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第一章 集合與常用邏輯用語
單元過關(guān)檢測(一)
(120分鐘 150分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.(2018長沙模擬)設(shè)集合A={x|x2-2x≤0},B={y|y=x2-2x,x∈A},則A∪B=
( )
A.[-1,2] B.[0,2]
C.(-∞,2] D.[0,+∞)
【解析】選A.集合A={x|x2-2x≤0}=[0,2],B={y|y=x2-2x,x∈A}=[-1,0],
則A∪B=[-1,2].
【變式備選】(2018昆明模擬)設(shè)集合A={x|y=lg(x-1)},集合B={y|y=-x2+2},則A∩B等于 ( )
A.(1,2) B.(1,2]
C.[1,2) D.[1,2]
【解題指南】求出A中x的范圍確定出A,求出B中y的范圍確定出B,找出A與B的交集即可.
【解析】選B.由A中y=lg(x-1),得到x-1>0,解得:x>1,即A=(1,+∞),由B中y=-x2+2≤2,得到B=(-∞,2],則A∩B=(1,2].
2.命題:“若x2+y2=0,則x=0且y=0”的逆否命題是 ( )
A.若x2+y2=0,則x=0且y≠0
B.若x2+y2≠0,則x≠0或y≠0
C.若x=0且y=0,則x2+y2≠0
D.若x≠0或y≠0,則x2+y2≠0
【解析】選D.命題“若x2+y2=0,則x=0且y=0”的逆否命題是:“若x≠0或y≠0,則x2+y2≠0”.
3.(2018錦州模擬)集合M={x|x=3n,n∈N},集合N={x|x=3n,n∈N},則集合M與集合N的關(guān)系 ( )
【解析】選D.因為1∈M,1?N;0∈N,0?M;所以M?N且N?M.
【變式備選】(2018洛陽模擬)已知集合A={-1,1,3},B={1,a2-2a},且B A,則實數(shù)a的不同取值個數(shù)為 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】選C.因為BA,所以a2-2a=-1或a2-2a=3,解得:a=1或a=-1或a=3,所以實數(shù)a的不同取值個數(shù)為3.
4.(2018重慶模擬)設(shè)x>0,y∈R,則“x>y”是“x>|y|”的 ( )
A.充要條件
B.充分不必要條件
C.必要而不充分條件
D.既不充分也不必要條件
【解析】選C.設(shè)x>0,y∈R,當(dāng)x=1,y=-1時,滿足x>y但不滿足x>|y|,故x>0,
y∈R,“x>y”推不出“x>|y|”,而“x>|y|”“x>y”,故“x>y”是“x>|y|”的必要不充分條件.
5.(2018合肥模擬)已知命題p: x<0,x3<0,那么p是 ( )
【解析】選C.因為全稱命題的否定是特稱命題,所以,命題p: x<0,x3<0,那么p為: x0<0,≥0.
6.設(shè)A=,B={x|x≥a}.若A?B,則實數(shù)a的取值范圍是
( )
A.a< B.a≤
C.a≤1 D.a<1
【解析】選C.A={1,2,3,4},由A?B得a≤1.
【誤區(qū)警示】本題易誤選A或B,出現(xiàn)錯誤的原因是忽視了集合A中“x∈Z”這一條件及對端點值的驗證.
7.已知x∈R,則x>5的一個必要不充分條件是 ( )
A.x>7 B.x<6
C.x<4 D.x>3
【解析】選D.本題的題意等價于四個選項中的一個不能得出x>5 ,而x>5可以得出四個選項中的一個.只有x>3符合.
8.已知集合A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0},若A?B,則實數(shù)c的取值范圍是 ( )
A.(0,1] B.[1,+∞)
C.(0,1) D.(1,+∞)
【解析】選B.要使y=lg(x-x2)有意義,則x-x2>0,
解得0
0,所以00,
解得00,所以?x0∈R,使f(x0)<0成立.若?x0∈R,使f(x0)<0,則有Δ=b2-4c>0,當(dāng)c=1,b=3時,滿足Δ=b2-4c>0,所以“c<0”是“?x0∈R,使f(x0)<0”的充分不必要條件.
【誤區(qū)警示】解答本題易誤選C,出錯的原因就是不能進行合理轉(zhuǎn)化,尤其反推時,不知道舉反例,而導(dǎo)致誤選C.
11.(2018成都模擬)下列命題正確的個數(shù)是 ( )
①命題“?x0∈R,+1>3x0”的否定是“?x∈R,x2+1≤3x”;
②函數(shù)f(x)=cos2ax-sin2ax的最小正周期為π”是“a=1”的必要不充分條件;
③x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立
(x2+2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立;
④“平面向量a與b的夾角是鈍角”的充分必要條件是
“ab<0”.
