2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 參數(shù)方程專題檢測試卷 新人教A版選修4-4.docx
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第二講 參數(shù)方程 專題檢測試卷(二) (時間：90分鐘 滿分：120分) 一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分) 1．當(dāng)參數(shù)θ變化時，動點P(2cosθ，3sinθ)所確定的曲線必過( ) A．點(2,3) B．點(2,0) C．點(1,3) D．點 答案 B 2．已知三個方程：①②③(都是以t為參數(shù))，那么表示同一曲線的方程是( ) A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 答案 B 3．已知方程x2－ax＋b＝0的兩根是sinθ和cosθ，則點(a，b)的軌跡是( ) A．橢圓弧 B．圓弧 C．雙曲線弧 D．拋物線弧 答案 D 解析 由題意知 即 a2－2b＝(sin θ＋cosθ)2－2sin θcosθ＝1. 又|θ|≤， ∴點(a，b)的軌跡是拋物線弧． 4．已知點P(x，y)在曲線C：(θ為參數(shù))上，則x－2y的最大值為( ) A．2 B．－2 C．1＋ C．1－ 答案 C 解析 由題意 所以x－2y＝1＋cosθ－2sin θ＝1－(2sin θ－cosθ)＝1－ ＝1－sin(θ－φ)(其中tan φ＝)，所以x－2y的最大值為1＋. 5．若圓的方程為(θ為參數(shù))，直線的方程為(t為參數(shù))，則直線與圓的位置關(guān)系是( ) A．相交過圓心 B．相交且不過圓心 C．相切 D．相離 答案 B 6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線C1：(t為參數(shù))，曲線C2：(θ為參數(shù))．若曲線C1，C2有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是( ) A．[1－，1＋] B．[1－，1＋] C．[－1,3] D．[1－，1＋] 答案 A 解析 把曲線C2的參數(shù)方程化為普通方程是x2＋(y－1)2＝4. 把曲線C1的參數(shù)方程代入曲線C2的普通方程，得 (2t＋2a)2＋(－t－1)2＝4， 即5t2＋(8a＋2)t＋4a2－3＝0. ∵曲線C1，C2有公共點， ∴Δ＝(8a＋2)2－20(4a2－3)≥0， 即a2－2a－4≤0， 解得1－≤a≤1＋. 故實數(shù)a的取值范圍是[1－，1＋]． 7．已知A(0,1)為橢圓x2＋4y2＝4上一定點，點P為橢圓上異于A的一動點，則|AP|的最大值為( ) A．3 B．4 C. D. 答案 C 解析 設(shè)點P(2cos θ，sin θ)， ∴|AP|＝＝ ＝， ∴當(dāng)sin θ＝－時，|AP|max＝. 8．過拋物線(t為參數(shù))的焦點的弦長為2，則弦長所在直線的傾斜角為( ) A. B.或 C. D.或 答案 B 解析 將拋物線的參數(shù)方程化成普通方程為y2＝x，它的焦點為.易知直線的斜率存在且不為0，設(shè)弦所在直線的方程為y＝k，由消去y得64k2x2－48(k2＋2)x＋9k2＝0，設(shè)弦的兩個端點的坐標(biāo)為(x1，y1)，(x2，y2)，則|x1－x2|＝＝＝，解得k＝， ∴α＝或. 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 9．已知曲線C1：ρ＝2和曲線C2：ρcos＝，則C1上到C2的距離等于的點的個數(shù)為________． 答案 3 解析 將極坐標(biāo)方程ρ＝2和ρcos＝化為直角坐標(biāo)方程分別得x2＋y2＝(2)2和x－y－2＝0.易知C1為以坐標(biāo)原點為圓心，半徑為2的圓，C2為直線．因為圓心到直線x－y－2＝0的距離為，所以滿足條件的點的個數(shù)為3. 10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程是(θ為參數(shù))，若以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程可寫為______________． 答案 ρ＝2sinθ 解析 由題意知，曲線C：x2＋(y－1)2＝1，即x2＋y2－2y＝0， 所以(ρcosθ)2＋(ρsinθ)2－2ρsin θ＝0，化簡得ρ＝2sin θ. 11．如圖，以過原點的直線的傾斜角θ為參數(shù)，則圓x2＋y2－2y＝0的參數(shù)方程為________． 答案 (θ為參數(shù)) 解析 當(dāng)θ≠時，將直線y＝tan θx代入x2＋y2－2y＝0， 得(1＋tan2θ)x2－2tan θx＝0， 解得x＝2sin θcosθ或x＝0， 所以①或② ①式適合②式． 當(dāng)θ＝時，直線與圓的交點為(0,0)或(0,2)都適合②式． 所以圓x2＋y2－2y＝0的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 12．已知直線3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0與曲線(θ為參數(shù))有且僅有一個公共點，則正實數(shù)a的值為________． 答案 2 解析 直線3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0的直角坐標(biāo)方程為3x＋4y＋a＝0，曲線(θ為參數(shù))的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋y2＝1.因為直線與圓有且僅有一個公共點，則d＝＝1，解得a＝2或a＝－8，所以正實數(shù)a的值為2. 三、解答題(本大題共6小題，共60分) 13．