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(二)直線與圓錐曲線(2)
1．(2018洛陽模擬)已知拋物線C：y＝－x2，點A，B在拋物線上，且橫坐標分別為－，，拋物線C上的點P在A，B之間(不包括點A，點B)，過點B作直線AP的垂線，垂足為Q.
(1)求直線AP的斜率k的取值范圍；
(2)求|PA||PQ|的最大值．
解 (1)由題意可知A，B，
設P(xP，－x)，－
0，
當－b>0)的焦距為2c，離心率為，圓O：x2＋y2＝c2，A1，A2是橢圓的左、右頂點，AB是圓O的任意一條直徑，△A1AB面積的最大值為2.
(1)求橢圓C及圓O的方程；
(2)若l為圓O的任意一條切線，l與橢圓C交于兩點P，Q，求|PQ|的取值范圍．
解 (1)設B點到x軸距離為h，
則＝＝2|A1O|h＝ah，
易知當線段AB在y軸時，
hmax＝|BO|＝c，∴＝ac＝2，
∵e＝＝，
∴a＝2c，∴a＝2，c＝1，b＝，
∴橢圓C的方程為＋＝1，圓O的方程為x2＋y2＝1.
(2)①當直線l的斜率不存在時，求得|PQ|＝3；
②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝kx＋m，
∵直線為圓的切線，
∴d＝＝1，
∴m2＝k2＋1，
聯立
得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
判別式Δ＝48(3k2＋2)>0，
由根與系數的關系得
∴弦長|PQ|＝|x1－x2|
＝，
令t＝4k2＋3≥3，
則|PQ|＝∈.
綜上，|PQ|∈.
3．(2018江西省重點中學協(xié)作體聯考)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，短軸為MN，點P(4,0)滿足＝15.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設O為坐標原點，過點P的動直線l與橢圓交于點A，B，是否存在常數λ，使得＋λ為定值？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．
解 (1)＝(－4，b)(－4，－b)＝16－b2＝15，
所以b＝1，
又＝＝，所以a2＝4，
從而橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)當l不為x軸時，
設l：x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
聯立l與C的方程可得(m2＋4)y2＋8my＋12＝0，
所以y1＋y2＝－，y1y2＝，
＋λ＝x1x2＋y1y2＋λ[(x1－4)(x2－4)＋y1y2]
＝(1＋λ)(1＋m2)y1y2＋4m(y1＋y2)＋16
＝＋16.
因為＋λ為定值，
所以＝，
解得λ＝，此時定值為.
當l為x軸時，A(－2,0)，B(2,0)．
＋λ＝－4＋12＝.
綜上，存在λ＝，使得＋λ為定值.
4．(2018宿州質檢)已知橢圓C的中心為坐標原點，焦點在x軸上，離心率e＝，以橢圓C的長軸和短軸為對角線的四邊形的周長為4.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若經過點P(1,0)的直線l交橢圓C于A，B兩點，是否存在直線l0：x＝x0(x0>2)，使得A，B到直線l0的距離dA，dB滿足＝恒成立，若存在，求出x0的值；若不存在，請說明理由．
解 (1)設橢圓C的標準方程為＋＝1(a>b>0)，
∵＝，∴c＝a，
又∵4＝4，
∴a2＋b2＝5，由b2＝a2－c2＝a2，
解得a＝2，b＝1，c＝.
∴橢圓C的標準方程為＋y2＝1.
(2)若直線l的斜率不存在，
則直線l0為任意的x＝x0(x0>2)都滿足要求；
當直線l的斜率存在時，設其方程為y＝k(x－1)，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)(不妨令x1>1>x2)，
則dA＝x0－x1，dB＝x0－x2，
|PA|＝(x1－1)，|PB|＝(1－x2)，
∵＝，
∴＝ ＝，
解得x0＝.
由得(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝0，
x1＋x2＝，x1x2＝，
x0＝＝4.
綜上可知，存在直線l0：x＝4，使得A，B到直線l0的距離dA，dB滿足＝恒成立．
5．(2018四省大聯考)如圖，在平面直角坐標系中，已知點F(1,0)，過直線l：x＝2左側的動點P作PH⊥l于點H，∠HPF的角平分線交x軸于點M，且|PH|＝|MF|，記動點P的軌跡為曲線Γ.
(1)求曲線Γ的方程；
(2)過點F作直線m交曲線Γ于A，B兩點，點C在l上，且BC∥x軸，試問：直線AC是否恒過定點？請說明理由．
解 (1)設P(x，y)，由題意可知|MF|＝|PF|，
所以＝＝，
即＝，化簡整理得＋y2＝1，
即曲線Γ的方程為＋y2＝1.
(2)由已知可得直線m的斜率不為0，
∴可設直線m的方程為x＝ny＋1，
聯立消去x，
得(n2＋2)y2＋2ny－1＝0，Δ>0恒成立，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則C(2，y2)，
則y1＋y2＝－，y1y2＝－，x1＝ny1＋1，
∴直線AC的斜率為k＝，
直線AC的方程為y－y2＝(x－2)，
即y＝，
又＝
＝＝，
∴直線AC的方程為
y＝＝，
∴直線AC過定點N.
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