（浙江專版）2019年高考數(shù)學一輪復習 專題2.2 函數(shù)的單調(diào)性與值域（講）.doc
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第02節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與值域 【考綱解讀】 考 點 考綱內(nèi)容 5年統(tǒng)計 分析預測 函數(shù)的單調(diào)性與最值 1．理解函數(shù)的單調(diào)性，會判斷函數(shù)的單調(diào)性. 2．理解函數(shù)的最大（?。┲档暮x，會求函數(shù)的最大（?。┲? 2014?浙江文7；理6，15； 2015?浙江文12；理10； 2016浙江理18； 2017?浙江5，17. 2018?浙江7，22. 1.確定函數(shù)的最值（值域） 2.以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)單調(diào)性的判定、函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定、函數(shù)單調(diào)性的應用（解不等式、確定參數(shù)的取值范圍、比較函數(shù)值大?。?、研究函數(shù)的最值等，常與奇偶性結合，有時與導數(shù)綜合考查. 3.備考重點： （1）判斷函數(shù)的單調(diào)性方法； （2）求函數(shù)最值的方法； （3）利用單調(diào)性比較函數(shù)值大小、解不等式、確定參數(shù)取值范圍. 【知識清單】 1．函數(shù)的單調(diào)性 （1）.增函數(shù)：若對于定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的任意兩個自變量、，當時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)； （2）減函數(shù)：若對于定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的任意兩個自變量、，當時，都有 ，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù). 2.函數(shù)的最值 1.最大值：一般地，設函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足： （1）對于任意的，都有； （2）存在，使得. 那么，我們稱是函數(shù)的最大值. 2.最小值：一般地，設函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足： （1）對于任意的，都有； （2）存在，使得. 那么，我們稱是函數(shù)的最小值. 【重點難點突破】 考點1 單調(diào)性的判定和證明 【1-1】【2018屆遼寧省大連市二?！肯铝泻瘮?shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：利用函數(shù)奇偶性的判斷方法判斷函數(shù)的奇偶性，利用復合函數(shù)的單調(diào)性原理和圖像判斷函數(shù)的單調(diào)性得解. 【1-2】【2018屆河南省南陽市第一中學高三實驗班第一次考試】已知，那么( ) A. 在區(qū)間上單調(diào)遞增 B. 在上單調(diào)遞增 C. 在上單調(diào)遞增 D. 在上單調(diào)遞增 【答案】D 【解析】，在 記，則 當時，單調(diào)遞增，且 而在不具有單調(diào)性，故A錯誤； 當時，不具有單調(diào)性，故B錯誤； 當時，單調(diào)遞增，且 而在不具有單調(diào)性，故C錯誤； 當時，單調(diào)遞減，且 而在單調(diào)遞減，根據(jù)“同增異減”知，D正確. 故選：D 【領悟技法】 1.利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性與圖像：只需作出函數(shù)的圖象便可判斷函數(shù)在相應區(qū)間上的單調(diào)性； 2.性質(zhì)法：（1）增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)，減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)，增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)，減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)； （2）函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性相反； （3）時，函數(shù)與的單調(diào)性相反（）； 時，函數(shù)與的單調(diào)性相同（）. 2.導數(shù)法：在區(qū)間D上恒成立，則函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增；在區(qū)間D上恒成立，則函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞減. 4.定義法：作差法與作商法（常用來函數(shù)單調(diào)性的證明，一般使用作差法）. 【注】分段函數(shù)的單調(diào)性要求每段函數(shù)都滿足原函數(shù)的整體單調(diào)性，還需注意斷點處兩邊函數(shù)值的大小比較. 【觸類旁通】 【變式一】【2017北京西城八中上期中】下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【變式二】【2017山西孝義二模】函數(shù)，當時是增函數(shù)，當時是減函數(shù)，則等于（ ） A．-3 B．13 C. 7 D． 5 【答案】B 【解析】由題意知函數(shù)的對稱軸，所以，所以，故選B． 