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】選B.①根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題,所以①正確;
②f(x)=-=cos2ax,最小正周期是=πa=1,所以②正確;
③當(dāng)a=2時,x2+2x≥2x在x∈[1,2]上恒成立,而(x2+2x)min=3<(2x)max=4,所以③不正確;
④因為ab=|a||b|cos,因為 =π時ab<0,所以④不正確.
【變式備選】(2018濟南模擬)下列敘述中正確的是 ( )
A.命題“若a>1,則a2>1”的否命題為:“若a>1,則a2≤1”
B.命題“?x0>1,使得-+2x0-1≥0”的否定“?x≤1,使得-x2+2x-1<0”
C.“x>-1”是“<-1”成立的必要不充分條件
D.命題“若x=y,則sin x=sin y”的逆否命題是假命題
【解析】選C.逐一考查所給的選項:
A.命題“若a>1,則a2>1”的否定為:“若a>1,
則a2≤1”,其否命題為:“若a≤1,則a2≤1”;
B.命題“?x0>1,使得-+2x0-1≥0”的否定“?x>1,都有-x2+2x-1<0”;
C.因為由“x>-1”不能得到“<-1”,而由“<-1”能得到“x>-1”,所以“x>-1”是“<-1”成立的必要不充分條件是正確的;
D.因為“若x=y,則sin x=sin y”是正確的,所以“若x=y,則sin x=sin y”的逆否命題是真命題.
12.(2018葫蘆島模擬)設(shè)命題p:實數(shù)x,y滿足x2+y2<4,命題q:實數(shù)x,y滿足則命題p是命題q的 ( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
【解析】選D.作出不等式組對應(yīng)的區(qū)域如圖:
則不等式組對應(yīng)的區(qū)域在圓x2+y2=4內(nèi)部和外部都有點存在,故命題p是命題q的既不充分也不必要條件.
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上)
13.設(shè)集合A={2,4,6,8,10},B={4,8},則AB=________.
【解析】集合A={2,4,6,8,10},B={4,8},
則AB={2,6,10}.
答案:{2,6,10}
14.命題p: ?x0∈R,≤0,命題q:?x∈(0,+∞),x>sin x,其中真命題是______;命題p的否定是______.
【解析】對任意的x∈R,2x>0,因此命題p是假命題,設(shè)f(x)=x-sin x, f′(x)= 1-cos x≥0,因此函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),f(0)=0,因此當(dāng)x>0時,有f(x)> f(0)=0,即x>sin x恒成立,因此命題q是真命題.命題p的否定為: ?x∈R,2x>0.
答案:q ?x∈R,2x>0
15.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},定義集合AB={(x,y)|x∈A,y∈B},集合AB中屬于集合{(x,y)|logxy∈N}的元素的個數(shù)是________.
【解析】由定義可知AB中的元素為(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4), (2,6),(2,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8).
其中使logxy∈N的有(2,2),(2,4),(2,8),(4,4),共4個.
答案:4
16.(2018西寧模擬)在下列結(jié)論中:
①“p∧q”為真是“p∨q”為真的充分不必要條件;
②“p∧q”為假是“p∨q”為真的充分不必要條件;
③“p∧q”為真是“p”為假的充分不必要條件;
④“p” 為真是“p∧q”為假的充分不必要條件.正確的是________.
【解析】結(jié)論①“p∧q”為真,說明p,q同為真,故能推出“p∨q”為真,而“p∨q”為真,說明p,q中至少一個為真,故不能推出“p∧q”為真,故前者是后者的充分不必要條件,故正確;結(jié)論 ②“p∧q”為假,說明p,q中至少一個為假,故不能推出“p∨q”為真,“p∨q”為真也不能推出“p∧q”為假,故前者是后者的既不充分也不必要條件,故錯誤;結(jié)論 ③p∧q為真,說明p,q都為真,能推出“p”為假,若“p”為假,則p為真,不能推出p∧q為真,前者是后者的充分不必要條件,故正確;結(jié)論④“p”為真,則p為假,可推出“p∧q”為假,而只要滿足q為假,p無論真假,都有“p∧q”為假,故“p∧q”為假不能推出“p”為真,故正確,綜上可得結(jié)論①③④正確.
答案:①③④
三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(10分)設(shè)集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}.
(1)若A∩B={2},求實數(shù)a的值.
(2)若A∪B=A,求實數(shù)a的取值范圍.
