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4　萬有引力理論的成就 學習目標 1.了解萬有引力定律在天文學上的重要應用. 2.了解“計算天體質量”的基本思路. 3.掌握運用萬有引力定律和圓周運動知識分析天體運動問題的思路. 考試要求 學考 選考 c c 一、計算天體的質量 1.稱量地球的質量 (1)思路：若不考慮地球自轉，地球表面的物體的重力等于地球對物體的萬有引力. (2)關系式：mg＝G. (3)結果：M＝，只要知道g、R、G的值，就可計算出地球的質量. 2.太陽質量的計算 (1)思路：質量為m的行星繞太陽做勻速圓周運動時，行星與太陽間的萬有引力充當向心力. (2)關系式：＝mr. (3)結論：M＝，只要知道行星繞太陽運動的周期T和半徑r就可以計算出太陽的質量. (4)推廣：若已知衛(wèi)星繞行星運動的周期T和衛(wèi)星與行星之間的距離r，可計算行星的質量M. 二、發(fā)現未知天體 1.海王星的發(fā)現：英國劍橋大學的學生亞當斯和法國年輕的天文學家勒維耶根據天王星的觀測資料，利用萬有引力定律計算出天王星外“新”行星的軌道.1846年9月23日，德國的伽勒在勒維耶預言的位置附近發(fā)現了這顆行星——海王星. 2.其他天體的發(fā)現：近100年來，人們在海王星的軌道之外又發(fā)現了冥王星、鬩神星等幾個較大的天體. 1.判斷下列說法的正誤. (1)地球表面的物體的重力必然等于地球對它的萬有引力.() (2)若知道某行星的自轉周期和行星繞太陽做圓周運動的半徑，就可以求出太陽的質量.() (3)已知地球繞太陽轉動的周期和軌道半徑，可以求出地球的質量.() (4)海王星是依據萬有引力定律計算的軌道而發(fā)現的.(√) (5)牛頓根據萬有引力定律計算出了海王星的軌道.() (6)海王星的發(fā)現表明了萬有引力理論在太陽系內的正確性.(√) 2.已知引力常量G＝6.6710－11 Nm2/kg2，重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半徑R＝6.4106 m，則可知地球的質量約為(　　) A.21018 kg B.21020 kg C.61022 kg D.61024 kg 答案　D 一、天體質量和密度的計算 1.卡文迪許在實驗室測出了引力常量G的值，他稱自己是“可以稱量地球質量的人”. (1)他“稱量”的依據是什么？ (2)若還已知地球表面重力加速度g，地球半徑R，求地球的質量和密度. 答案　(1)若忽略地球自轉的影響，在地球表面上物體受到的重力等于地球對物體的萬有引力. (2)由mg＝G，得： M＝ ρ＝＝＝. 2.如果知道地球繞太陽的公轉周期T和它與太陽的距離r，能求出太陽的質量嗎？若要求太陽的密度，還需要哪些量？ 答案　由＝m地r知M太＝，可以求出太陽的質量，因此可以求出太陽的質量.由密度公式ρ＝可知，若要求太陽的密度還需要知道太陽的半徑. 天體質量和密度的計算方法 重力加速度法 環(huán)繞法 情景 已知天體(如地球)的半徑R和天體(如地球)表面的重力加速度g 行星或衛(wèi)星繞中心 天體做勻速圓周運動 思路 物體在表面的重力近似等于天體(如地球)與物體間的萬有引力：mg＝G 行星或衛(wèi)星受到的萬有引力充當向心力：G＝m()2r (G＝m或G＝mω2r) 天體質量 天體(如地球)質量：M＝ 中心天體質量： M＝(M＝或M＝) 天體密度 ρ＝＝ ρ＝＝(以T為例) 說明 利用mg＝求M是忽略了天體自轉，且g為天體表面的重力加速度 由F引＝F向求M，求得的是中心天體的質量，而不是做圓周運動的行星或衛(wèi)星質量 例1　過去幾千年來，人類對行星的認識與研究僅限于太陽系內，行星“51 peg b”的發(fā)現拉開了研究太陽系外行星的序幕.“51 peg b”繞其中心恒星做勻速圓周運動，周期約為4天，軌道半徑約為地球繞太陽運動半徑的.該中心恒星與太陽的質量的比值約為(　　) A. B.1 C.5 D.10 答案　B 解析　由G＝mr得M∝ 已知＝，＝，則＝()3()2≈1，B項正確. 例2　假設在半徑為R的某天體上發(fā)射一顆該天體的衛(wèi)星.若它貼近該天體的表面做勻速圓周運動的周期為T1，已知引力常量為G. (1)則該天體的密度是多少？ (2)若這顆衛(wèi)星距該天體表面的高度為h，測得衛(wèi)星在該處做圓周運動的周期為T2，則該天體的密度又是多少？ 