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第20講　函數y=Asin(ωx+φ)的圖像及三角函數模型的簡單應用 1.y=Asin(ωx+φ)的有關概念 振幅 周期 頻率 相位 初相 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0), x∈[0,+∞) A T= 　　 f=1T= 　　　 　　 　　 2.用五點法畫y=Asin(ωx+φ)一個周期內的簡圖時,要找五個特征點,如下表所示: x 　　 　　 　　 　　 　　 ωx+φ 　　 　　 　　 　　 　　 y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0 3.函數y=sin x的圖像經變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖像的步驟 圖3-20-1 題組一　常識題 1.[教材改編] 函數y=sin x的圖像上所有點的橫坐標不變,縱坐標伸長為原來的2倍得到的圖像對應的函數解析式是　　　　. 2.[教材改編] 某函數的圖像向右平移π2個單位長度后得到的圖像對應的函數解析式是y=sinx+π4,則原函數的解析式是　　　　　　　　. 3.[教材改編] 函數y=cos2x-π2的周期為　　　　,單調遞增區(qū)間為　　　　　　　　. 4.[教材改編] 已知簡諧運動f(x)=2sinπ3x+φ|φ|<π2的圖像經過點(0,1),則該簡諧運動的初相φ為　　　　. 題組二　常錯題 ◆索引:圖像平移多少單位長度容易搞錯;不能正確理解三角函數圖像對稱性的特征;三角函數的單調區(qū)間把握不準導致出錯;確定不了函數解析式中φ的值. 5.為得到函數y=cos2x+π3的圖像,只需將函數y=sin 2x的圖像向　　　　平移　　　　個單位長度. 6.設ω>0,若函數f(x)=12sin ωx在區(qū)間-π2,π2上單調遞增,則ω的取值范圍是　　　　. 7.若f(x)=2sin(ωx+φ)+m對任意實數t都有fπ8+t=fπ8-t,且fπ8=-3,則實數m=　　　　. 圖3-20-2 8.已知函數f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分圖像如圖3-20-2所示,則φ=　　　　. 探究點一　函數y=Asin(ωx+φ)的圖像變換 例1 (1)將函數f(x)=sin2x+π4的圖像沿x軸向左平移π8個單位長度后所得圖像對應的函數解析式為 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.y=cos 2x B.y=-cos 2x C.y=sin2x+3π8 D.y=sin2x-π8 (2)若由函數y=sin2x+π2的圖像變換得到y(tǒng)=sinx2+π3的圖像,則可以通過以下兩個步驟完成:第一步,把y=sin2x+π2圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標不變;第二步,把所得圖像沿x軸 (　　) A.向右平移π3個單位長度 B.向右平移5π12個單位長度 C.向左平移π3個單位長度 D.向左平移5π12個單位長度 [總結反思] 由y=sin x的圖像變換到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖像,兩種變換中平移的量的區(qū)別:先平移再伸縮,平移的量是|φ|個單位長度;而先伸縮再平移,平移的量是|φ|ω(ω>0)個單位長度.特別提醒:平移變換和伸縮變換都是針對x而言,即x本身加減多少值,而不是依賴于ωx加減多少值. 變式題 (1)[2018江西八所重點中學聯考] 將函數y=sinx-π6的圖像上所有的點向右平移π4個單位長度,再把所得圖像上各點的橫坐標擴大到原來的2倍(縱坐標不變),則所得圖像對應的函數解析式為 (　　) A.y=sin2x-5π12 B.y=sinx2+π12 C.y=sinx2-5π12 D.y=sinx2-5π24 (2)為了得到函數y=sin 3x的圖像,可以將y=cos 3x的圖像 (　　) A.