【解析】由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,故集合A={1,2}.
(1)因為A∩B={2},所以2∈B,代入B中的方程,得a2+4a+3=0,解得a=-1或a=-3,
當(dāng)a=-1時,B={x|x2-4=0}={-2,2},滿足條件;
當(dāng)a=-3時,B={x|x2-4x+4=0}={2},滿足條件.
綜上可知:a的值為-1或-3.
(2)對于集合B中的方程x2+2(a+1)x+(a2-5)=0,Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).
因為A∪B=A,所以B?A.
①當(dāng)Δ<0,即a<-3時,B=?,滿足條件;
②當(dāng)Δ=0,即a=-3時,B={2},滿足條件;
③當(dāng)Δ>0,即a>-3時, B=A={1,2}才能滿足條件,
則由根與系數(shù)的關(guān)系得
矛盾;
綜上,a的取值范圍是(-∞,-3].
18.(12分)已知集合A={y|y=x2-x+1,≤x≤2},B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分條件,求實數(shù)m的取值范圍.
【解析】y=x2-x+1=+,
因為≤x≤2,所以≤y≤2,A=.
由x+m2≥1,得x≥1-m2,
所以B={x|x≥1-m2}.
因為“x∈A”是“x∈B”的充分條件,
所以A?B,所以1-m2≤,解得m≥或m≤-,
故實數(shù)m的取值范圍是m≥或m≤-.
【誤區(qū)警示】解答本題易出現(xiàn)如下錯誤:一是沒有注意“x∈A”是“x∈B”的充分條件與“x∈A”成立的充分條件是“x∈B”的區(qū)別;二是由A?B得出1-m2<,進而得出錯誤結(jié)論.
19.(12分)已知命題p:函數(shù)f(x)=logax在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù);命題q:不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0對任意實數(shù)x恒成立.若p∨q是真命題,且p∧q為假命題,求實數(shù)a的取值范圍.
【解析】若命題p為真,則a>1.
若命題q為真,則a-2=0或
可得-22或-20,因為2x+a>0,所以2x-2a≥0,解得x≥1+log2a,即B={x|x≥1+log2a},又因為A?B,所以1+log2a≤1,解得:00,所以2x+a≥0,解得x≥log2(-a),即B={x|x≥log2(-a)},又因為A?B,所以log2(-a)≤1,解得:-2≤a<0.
綜上可知:-2≤a≤1.
21.(12分)已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y=x2-x+,0≤x≤3}.
(1)若A∩B=?,求a的取值范圍.
(2)當(dāng)a取使不等式x2+1≥ax恒成立的a的最小值時,求(RA)∩B.
【解題指南】(1)先化簡集合A,B,再由題意列關(guān)于a的不等式組求解.
(2)先由題意確定a的值,再求解.
【解析】A={y|ya2+1},B={y|2≤y≤4}.
(1)當(dāng)A∩B=?時,
解得≤a≤2或a≤-.
即a∈(-∞,-]∪[,2].
(2)由x2+1≥ax,得x2-ax+1≥0,
依題意Δ=a2-4≤0,
即-2≤a≤2.
所以a的最小值為-2.
當(dāng)a=-2時,A={y|y<-2或y>5}.
所以RA={y|-2≤y≤5},
故(RA)∩B={y|2≤y≤4}.
22.(12分)求證:方程ax2+2x+1=0有且只有一個負(fù)數(shù)根的充要條件為a≤0或a=1.
【解題指南】充分性與必要性分兩步證明→充分性:a≤0或a=1作為條件;必要性:ax2+2x+1=0有且只有一個負(fù)數(shù)根作為條件.
【證明】充分性:當(dāng)a=0時,方程為2x+1=0,
其根為x=-,方程只有一負(fù)根.
當(dāng)a=1時,方程為x2+2x+1=0,其根為x=-1,方程只有一負(fù)根.
當(dāng)a<0時,Δ=4(1-a)>0,方程有兩個不相等的根,
且<0,方程有一正一負(fù)兩個根.
所以充分性得證.
必要性:若方程ax2+2x+1=0有且只有一負(fù)根.
當(dāng)a=0時,符合條件.
當(dāng)a≠0時,方程ax2+2x+1=0有實根,
則Δ=4-4a≥0,所以a≤1,
當(dāng)a=1時,方程有一負(fù)根,x=-1.
當(dāng)a<1時,若方程有且只有一負(fù)根,
則所以a<0.
所以必要性得證.
綜上,方程ax2+2x+1=0有且只有一個負(fù)數(shù)根的充要條件為a≤0或a=1.
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