(10分)極坐標(biāo)系的極點是直角坐標(biāo)系的原點，極軸為x軸的正半軸，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，⊙O的極坐標(biāo)方程為ρ＝2，若直線l與⊙O相切，求x0的值． 解 由直線l的參數(shù)方程，得直線l的普通方程為y＝(x－x0)，⊙O的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4. ∵直線l與⊙O相切， ∴圓心O(0,0)到直線l：x－y－x0＝0的距離為2， 即＝2，解得x0＝. 14．(10分)A為橢圓＋＝1上任意一點，B為圓C：(x－1)2＋y2＝1上任意一點，求|AB|的最大值和最小值． 解 化橢圓的普通方程為參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0)， 設(shè)A(5cos θ，3sin θ)， 再根據(jù)平面內(nèi)兩點之間的距離公式，可得 |AC|＝ ＝ ＝， 當(dāng)cosθ＝時，|AC|取最小值； 當(dāng)cosθ＝－1時，|AC|取最大值6. 所以，當(dāng)cosθ＝時，|AB|取最小值－1； 當(dāng)cosθ＝－1時，|AB|取最大值6＋1＝7. 15．(10分)(2018全國Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)求C和l的直角坐標(biāo)方程； (2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標(biāo)為(1,2)，求l的斜率． 解 (1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為＋＝1. 當(dāng)cosα≠0時，直線l的直角坐標(biāo)方程為y＝tanαx＋2－tanα， 當(dāng)cosα＝0時，l的直角坐標(biāo)方程為x＝1. (2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程， 整理得關(guān)于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.① 因為曲線C截直線l所得線段的中點(1,2)在C內(nèi)， 所以①有兩個解，設(shè)為t1，t2，則t1＋t2＝0. 又由①得t1＋t2＝－， 故2cosα＋sinα＝0，于是直線l的斜率k＝tanα＝－2. 16．(10分)已知P為半圓C：(θ為參數(shù)，0≤θ≤π)上的點，點A的坐標(biāo)為(1,0)，O為坐標(biāo)原點，點M在射線OP上，線段OM與圓C的弧的長度均為. (1)以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求點M的極坐標(biāo)； (2)求直線AM的參數(shù)方程． 解 (1)由已知，得點M的極角為，且點M的極徑等于，故點M的極坐標(biāo)為. (2)點M的直角坐標(biāo)為，A(1,0)， 故直線AM的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 17．(10分)已知曲線C1：(t為參數(shù))，C2：(θ為參數(shù))． (1)化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線； (2)若C1上的點P對應(yīng)的參數(shù)為t＝，Q為C2上的動點，求PQ中點M到直線C3：(t為參數(shù))距離的最小值． 解 (1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＋＝1， C1為圓心是(－4,3)，半徑是1的圓， C2為中心是坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓． (2)當(dāng)t＝時，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)， 故M(－2＋4cos θ，2＋sin θ)． C3為直線x－2y－7＝0， M到C3的距離d＝|4cos θ－3sin θ－13|. 從而當(dāng)cosθ＝，sin θ＝－時，d取得最小值. 18．(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，l是過定點P(4,2)且傾斜角為α的直線，在極坐標(biāo)系(以坐標(biāo)原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，取相同單位長度)中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ. (1)寫出直線l的參數(shù)方程，并將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； (2)若曲線C與直線l相交于不同的兩點M，N，求|PM|＋|PN|的取值范圍． 解 (1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． ∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ， ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4x＝0. (2)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 代入x2＋y2＝4x，得t2＋4(sin α＋cosα)t＋4＝0， ∴ ∴sin αcosα>0， 又0≤α<π， ∴α∈，且t1<0，t2<0. ∴|PM|＋|PN|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2| ＝4(sin α＋cosα)＝4sin， 由α∈(0，)，得α＋∈， ∴下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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