考點2 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 【2-1】【2019屆四川省成都市第七中學零診】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：利用二次函數(shù)的單調(diào)性， 結合函數(shù)的定義域，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性求解即可. 詳解：得或， 令，則為增函數(shù)， 在上的增區(qū)間便是原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間， 原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選D. 【2-2】的遞增區(qū)間是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【領悟技法】 1.基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： 函數(shù) 圖象 參數(shù)范圍 單調(diào)區(qū)間或單調(diào)性 一次函數(shù) 單調(diào)遞增區(qū)間 單調(diào)遞減區(qū)間 二次函數(shù) 單調(diào)遞減區(qū)間為 ； 單調(diào)遞增區(qū)間為 . 單調(diào)遞增區(qū)間為 ； 單調(diào)遞減區(qū)間為 . 反比例函數(shù) 單調(diào)遞減區(qū)間為 和 單調(diào)遞增區(qū)間為 和 指數(shù)函數(shù) （且） 單調(diào)遞減區(qū)間為 單調(diào)遞增區(qū)間為 對數(shù)函數(shù) （且） 單調(diào)遞減區(qū)間為 單調(diào)遞增區(qū)間為 冪函數(shù) 在上遞減 沒有單調(diào)性 在上遞增 正弦函數(shù) 單調(diào)遞增區(qū)間 單調(diào)遞減區(qū)間 余弦函數(shù) 單調(diào)遞減區(qū)間 ； 單調(diào)遞增區(qū)間 正切函數(shù) 單調(diào)遞增區(qū)間 2.圖象法：對于基本初等函數(shù)及其函數(shù)的變形函數(shù)，可以作出函數(shù)圖象求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 3.復合函數(shù)法：對于函數(shù)，可設內(nèi)層函數(shù)為，外層函數(shù)為，可以利用復合函數(shù)法來進行求解，遵循“同增異減”，即內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)在區(qū)間D上的單調(diào)性相同，則函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增；內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)在區(qū)間D上的單調(diào)性相反，則函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞減. 4.導數(shù)法：不等式的解集與函數(shù)的定義域的交集即為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，不等式的解集與函數(shù)的定義域的交集即為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間. 【觸類旁通】 【變式一】【2017屆北京西城35中高三上期中】 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】設， ， ，函數(shù)定義域為，所以先排除A，B；在上函數(shù)m先增后減，故D不對；由圖像可知，該復合函數(shù)單調(diào)區(qū)間為，故選． 【變式二】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 . 【答案】和. 【解析】作出函數(shù)的圖象如下圖所示， 由圖象可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和. 考點3 利用單調(diào)性確定參數(shù)取值范圍 【3-1】【2018屆云南省昆明市5月檢測】已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 詳解：函數(shù)在上為減函數(shù)， 函數(shù)的圖像開口向下，對稱軸為， 所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)， 且. 所以函數(shù)在上為減函數(shù). 由得.解得. 故選A. 【3-2】【2018年天津卷文】已知a∈R，函數(shù)若對任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，則a的取值范圍是__________． 【答案】［，2］ 【解析】分析：由題意分類討論和兩種情況，結合恒成立的條件整理計算即可求得最終結果. 詳解：分類討論：①當時，即：，整理可得：，由恒成立的條件可知：，結合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當時，，則；②當時，即：，整理可得：，由恒成立的條件可知：， 結合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當或時，，則； 綜合①②可得的取值范圍是. 點睛：對于恒成立問題，常用到以下兩個結論：(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.有關二次函數(shù)的問題，數(shù)形結合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法．一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點函數(shù)值符號四個方面分析． 