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第四講 函數(shù)及其表示 學習 目標 1．了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域． 2．了解映射的概念，在實際情景中會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖像法、列表法、解析法)表示函數(shù)． 3．了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用． 學習 疑問 學習 建議 【相關(guān)知識點回顧】 【預學能掌握的內(nèi)容】1.函數(shù)與映射的概念 函數(shù) 映射 兩集合A，B 設A，B是兩個非空數(shù)集 設A，B是兩個非空集合 對應關(guān)系 f：A→B 如果按照某種確定的對應關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中有唯一的數(shù)f(x)和它對應 如果按某一個確定的對應關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個元素x在集合B中有唯一的元素y與之對應 名稱 稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù) 稱對應f：A→B為從集合A到集合B的一個映射 記法 y＝f(x)，x∈A 對應f：A→B是一個映射 2.函數(shù) (1)函數(shù)實質(zhì)上是從一個非空數(shù)集到另一個非空數(shù)集的映射． (2)函數(shù)的三要素：定義域、值域、對應法則． (3)函數(shù)的表示法：解析法、圖像法、列表法． (4)兩個函數(shù)只有當定義域和對應法則都分別相同時，這兩個函數(shù)才相同． 3.分段函數(shù) 在一個函數(shù)的定義域中，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應關(guān)系，這樣的函數(shù)叫分段函數(shù)，分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù)． 夯實雙基: 1．判斷下列說法是否正確(打“√”或“”)． (1)f(x)＝＋是一個函數(shù)． (2)A＝R，B＝R，f：x→y＝，表示從集合A到集合B的映射(也是函數(shù)) (3)函數(shù)f(x)的圖像與直線x＝1的交點最多有2個． (4)y＝2x(x∈{1，2})的值域是2，4. (5)y＝lnx2與y＝2lnx表示同一函數(shù)． (6)f(x)＝則f(－x)＝ 2．已知f(x＋1)＝x2－1，則f(x)＝________． 3.函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖所示，那么，f(x)的定義域是________；值域是________；其中只與x的一個值對應的y值的范圍是________． 4．(2016北京改編)設函數(shù)f(x)＝且f(－2)＝2，則f(f(－1))＝________． 【探究點一】函數(shù)與映射的概念 〖典例解析〗 例1.(1)下列對應是否是從集合A到B的映射，能否構(gòu)成函數(shù)？ ①A＝{1，2，3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4. ②A＝{x|x≥0}，B＝R，f：x→y，y2＝4x. ③A＝N，B＝Q，f：x→y＝. ④A＝{x|x是平面α內(nèi)的矩形}，B＝{y|y是平面α內(nèi)的圓}，對應關(guān)系f：每一個矩形都對應它的外接圓． (2)已知A＝{x|x＝n2，n∈N}，給出下列關(guān)系式： ①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝x4；⑤f(x)＝x2＋1，其中能夠表示函數(shù)f：A→A的個數(shù)是(　　) A．2　　　　　　　　　 B．3 C．4 D．5 〖概括小結(jié)〗映射與函數(shù)的含義 (1)映射只要求第一個集合A中的每個元素在第二個集合B中有且只有一個元素與之對應；至于B中的元素有無原象、有幾個原象卻無所謂． (2)函數(shù)是特殊的映射：當映射f：A→B中的A，B為非空數(shù)集時，即成為函數(shù)． (3)高考對映射的考查往往結(jié)合其他知識，只有深刻理解映射的概念才能在解決此類問題時游刃有余． 〖課堂檢測〗　 (1)下圖中建立了集合P中元素與集合M中元素的對應f.其中為映射的對應是______． (2)集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示從A到B的函數(shù)的是(　　) A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x C．f：x→y＝x D．f：x→y＝ 例2.以下給出的同組函數(shù)中，是否表示同一函數(shù)？為什么？ (1)f1：y＝；f2：y＝1；f3：y＝x0. (2)f1：y＝；f2：y＝()2；f3：y＝　 (3)f1：y＝ 判斷兩個函數(shù)是否相同的方法 (1)構(gòu)成函數(shù)的三要素中，定義域和對應法則相同，則值域一定相同． (2)兩個函數(shù)當且僅當定義域和對應法則相同時，才是相同函數(shù)． 下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是________． ①f(x)＝x－1與g(x)＝ ②f(x)＝lgx2與g(x)＝2lgx ③f(x)＝x＋2，x∈R與g(x)＝x＋2，x∈Z ④f(u)＝與f(v)＝ ⑤y＝f(x)與y＝f(x＋1) 【探究點二】函數(shù)的解析式 〖典例解析〗 例3.求下列函數(shù)的解析式： (1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式； (2)已知f(x2＋)＝x4＋，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)是一次函數(shù)且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (4)定義在(－1，1)內(nèi)的函數(shù)f(x)滿足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求f(x)的解析式． 〖概括小結(jié)〗函數(shù)解析式的求法 (1)湊配法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達式． (2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法． (3)換元法：已知復合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍． (4)方程思想：已知關(guān)于f(x)與f()或f(－x)等的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)． 〖課堂檢測〗(1)已知f(＋1)＝，求f(x)的解析式． (2)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝2f(x)，若當0≤x≤1時，f(x)＝x(1－x)，當－1≤x≤0時，求f(x)解析式． (3)已知f(x)＋2f()＝x(x≠0)，求f(x)． 【探究點三】分段函數(shù)與復合函數(shù) 〖典例解析〗例4.(1)已知函數(shù)f(x)＝g(x)＝x＋1，則：①g[f(x)]＝________；②f[g(x)]＝________． (2)(2017邯鄲摸底)已知函數(shù)f(x)＝則使得f(x)≤5成立的x的取值范圍是________． 〖概括小結(jié)〗分段函數(shù)、復合函數(shù)是高考熱點，分段函數(shù)體現(xiàn)在不同定義域的子集上，對應法則不同，因此注意選擇法則，而復合函數(shù)是把內(nèi)層函數(shù)的函數(shù)值作為外層函數(shù)的自變量，因此要注意復合函數(shù)定義域的變化． 〖課堂檢測〗(1)(2015陜西改編)設f(x)＝則f(f(－2))＝________． (2)已知f(x)＝若f(f(－1))＝，則a＝(　　) A.　　　　　　　　　 B. C．1 D．2 【層次一】設函數(shù)f(x)的定義域為R，對于任意實數(shù)x1，x2，都有f(x1)＋f(x2)＝2f()f()，f(π)＝－1，則f(0)＝________． 【層次二】已知偶函數(shù)f(x)，對任意的x1，x2∈R恒有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋2x1x2＋1，則函數(shù)f(x)的解析式為________． 常用結(jié)論記心中，快速解題特輕松： 1．映射問題允許多對一，但不允許一對多！換句話說就是允許三石一鳥，但不允許一石三鳥！ 2．函數(shù)問題定義域優(yōu)先！ 3．抽象函數(shù)不要怕，賦值方法解決它！ 4．分段函數(shù)分段算，然后并到一起保平安． 本課時主要涉及到三類題型：函數(shù)的三要素，分段函數(shù)，函數(shù)的解析式．通過例題的講解(有些題目直接源于教材)，一方面使學生掌握各類題型的解法；另一方面，也要教給學生把握復習的尺度，教學大綱是高考命題的依據(jù)，而教材是貫徹大綱的載體，研習教材是學生獲取知識、能力的重要途徑． 【思維導圖】（學生自我繪制）