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第18練 用導數研究函數的單調性
[基礎保分練]
1．若f(x)＝x3－ax2＋1在(1,3)上單調遞減，則實數a的取值范圍是( )
A．(－∞，3] B.
C. D．(0,3)
2．設函數f(x)＝ax3－x2(a>0)在(0,2)上不單調，則a的取值范圍是( )
A．a>1 B．0
0，其中f′(x)為f(x)的導數，設a＝f(0)，b＝2f(ln2)，c＝ef(1)，則a，b，c的大小關系是( )
A．c>b>aB．a>b>cC．c>a>bD．b>c>a
4．(2019廈門外國語學校月考)已知函數f(x)＝sinx－x，x∈[0，π]，且cosx0＝，x0∈[0，π]那么下列命題中真命題的序號是( )
①f(x)的最大值為f(x0)；
②f(x)的最小值為f(x0)；
③f(x)在[0，π]上是減函數；
④f(x)在[x0，π]上是減函數．
A．①③B．①④C．②③D．②④
5．若0lnx2－lnx1 B．0時，xf′(x)>f(x)，若f(2)＝0，則不等式>0的解集為( )
A．{x|－22}
C．{x|－22}
D．{x|x<－2或00恒成立，則稱函數f(x)在區(qū)間D上為凹函數，已知函數f(x)＝x3－x2＋1在區(qū)間D上為凹函數，則x的取值范圍是________．
10．定義在R上的函數f(x)滿足f(x)＋f′(x)>1，f(0)＝4，則不等式exf(x)>ex＋3(其中e為自然對數的底數)的解集為________．
[能力提升練]
1．(2018湖南省澧縣一中檢測)設函數f′(x)是函數f(x)(x∈R)的導函數，已知f′(x)0時，總有f(x)g′(x)0的解集為( )
A．(1,2)∪(3，＋∞) B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－3，－2)∪(－1，＋∞) D．(－1,0)∪(3，＋∞)
3．定義在R上的奇函數y＝f(x)滿足f(3)＝0，且當x>0時，不等式f(x)>－xf′(x)恒成立，則函數g(x)＝xf(x)＋lg|x＋1|的零點的個數為( )
A．1B．2C．3D．4
4．(2019四川省眉山市仁壽第一中學調研)設函數f′(x)是奇函數f(x)(x∈R)的導函數，當x>0時，xlnxf′(x)<－f(x)，則使得(x2－4)f(x)>0成立的x的取值范圍是( )
A．(－2,0)∪(0,2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－2,0)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0,2)
5．已知y＝f(x)(x∈R)的導函數為f′(x)，若f(x)－f(－x)＝2x3，且當x≥0時f′(x)>3x2，則不等式f(x)－f(x－1)>3x2－3x＋1的解集是________．
6．若函數exf(x)(e＝2.71828…是自然對數的底數)在f(x)的定義域上單調遞增，則稱函數f(x)具有M性質．下列函數中所有具有M性質的函數的序號為________．
①f(x)＝2－x；②f(x)＝3－x；③f(x)＝x3；④f(x)＝x2＋2.
答案精析
基礎保分練
1．B 2.A 3.A 4.B 5.C 6.B
7．C [令g(x)＝，x∈R且x≠0.
∵x＞0時，g′(x)＝>0，
∴g(x)在(0，＋∞)上單調遞增，
∵f(－x)＝f(x)，∴g(－x)＝－g(x)，
∴g(x)是奇函數，g(x)在(－∞，0)上單調遞增，
∵g(2)＝＝0，
∴0＜x＜2時，g(x)＜0，x＞2時，
g(x)＞0，
根據函數的奇偶性，g(－2)＝－g(2)＝0，－2＜x＜0時，g(x)＞0，x＜－2時，
g(x)＜0，
綜上所述，不等式>0的解集為{x|－22}．
故選C.]
8．B [令g(x)＝f(x)－x2，?x∈R都有f′(x)0，
故使得不等式f(x)－2ex<0成立的x的取值范圍是(0，＋∞)，故選B.]
2．A [令h(x)＝，x∈R，因為′＝>0，其中x>0，所以h(x)在(0，＋∞)上是增函數，又h(－x)＝－h(huán)(x)，故h(x)在R上是奇函數，且h(1)＝h(－1)＝0，所以當x>1或－10，因為>0，所以x－2>1或－13或10時，f(x)>－xf′(x)，
即f(x)＋xf′(x)>0，
∴[xf(x)]′>0，函數h(x)＝xf(x)在x>0時是增函數，
又h(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)，
∴h(x)＝xf(x)是偶函數．
∴當x<0時，
h(x)是減函數，結合函數的定義域為R，且f(0)＝f(3)＝f(－3)＝0，可得函數y1＝xf(x)與y2＝－lg|x＋1|的大致圖象如圖所示，
∴由圖象知，函數g(x)＝xf(x)＋lg|x＋1|的零點的個數為3，故選C.]
4．D [根據題意，設g(x)＝lnxf(x)(x>0)，
其導數g′(x)＝(lnx)′f(x)＋lnxf′(x)
＝f(x)＋lnxf′(x)，
又由當x>0時，lnxf′(x)<－f(x)，
得g′(x)＝f(x)＋lnxf′(x)<0，
即函數g(x)在(0，＋∞)上為減函數，
又由g(1)＝ln1f(1)＝0，
則在區(qū)間(0,1)上，g(x)＝lnxf(x)>g(1)＝0，
又由lnx<0，得f(x)<0；
在區(qū)間(1，＋∞)上，g(x)＝lnxf(x)0，得f(x)<0，
則在(0,1)和(1，＋∞)上f(x)<0，
當x>0時，xlnxf′(x)<－f(x)，
令x＝1得，
0<－f(1)，則f(1)<0，
即在(0，＋∞)上f(x)<0，
又由f(x)為奇函數，則在區(qū)間(－∞，0)上，都有f(x)>0，
(x2－4)f(x)>0?
或
解得x<－2或03x2，即F′(x)>0，
所以F(x)在[0，＋∞)上為增函數．
不等式f(x)－f(x－1)>3x2－3x＋1化為F(x)>F(x－1)，
所以有|x|>|x－1|，解得x>.
6．①④
解析 對于①，f(x)＝2－x，則g(x)＝exf(x)＝ex2－x＝x為實數集上的增函數；
對于②，f(x)＝3－x，則g(x)＝exf(x)＝ex3－x＝x為實數集上的減函數；
對于③，f(x)＝x3，
則g(x)＝exf(x)＝exx3，
g′(x)＝exx3＋3exx2
＝exx2(x＋3)，
當x<－3時，g′(x)<0，
當x>－3時，g′(x)>0，
∴g(x)＝exf(x)在定義域R上先減后增；
對于④，f(x)＝x2＋2，則g(x)＝exf(x)＝ex(x2＋2)，
g′(x)＝ex(x2＋2)＋2xex＝ex(x2＋2x＋2)>0在實數集R上恒成立，
∴g(x)＝exf(x)在定義域R上是增函數．
∴具有M性質的函數的序號為①④.
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