【3-3】已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍 . 【答案】 【解析】函數(shù)： ，由復合函數(shù)的增減性可知，若 在 （-2，+∞）為增函數(shù)，∴1-2a＜0， 【領悟技法】 1.解決抽象不等式時，切勿將自變量代入函數(shù)解析式進行求解，首先應該注意考查函數(shù)的單調(diào)性.若函數(shù)為增函數(shù)，則；若函數(shù)為減函數(shù)，則. 2.在比較、、、的大小時，首先應該根據(jù)函數(shù)的奇偶性與周期性將、、、通過等值變形將自變量置于同一個單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)單調(diào)性比較大小. 【觸類旁通】 【變式一】【2018屆內(nèi)蒙古巴彥淖爾市第一中學9月月考】已知函數(shù) 是奇函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是_________. 【答案】 【解析】設 ，則 為奇函數(shù)， 在 上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 ∵若函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增， 故答案為． 【變式二】【2017浙江金華十校聯(lián)考】已知函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，若f(a2－a)>f(a＋3)，則實數(shù)a的取值范圍為________． 考點4 函數(shù)的單調(diào)性和最值（值域）及其綜合應用 【4-1】【2018屆浙江省紹興市3月模擬】已知，函數(shù)在區(qū)間上的最大值是2，則__________． 【答案】3或 【解析】當時，= 函數(shù)，對稱軸為，觀察函數(shù) 的 圖像可知函數(shù)的最大值是. 令，經(jīng)檢驗，a=3滿足題意. 令，經(jīng)檢驗a=5或a=1都不滿足題意. 令，經(jīng)檢驗不滿足題意. 當時，, 函數(shù)，對稱軸為，觀察函數(shù) 的圖像得函數(shù)的最大值是. 當時，, 函數(shù)，對稱軸為，觀察函數(shù) 的圖像可知函數(shù)的最大值是. 令， 令,所以. 綜上所述，故填3或. 點睛：本題的難點在于通過函數(shù)的圖像分析函數(shù)的性質(zhì). 本題絕對值里面是一個閉區(qū)間上的二次函數(shù)，要求它的最大值，所以要先畫出二次函數(shù)的圖像，再結合二次函數(shù)的圖像分析出最大值的可能情況. 【4-2】【2017浙江，17】已知αR，函數(shù)在區(qū)間[1，4]上的最大值是5，則的取值范圍是___________． 【答案】 【解析】 【領悟技法】 函數(shù)最值（值域）的求解方法： 1.單調(diào)性法： 利用函數(shù)的單調(diào)性:若是上的單調(diào)增(減)函數(shù),則,分別是在區(qū)間上取得最小(大)值,最大(小)值. 2.圖象法：對于由基本初等函數(shù)圖象變化而來的函數(shù)，通過觀察函數(shù)圖象的最高點或最低點確定函數(shù)的最值. 3. 利用配方法:形如型,用此種方法,注意自變量x的范圍. 4.利用三角函數(shù)的有界性,如. 5.利用“分離常數(shù)”法:形如y= 或 (至少有一個不為零)的函數(shù),求其值域可用此法. 6.利用換元法:形如型,可用此法求其值域. 7.利用基本不等式法: 8.導數(shù)法:利用導數(shù)與函數(shù)的連續(xù)性求圖復雜函數(shù)的極值和最值,然后求出值域 9.求分段函數(shù)的最值時，應根據(jù)所給自變量值的大小選擇相應的解析式求解，有時每段交替使用求值．若給出函數(shù)值或函數(shù)值的范圍求自變量值或自變量的取值范圍，應根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量值域范圍是否符合相應段的自變量的取值范圍． 10.由判別式法來判斷函數(shù)的值域時，若原函數(shù)的定義域不是實數(shù)集時，應綜合函數(shù)的定義域，將擴大的部 分剔除. 【觸類旁通】 【變式一】【2018屆陜西省西安市長安區(qū)大聯(lián)考（一）】已知函數(shù)的值域是，則實數(shù)的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】C 【變式二】【2018屆浙江省杭州市高三上期末】設函數(shù)，記為函數(shù)在上的最大值， 為的最大值.（ ） A. 若，則 B. 若，則 C. 若，則 D. 若，則 【答案】C 【解析】由題意得， 則 若，則，此時任意有 則， ， ， 在時與題意相符，故選 【易錯試題常警惕】 易錯典例：函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 . 易錯分析：求單調(diào)區(qū)間時，只顧及到內(nèi)層二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，而忽視了函數(shù)定義域的重要性. 正確解析：自變量滿足，解得或， 令，， 則內(nèi)層函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增， 而外層函數(shù)在上是減函數(shù)， 由復合函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為. 【規(guī)范解答】 因為f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(3)＝1，所以2＝2f(3)＝f(3)＋f(3)＝f(9). 2分 又f(a)>f(a－1)＋2，所以f(a)>f(a－1)＋f(9)，再由f(xy)＝f(x)＋f(y)，可知f(a)>f(9(a－1)). 4分 從而有 8分 解得1
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