向右平移π6個單位長度 B.向左平移π6個單位長度 C.向右平移π2個單位長度 D.向左平移π3個單位長度 探究點二　函數y=Asin(ωx+φ)的圖像與解析式 例2 (1)已知函數f(x)=Asin(ωx+θ)(A>0,|θ|<π)的部分圖像如圖3-20-3所示,將函數y=f(x)的圖像向右平移π4個單位長度得到函數y=g(x)的圖像,則函數g(x)的解析式為 (　　) A.g(x)=2sin 2x B.g(x)=2sin2x+π8 C.g(x)=2sin2x+π4 D.g(x)=2sin2x-π4 圖3-20-3 (2)已知函數y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的部分圖像如圖3-20-4所示,則φ=　　　　. 圖3-20-4 [總結反思] 利用圖像求函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式主要從以下三個方面考慮: (1)根據最大值或最小值求出A的值. (2)根據周期求出ω的值. (3)求φ的常用方法如下:①代入法:把圖像上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖像的最高點或最低點代入.②五點法:確定φ的值時,往往以尋找“五點法”中的特殊點作為突破口. 圖3-20-5 變式題 已知函數f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分圖像如圖3-20-5所示,且Aπ2,1,B(π,-1),則φ的值為　　　　. 探究點三　函數y=Asin(ωx+φ)的圖像與性質 例3 [2018湖北八市聯考] 函數f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2在它的某一個周期內的單調遞減區(qū)間是5π12,11π12.將y=f(x)的圖像先向左平移π4個單位長度,再將所得圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?2(縱坐標不變),所得到的圖像對應的函數記為g(x). (1)求g(x)的解析式; (2)求g(x)在區(qū)間0,π4上的最大值和最小值. [總結反思] 三角函數圖像與性質綜合問題的求解思路:(1)將函數整理成y=Asin(ωx+φ)+B(ω>0)的形式;(2)把ωx+φ看成一個整體;(3)借助正弦函數y=sin x的圖像與性質(如定義域、值域、最值、周期性、對稱性、單調性等)解決相關問題. 變式題 (1)[2018益陽調研] 將函數f(x)=cos(2x+θ)|θ|<π2的圖像向右平移π3個單位長度后得到函數g(x)的圖像,若g(x)的圖像關于直線x=π4對稱,則θ= (　　) A.π6 B.π12 C.-π6 D.-π12 (2)[2018葫蘆島二模] 已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,π2<φ<π的部分圖像如圖3-20-6所示,則下列說法正確的是(　　) 圖3-20-6 A.函數f(x)的周期為π B.函數y=f(x-π)為奇函數 C.函數f(x)在-π,π2上單調遞增 D.函數f(x)的圖像關于點3π4,0對稱 探究點四　三角函數模型的簡單應用 例4 如圖3-20-7所示,制圖工程師要用兩個同中心且邊長均為4的正方形合成一個八角形圖形,由對稱性知,圖中8個三角形都是全等的三角形,設∠AA1H1=α. 圖3-20-7 (1)試用α表示△AA1H1的面積; (2)求八角形所覆蓋面積的最大值,并指出此時α的大小. [總結反思] 三角函數模型在實際問題中的應用體現在兩個方面:(1)已知函數模型,利用三角函數的有關性質解決問題,其關鍵是準確理解自變量的含義及自變量與函數之間的對應法則;(2)把實際問題抽象轉化成三角函數模型問題,關鍵是利用三角函數表示實際問題中的有關量,建立模型. 