答案　(1)　(2) 解析　設衛(wèi)星的質量為m，天體的質量為M. (1)衛(wèi)星貼近天體表面運動時有G＝mR，M＝ 根據數學知識可知天體的體積為V＝πR3 故該天體的密度為ρ＝＝＝. (2)衛(wèi)星距天體表面的高度為h時，有 G＝m(R＋h) M＝ ρ＝＝＝. 求解天體質量和密度時的兩種常見錯誤 1.根據軌道半徑r和運行周期T，求得M＝是中心天體的質量，而不是行星(或衛(wèi)星)的質量. 2.混淆或亂用天體半徑與軌道半徑，為了正確并清楚地運用，應一開始就養(yǎng)成良好的習慣，比如通常情況下天體半徑用R表示，軌道半徑用r表示，這樣就可以避免如ρ＝誤約分；只有衛(wèi)星在天體表面做勻速圓周運動時，如近地衛(wèi)星，軌道半徑r才可以認為等于天體半徑R. 二、天體運動的分析與計算 1.基本思路：一般行星(或衛(wèi)星)的運動可看做勻速圓周運動，所需向心力由中心天體對它的萬有引力提供，即F引＝F向. 2.常用關系 (1)G＝man＝m＝mω2r＝mr. (2)忽略自轉時，mg＝G(物體在天體表面時受到的萬有引力等于物體重力)，整理可得：gR2＝GM，該公式通常被稱為“黃金代換式”. 3.天體運動的物理量與軌道半徑的關系 (1)由G＝m得v＝，r越大，v越小. (2)由G＝mω2r得ω＝，r越大，ω越小. (3)由G＝m2r得T＝2π ，r越大，T越大. (4)由G＝man得an＝，r越大，an越小. 例3　(2015浙江10月選考科目考試)2015年9月20日“長征六號”火箭搭載20顆小衛(wèi)星成功發(fā)射，如圖1所示.在多星分離時，小衛(wèi)星分別在高度不同的三層軌道被依次釋放.假設釋放后的小衛(wèi)星均做勻速圓周運動，則下列說法正確的是(　　) 圖1 A.20顆小衛(wèi)星的軌道半徑均相同 B.20顆小衛(wèi)星的線速度大小均相同 C.同一圓軌道上的小衛(wèi)星的周期均相同 D.不同圓軌道上的小衛(wèi)星的角速度均相同 答案　C 解析　小衛(wèi)星在不同軌道上運動時其軌道半徑不同，由＝＝mω2r＝m2r，可知不同圓軌道上小衛(wèi)星的線速度大小不同，角速度不同，同一圓軌道上小衛(wèi)星的周期相同. 針對訓練　2009年2月11日，俄羅斯的“宇宙－2251”衛(wèi)星和美國的“銥－33”衛(wèi)星在西伯利亞上空約805 km處發(fā)生碰撞，這是歷史上首次發(fā)生的完整在軌衛(wèi)星碰撞事件.碰撞過程中產生的大量碎片可能會影響太空環(huán)境.假定有甲、乙兩塊碎片繞地球運動的軌道都是圓，甲的運行速率比乙的大，則下列說法中正確的是(　　) A.甲的運行周期一定比乙的長 B.甲距地面的高度一定比乙的高 C.甲的向心力一定比乙的小 D.甲的向心加速度一定比乙的大 答案　D 解析　甲的運行速率大，由G＝m，得v＝，由此可知，甲碎片的軌道半徑小，距地面的高度低，故B錯；由G ＝mr，得T＝，可知甲的周期小，故A錯；由于未知兩碎片的質量，無法判斷向心力的大小，故C錯；由＝man得an＝，可知甲的向心加速度比乙的大，故D對. 【考點】人造衛(wèi)星各物理量與半徑的關系 【題點】人造衛(wèi)星各物理量與半徑的關系 例4　如圖2所示，a、b是兩顆繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星，它們距地面的高度分別是R和2R(R為地球半徑).下列說法中正確的是(　　) 圖2 A.a、b的線速度大小之比是∶1 B.a、b的周期之比是1∶2 C.a、b的角速度大小之比是3∶4 D.a、b的向心加速度大小之比是9∶2 答案　C 解析　兩衛(wèi)星均做勻速圓周運動，F萬＝F向. 由＝m得，＝＝＝，故A錯誤. 由＝mr2得＝＝，故B錯誤. 由＝mrω2得＝＝，故C正確. 由＝man得＝＝，故D錯誤. 【考點】人造衛(wèi)星各物理量與半徑的關系 【題點】人造衛(wèi)星各物理量與半徑的關系 1.(天體質量的估算)(2018浙江4月選考科目考試)土星最大的衛(wèi)星叫“泰坦”(如圖3)，每16天繞土星一周，其公轉軌道半徑為1.2106 km.已知引力常量G＝6.6710－11 Nm2/kg2，則土星的質量約為(　　) 圖3 A.51017 kg B.51026 kg C.71033 kg D.41036 kg 答案　B 解析　由萬有引力提供向心力得， G＝m2r，則M＝，代入數據得M≈51026 kg，故選B. 2.