, 從而直線PC的方程為y=-x+, 聯(lián)立解得C. 8.已知傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線Γ:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F,與拋物線Γ相交于A,B兩點(diǎn),且AB=8. (1)求拋物線Γ的方程; (2)過點(diǎn)P(12,8)的兩條直線l1,l2分別交拋物線Γ于點(diǎn)C,D和E,G,線段CD和EG的中點(diǎn)分別為M,N.如果直線l1與l2的傾斜角互余,求證:直線MN經(jīng)過一定點(diǎn). (1)解 由題意可設(shè)直線AB的方程為y=x-, 由消去y整理得x2-3px+=0, Δ=9p2-4=8p2>0,令A(yù)(x1,y1),B(x2,y2), 則x1+x2=3p, 由拋物線的定義得AB=x1+x2+p=4p=8,∴p=2. ∴拋物線的方程為y2=4x. (2)證明 設(shè)直線l1,l2的傾斜角分別為α,β, 由題意知,α,β≠. 直線l1的斜率為k,則k=tanα. ∵直線l1與l2的傾斜角互余, ∴tanβ=tan= ===, ∴直線l2的斜率為. ∴直線CD的方程為y-8=k(x-12), 即y=k(x-12)+8. 由 消去x整理得ky2-4y+32-48k=0, 設(shè)C(xC,yC),D(xD,yD), ∴yC+yD=, ∴xC+xD=24+-, ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為. 以代替點(diǎn)M坐標(biāo)中的k, 可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為(12+2k2-8k,2k), ∴kMN==. ∴直線MN的方程為 y-2k=[x-(12+2k2-8k)], 即y=x-10, 顯然當(dāng)x=10時,y=0, 故直線MN經(jīng)過定點(diǎn)(10,0). 1.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥AD,BC=,AB=1,BD=PA=2. (1)求異面直線BD與PC所成角的余弦值; (2)求二面角A-PD-C的余弦值. 解 (1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD,AB?平面ABCD, AD?平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD. 又AD⊥AB, 故分別以AB,AD,AP所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 根據(jù)條件得AD=. 所以B(1,0,0),D(0,,0), C,P(0,0,2), 從而=(-1,,0),=. 設(shè)異面直線BD,PC所成的角為θ, 則cosθ=|cos〈,〉|= ==. 即異面直線BD與PC所成角的余弦值為. (2)因?yàn)锳B⊥平面PAD,所以平面PAD的一個法向量為=(1,0,0), 設(shè)平面PCD的一個法向量為n=(x,y,z), 由n⊥,n⊥,=,=(0,,-2), 得解得 不妨取z=3,得n=(2,2,3). 設(shè)二面角A-PD-C的大小為φ, 則cosφ=cos〈,n〉===. 即二面角A-PD-C的余弦值為. 2.(2018江蘇省泰州中學(xué)月考)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,四邊形AA1C1C是邊長為4的正方形,AB=3,BC=5. (1)求直線A1B與平面BB1C1所成角的正弦值; (2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值; (3)證明:在線段BC1上存在點(diǎn)D,使得AD⊥A1B,并求的值. 解 (1)如圖,以A為原點(diǎn),AC,AB,AA1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz, 則B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4). 則=(0,0,-4),=(4,-3,4), 設(shè)平面B1BC1的法向量為m=(x,y,z), 則即 令x=3,則y=4,所以m=(3,4,0), 又=(0,3,-4). 設(shè)直線A1B與平面BB1C1所成的角為α, 則sin α=|cos〈m,A1B〉|==, 所以直線A1B與平面BB1C1所成角的正弦值為. (2)設(shè)平面A1BC1的法向量為n=(x,y,z), 則即 令z=3,則x=0,y=4,所以n=(0,4,3). 由(1)可得平面B1BC1的法向量m=(3,4,0). 所以cos〈n,m〉==. 由圖形知二面角A1-BC1-B1為銳角, 所以二面角A1-BC1-B1的余弦值為. (3)設(shè)D(x,y,z)是線段BC1上一點(diǎn), 且=λBC1(0≤λ≤1), 所以(x,y-3,z) =λ(4,-3,4), 解得x=4λ,y=3-3λ,z=4λ, 所以=(4λ,3-3λ,4λ), 由A1B=0,得9-25λ=0,解得λ=. 所以在線段BC1上存在點(diǎn)D,使得AD⊥A1B,此時=. 3.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F,直線y=4與y軸的交點(diǎn)為P,與拋物線C的交點(diǎn)為Q,且QF=2PQ. (1)求p的值; (2)已知點(diǎn)T(t,-2)為C上一點(diǎn),M,N是C上異于點(diǎn)T的兩點(diǎn),且滿足直線TM和直線TN的斜率之和為-,證明直線MN恒過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo). 解 (1)設(shè)Q(x0,4),由拋物線定義知QF=x0+, 又QF=2PQ,即2x0=x0+,解得x0=, 將點(diǎn)Q代入拋物線方程,解得p=4. (2)由(1)知,C的方程為y2=8x, 所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為, 設(shè)直線MN的方程為x=my+n, 點(diǎn)M,N, 由得y2-8my-8n=0,Δ=64m2+32n>0. 所以y1,2=4m2, 所以y1+y2=8m,y1y2=-8n, 所以kMT+kNT=+ =+ = ==-, 解得n=m-1, 所以直線MN的方程為x+1=m(y+1), 恒過定點(diǎn)(-1,-1). 4.如圖,M,N是焦點(diǎn)為F的拋物線y2=2px(p>0)上兩個不同的點(diǎn),且線段MN的中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4-. (1)求MF+NF的值; (2)若p=2,直線MN與x軸交于點(diǎn)B,求點(diǎn)B橫坐標(biāo)的取值范圍. 解 (1)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=8-p, ∵M(jìn)F=x1+,NF=x2+, ∴MF+NF=x1+x2+p=8. (2)當(dāng)p=2時,y2=4x, 若直線MN的斜率不存在,則B(3,0); 若直線MN的斜率存在,設(shè)A(3,t)(t≠0), 則由(1)知y-y=4(x1-x2),∴kMN=, ∴直線MN的方程為y-t=(x-3), ∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為xB=3-, 由消去x, 得y2-2ty+2t2-12=0, 由(-2t)2-4(2t2-12)>0, 可得0- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
- 2.下載的文檔,不會出現(xiàn)我們的網(wǎng)址水印。
- 3、該文檔所得收入(下載+內(nèi)容+預(yù)覽)歸上傳者、原創(chuàng)作者;如果您是本文檔原作者,請點(diǎn)此認(rèn)領(lǐng)!既往收益都?xì)w您。
下載文檔到電腦,查找使用更方便
9.9 積分
下載 |
- 配套講稿:
如PPT文件的首頁顯示word圖標(biāo),表示該P(yáng)PT已包含配套word講稿。雙擊word圖標(biāo)可打開word文檔。
- 特殊限制:
部分文檔作品中含有的國旗、國徽等圖片,僅作為作品整體效果示例展示,禁止商用。設(shè)計者僅對作品中獨(dú)創(chuàng)性部分享有著作權(quán)。
- 關(guān) 鍵 詞:
- 江蘇專用2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 第29練 立體幾何中的向量方法、拋物線試題 江蘇 專用 2019 高考 數(shù)學(xué) 二輪 復(fù)習(xí) 第三 29 立體幾何 中的 向量 方法 拋物線 試題
鏈接地址:http://www.3dchina-expo.com/p-3917945.html