變式題 某城市一年12個月的月平均氣溫與月份的關系可近似地用函數y=a+Acosπ6(x-6)(x=1,2,3,…,12)來表示,已知6月份的平均氣溫最高,為28 ℃,12月份的平均氣溫最低,為18 ℃,則10月份的平均氣溫為　　　　℃. 第20講　函數y=Asin(ωx+φ)的圖像及三角函數模型的簡單應用 考試說明 1.了解函數y=Asin(ωx+φ)的物理意義;能畫出函數y=Asin(ωx+φ)的圖像,了解參數A,ω,φ對函數圖像變化的影響. 2.會用三角函數解決一些簡單實際問題,體會三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型. 【課前雙基鞏固】 知識聚焦 1.2πω　ω2π　ωx+φ　φ 2.-φω　π2-φω　π-φω　3π2-φω　2π-φω　0　π2　π　3π2　2π 3.|φ|　φω 對點演練 1.y=2sin x　[解析] 根據函數圖像變換法則可得. 2.y=sinx+3π4　[解析] 函數y=sinx+π4的圖像向左平移π2個單位長度后得到y(tǒng)=sinx+π2+π4=sinx+3π4的圖像,即原函數的解析式為y=sinx+3π4. 3.π　-π4+kπ,π4+kπ(k∈Z)　[解析] y=cos2x-π2=sin 2x,所以函數的周期T=2π2=π.由-π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ(k∈Z),得-π4+kπ≤x≤π4+kπ(k∈Z),故函數的單調遞增區(qū)間為-π4+kπ,π4+kπ(k∈Z). 4.π6　[解析] 將點(0,1)代入函數解析式,可得2sin φ=1,即sin φ=12.∵|φ|<π2,∴φ=π6. 5.左　5π12　[解析] y=cos2x+π3=sinπ2+2x+π3=sin2x+5π6. 故要得到y(tǒng)=sin2x+5π6=sin 2x+5π12的圖像,只需將函數y=sin 2x的圖像向左平移5π12個單位長度. 6.(0,1]　[解析] 因為函數f(x)=12sin ωx在區(qū)間-π2,π2上單調遞增,所以T2=πω≥π2+π2=π,所以ω≤1,又因為ω>0,所以ω∈(0,1]. 7.-5或-1　[解析] 由fπ8+t=fπ8-t得,函數f(x)的圖像的對稱軸為直線x=π8.故當x=π8時,函數取得最大值或最小值,于是有-2+m=-3或2+m=-3,即m=-1或m=-5. 8.-π6　[解析] 由圖像可知,T=47π12-π3=π,所以ω=2ππ=2.因為fπ3=sin2π3+φ=1,所以2π3+φ=π2+2kπ(k∈Z),即φ=-π6+2kπ(k∈Z),又|φ|<π2,所以φ=-π6. 【課堂考點探究】 例1　[思路點撥] 根據圖像平移“左加右減”的規(guī)則以及平移量確定結果. (1)A　(2)A　[解析] (1)由題意知,將f(x)=sin2x+π4的圖像向左平移π8個單位長度后,得到y(tǒng)=sin2x+π8+π4=sin2x+π2=cos 2x的圖像,故選A. (2)把y=sin2x+π2圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,得到函數y=sinx2+π2的圖像,再把所得圖像沿x軸向右平移π3個單位長度,可以得到y(tǒng)=sin12x-π3+π2=sin12x+π3的圖像.故選A. 變式題　(1)C　(2)A　[解析] (1)將函數y=sinx-π6的圖像向右平移π4個單位長度,得到y(tǒng)=sinx-5π12的圖像,再把所得圖像上各點的橫坐標擴大到原來的2倍(縱坐標不變),得到y(tǒng)=sinx2-5π12的圖像,故選C. (2)由題意知,y=cos 3x=sin3x+π2=sin 3x+π6,將函數y=sin 3x+π6的圖像向右平移π6個單位長度,得到y(tǒng)=sin 3x+π6-π6=sin 3x的圖像,故選A. 