江蘇省東臺市高中數(shù)學 第二章 推理與證明 2.2.1 直接證明導學案蘇教版選修2-2.doc
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2．2.1 直接證明 1、 教學目標 1. 了解直接證明的兩種基本方法——綜合法和分析法. 2.理解綜合法和分析法的思考過程、特點，會用綜合法和分析法證明數(shù)學問題． 三、課前預習 1．綜合法與分析法的推理過程是合情推理還是演繹推理？ 2．必修5中基本不等式≥(a>0，b>0)是怎樣證明的？ 3．直接證明 直接從 推得 的證明通常稱為直接證明．直接證明中最基本的兩種證明方法是 ，也是解決數(shù)學問題時常用的思維方式． 2．綜合法 從 出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出 為止，這種證明方法通常稱為綜合法． 3．分析法 從 出發(fā)，追溯導致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到使結(jié)論成立的條件和 吻合為止，這種證明方法通常稱為分析法法. 四、講解新課 要點一 綜合法的應用 例1 已知a，b是正數(shù)，且a＋b＝1，求證：＋≥4. 證明 方法一 ∵a，b是正數(shù)且a＋b＝1， ∴a＋b≥2，∴≤，∴＋＝＝≥4. 方法二 ∵a，b是正數(shù)，∴a＋b≥2>0， ＋≥2>0， ∴(a＋b)≥4. 又a＋b＝1，∴＋≥4. 方法三?。剑?＋＋＋1≥2＋2＝4.當且僅當a＝b時，取“＝”． 規(guī)律方法 利用綜合法證明問題的步驟： (1)分析條件選擇方向：仔細分析題目的已知條件(包括隱含條件)，分析已知與結(jié)論之間的聯(lián)系與區(qū)別，選擇相關(guān)的公理、定理、公式、結(jié)論，確定恰當?shù)膬?yōu)化解法． (2)轉(zhuǎn)化條件組織過程：把題目的已知條件，轉(zhuǎn)化成解題所需要的語言，主要是文字、符號、圖形三種語言之間的轉(zhuǎn)化，組織過程時要有嚴密的邏輯，簡潔的語言，清晰的思路． (3)適當調(diào)整回顧反思：解題后回顧解題過程，可對部分步驟進行調(diào)整，并對一些語言進行適當?shù)男揎?，反思總結(jié)優(yōu)化解法． 跟蹤演練1 在△ABC中，三個內(nèi)角A、B、C對應的邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列，求證：△ABC為等邊三角形． 要點二 分析法的應用 例2 課本例一P80 規(guī)律方法 分析法格式與綜合法正好相反，它是從要求證的結(jié)論出發(fā)，倒著分析，由未知想需知，由需知逐漸地靠近已知(已知條件、已經(jīng)學過的定義、定理、公理、公式、法則等)．這種證明的方法關(guān)鍵在于需保證分析過程的每一步都是可以逆推的．它的常見書寫表達式是“要證……只需……”或“?”． 跟蹤演練2 如圖所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，過A作SB的垂線，垂足為E，過E作SC的垂線，垂足為F. 求證：AF⊥SC. 注意： 綜合法推理清晰，易于書寫，分析法從結(jié)論入手，易于尋找解題思路，在實際證明命題時，常把分析法與綜合法結(jié)合起來使用，稱為分析綜合法，其結(jié)構(gòu)特點是：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論P；若由P可推出Q，即可得證． 跟蹤演練3 設實數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，非零實數(shù)x，y分別為a與b，b與c的等差中項，求證：＋＝2. 五、課堂練習 1．下列表述：①綜合法是由因?qū)Чǎ? ②綜合法是順推法； ③分析法是執(zhí)果索因法； ④分析法是間接證明法；⑤分析法是逆推法．其中正確的序號有________個． 2．設a，b是兩個正實數(shù)，且a>>b；②b>>>a； ③b>>>a；④b>a>>. 3．已知＝1，求證：cosα－s inα＝3(cosα＋sinα)． 六、課堂小結(jié) 七、課后作業(yè) 1．分析法是________． ①執(zhí)果索因的逆推法；②執(zhí)因?qū)Ч捻樛品ǎ? ③因果分別互推的兩頭湊法；④尋找結(jié)論成立的充要條件的證明辦法． 2．設a，b是正實數(shù)，以下不等式①＞；②a＞|a－b|－b；③ab＋＞2恒成立的序號是________． 3．設函數(shù)f(x)是定義在R上，周期為3的奇函數(shù)，若f(1)＜1，f(2)＝，則a的取值范圍為________． 4．設0
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