例2　[思路點撥] (1)先根據圖像確定A,T,ω,θ,再根據平移得函數g(x)的解析式;(2)結合函數的圖像首先確定ω的值,然后確定φ的值即可. (1)D　(2)9π10　[解析] (1)由題圖得,A=2,T=7π8--π8=π,∴ω=2πT=2. ∵當x=3π8-π82=π8時,y=2,∴2π8+θ=π2+2kπ(k∈Z),∴θ=π4+2kπ(k∈Z),又∵|θ|<π,∴θ=π4,∴f(x)=2sin2x+π4, ∴g(x)=2sin2x-π4+π4=2sin2x-π4,故選D. (2)由題意可知,函數的最小正周期T=22π-34π=52π, 則ω=2πT=2π52π=45.當x=2π時,ωx+φ=452π+φ=2kπ+π2(k∈Z), 則φ=2kπ-1110π(k∈Z),由于-π≤φ<π,故φ=9π10. 變式題　-5π6　[解析] 根據函數f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的圖像,且Aπ2,1,B(π,-1),可得從點A到點B正好經過了半個周期,即122πω=π-π2,∴ω=2.再把點A,B的坐標代入函數解析式,可得2sin2π2+φ=-2sin φ=1,2sin(2π+φ )=2sin φ=-1,∴sin φ=-12,∴φ=2kπ-π6或φ=2kπ-5π6,k∈Z.再結合“五點作圖法”,可得φ=-5π6. 例3　[思路點撥] (1)根據已知求得ω的值,然后求出φ的值,從而可求出f(x)的解析式,進而得到g(x)的解析式;(2)確定g(x)的單調性,然后求出最值. 解:(1)由題意可知,T2=11π12-5π12=π2,∴ω=2,又sin25π12+φ=1,|φ|<π2,∴φ=-π3, ∴f(x)=sin2x-π3, ∴g(x)=sin4x+π6. (2)由(1)可知,g(x)在0,π12上為增函數,在π12,π4上為減函數,∴g(x)max=gπ12=1,又∵g(0)=12,gπ4=-12,∴g(x)min=gπ4=-12,故函數g(x)在0,π4上的最大值和最小值分別為1和-12. 變式題　(1)A　(2)B　[解析] (1)由題意知,g(x)=cos2x-π3+θ=cos2x-2π3+θ,令2x-2π3+θ=kπ(k∈Z),則函數g(x)的圖像的對稱軸為直線x=π3-θ2+kπ2(k∈Z),令π3-θ2+kπ2=π4(k∈Z),則θ=π6+kπ(k∈Z),又|θ|<π2,所以θ=π6.故選A. (2)觀察圖像可得,函數的最小值為-2,所以A=2.由圖像可知函數過點(0,3), 所以3=2sin φ,又因為π2<φ<π,所以φ=2π3.由圖像可知,5π4ω+2π3=3π2+2kπ,k∈Z,解得ω=23+85k,k∈Z,又T2=πω>5π4,所以0<ω<45,所以ω=23,則f(x)=2sin23x+2π3.顯然A選項錯誤; 對于B,f(x-π)=2sin23(x-π)+2π3=2sin23x,是奇函數,故B選項正確; 對于C,觀察圖像可知,f(x)在-π,π2上不單調,故C選項錯誤; 對于D,f3π4=2sin233π4+2π3=2sin7π6≠0,故D選項錯誤. 故選B. 例4　[思路點撥] (1)注意到BA1=AA1,AH1=H1H,從而知△AA1H1的周長為4,設AH1=x,從而可求得S△AA1H1;(2)令t=sin α+cos α,用t表示S△AA1H1,根據t∈(1,2]可求得最大值. 解:(1)設AH1=x,由題意知,x+xsinα+xtanα=4, ∴x=4sinαsinα+cosα+1,∴S△AA1H1=12x2tanα=8sinαcosα(sinα+cosα+1)2,α∈0,π2. (2)令t=sin α+cos α,∵α∈0,π2,∴t∈(1,2]. 當八角形所覆蓋的面積最大時,S△AA1H1取得最大值.由(1)可知,S△AA1H1=4(t2-1)(t+1)2=4-8t+1, ∴當t=2,即α=π4時,S△AA1H1取得最大值,此時八角形所覆蓋的面積最大,設為S,則S=16+44-82+1=64-322,∴八角形所覆蓋面積的最大值為64-322. 變式題　20.5　[解析] 因為當x=6時,y=a+A=28,當x=12時,y=a-A=18,所以a=23,A=5, 所以y=23+5cosπ6(x-6),所以當x=10時,y=23+5cosπ64=23-512=20.5. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【備選理由】 例1考查正切函數的圖像,是對例題中正弦、余弦函數圖像問題的補充;例2重點考查函數的對稱性,對正弦函數圖像的對稱軸與對稱中心加深理解;例3主要考查了三角函數圖像與性質的綜合應用問題,著重考查了推理與運算能力;例4是實際應用題目,要根據條件轉化為數學中的知識. 例1　[配合例2使用] 已知函數f(x)=Atan(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分圖像如圖所示,則fπ12= (　　) A.3 B.3 C.1 D.33 [解析] A　由題可知,T2=5π12-π6=π4,∴T=π2,∴ω=πT=2.由圖像可知,5π122+φ=kπ(k∈Z),得φ=-5π6+kπ(k∈Z),又|φ|<π2,∴φ=π6, ∴f(x)=Atan2x+π6. 又f(0)=Atanπ6=1,∴A=3, ∴f(x)=3tan2x+π6, ∴fπ12=3tanπ6+π6=3tanπ3=3.故選A. 例2　[配合例3使用] [2018長沙長郡中學二模] 已知函數f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2,其圖像相鄰兩條對稱軸之間的距離為π4,將函數y=f(x)的圖像向左平移3π16個單位長度后,得到的圖像關于y軸對稱,那么函數y=f(x)的圖像 (　　) A.關于點-π16,0對稱 B.關于點π16,0對稱 C.關于直線x=π16對稱 D.關于直線x=-π4對稱 [解析] B　∵函數y=f(x)的圖像相鄰兩條對稱軸之間的距離為π4, ∴函數的周期T=π2,∴ω=2πT=4,∴f(x)=sin(4x+φ). 將函數y=f(x)的圖像向左平移3π16個單位長度后, 得到函數y=sin4x+3π16+φ的圖像, ∵所得圖像關于y軸對稱, ∴43π16+φ=kπ+π2,k∈Z,即φ=kπ-π4,k∈Z, 又|φ|<π2,∴φ=-π4,∴f(x)=sin4x-π4. 令4x-π4=kπ,k∈Z, 解得x=kπ4+π16,k∈Z, 令k=0,得f(x)的圖像關于點π16,0對稱.故選B. 例3　[配合例3使用] 已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分圖像如圖所示. (1)求函數f(x)的單調遞增區(qū)間; (2)若x∈-3π8,π4,求函數f(x)的值域. 解:(1)由圖像可知,T2=3π8--π8=π2,∴T=π,∴ω=2πT=2.又函數的最大值為2,且A>0,∴A=2.∵f-π8=2,∴2-π8+φ=π2+2kπ,k∈Z,∴φ=3π4+2kπ,k∈Z,又∵|φ|<π,∴φ=3π4,∴f(x)=2sin2x+3π4. 由-π2+2kπ≤2x+3π4≤π2+2kπ,k∈Z, 得-5π8+kπ≤x≤-π8+kπ,k∈Z, ∴函數f(x)的單調遞增區(qū)間為-5π8+kπ,-π8+kπ,k∈Z. (2)∵x∈-3π8,π4,∴2x+3π4∈0,5π4, ∴當2x+3π4=5π4,即x=π4時,f(x)min=-2,當2x+3π4=π2,即x=-π8時,f(x)max=2, ∴函數f(x)在-38π,π4上的值域為[-2,2]. 例4　[配合例4使用] 一根長a cm的線一端固定,另一端懸掛一個小球,小球擺動時,離開平衡位置的位移s(cm)和時間t(s)的函數關系式是s=3cosgat+π3,t∈[0,+∞),則小球擺動的周期為　　　　s. [答案] 2πag [解析] ∵小球的位移s與時間t的函數關系式為s=3cosgat+π3,t∈[0,+∞),∴小球擺動的周期T=2πga=2πag.