(天體質量的計算)(2018寧波市高三上學期期末十校聯考)已知地球半徑為R，地球質量為m，太陽與地球中心間距為r，地球表面的重力加速度為g，地球繞太陽公轉的周期為T，則太陽的質量為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　地球繞太陽做圓周運動有＝mr① 地球表面物體m′g＝② 由①②得：太陽質量M＝，B正確. 3.(天體密度的估算)一艘宇宙飛船繞一個不知名的行星表面飛行，要測定該行星的密度，僅僅需要(　　) A.測定飛船的運行周期 B.測定飛船的環(huán)繞半徑 C.測定行星的體積 D.測定飛船的運行速度 答案　A 解析　取飛船為研究對象，由G＝mR及M＝πR3ρ，知ρ＝，故選A. 【考點】天體密度的計算 【題點】已知周期、半徑求密度 4.(天體運動分析)(2016浙江10月選考科目考試)如圖4所示，“天宮二號”在距離地面393 km的近圓軌道運行.已知萬有引力常量G＝6.6710－11 Nm2/kg2，地球質量M＝6.01024 kg，地球半徑R＝6.4103 km.由以上數據可估算(　　) 圖4 A.“天宮二號”的質量 B.“天宮二號”的運行速度 C.“天宮二號”受到的向心力 D.地球對“天宮二號”的引力 答案　B 解析　根據萬有引力提供向心力，即＝m知“天宮二號”的質量m會在等式兩邊消去，所以無法求出“天宮二號”的質量，選項A錯誤；v＝，式中G、M、r的大小已知，所以可估算“天宮二號”的運行速度，選項B正確；“天宮二號”受到的向心力、引力都因為不知道質量而無法估算，選項C、D錯誤. 5.(天體運動分析)(2017紹興市9月選考科目適應性考試)伽利略用他自制的望遠鏡發(fā)現了圍繞木星的四顆衛(wèi)星，假定四顆衛(wèi)星均繞木星做勻速圓周運動，它們的轉動周期如表所示，關于這四顆衛(wèi)星，下列說法正確的是(　　) 名稱 周期/天 木衛(wèi)一 1.77 木衛(wèi)二 3.55 木衛(wèi)三 7.16 木衛(wèi)四 16.7 A.木衛(wèi)一角速度最小 B.木衛(wèi)四線速度最大 C.木衛(wèi)四軌道半徑最大 D.木衛(wèi)一受到的木星的萬有引力最大 答案　C 一、選擇題 考點一　天體質量和密度的計算 1.已知引力常量G、月球中心到地球中心的距離R和月球繞地球運行的周期T，僅利用這三個數據，可以估算出的物理量有(　　) A.月球的質量 B.地球的質量 C.地球的半徑 D.地球的密度 答案　B 解析　由天體運動規(guī)律知G＝mR可得，地球質量M＝，由于不知地球的半徑，無法求地球的密度，故選項B正確. 【考點】計算天體的質量 【題點】已知周期、半徑求質量 2.若地球繞太陽的公轉周期及公轉軌道半徑分別為T和R，月球繞地球的公轉周期和公轉軌道半徑分別為t和r，則太陽質量與地球質量之比為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由萬有引力提供向心力得＝m，即M∝，所以＝. 【考點】計算天體的質量 【題點】已知周期、半徑求質量 3.如圖1所示是美國的“卡西尼”號探測器經過長達7年的“艱苦”旅行，進入繞土星飛行的軌道.若“卡西尼”號探測器在半徑為R的土星上空離土星表面高h的圓形軌道上繞土星飛行，環(huán)繞n周飛行時間為t，已知引力常量為G，則下列關于土星質量M和平均密度ρ的表達式正確的是(　　) 圖1 A.M＝，ρ＝ B.M＝，ρ＝ C.M＝，ρ＝ D.M＝，ρ＝ 答案　D 解析　設“卡西尼”號的質量為m，它圍繞土星的中心做勻速圓周運動，其向心力由萬有引力提供，G＝m(R＋h)()2，其中T＝，解得M＝.又土星體積V＝πR3，所以ρ＝＝. 【考點】天體密度的計算 【題點】已知周期、半徑求密度 4.有一星球的密度與地球的密度相同，但它表面處的重力加速度是地球表面處的重力加速度的4倍，則該星球的質量是地球質量的(　　) A.倍 B.4倍 C.16倍 D.64倍 答案　D 解析　由G＝mg得M＝g， ρ＝＝＝ 所以R＝，則＝＝4 根據M＝＝＝＝64M地，所以D項正確. 5.2015年7月23日，美國宇航局通過開普勒太空望遠鏡發(fā)現了迄今“最接近另一個地球”的系外行星開普勒－452b，開普勒－452b圍繞一顆類似太陽的恒星做勻速圓周運動，公轉周期約為385天(約3.3107 s)，軌道半徑約為1.51011 m，已知引力常量G＝6.6710－11 Nm2/kg2，利用以上數據可以估算出類似太陽的恒星的質量約為(　　) A.1.81030 kg B.1.81027 kg C.1.81024 kg D.1.81021 kg 答案　A 解析　根據萬有引力充當向心力，有G＝mr，則中心天體的質量M＝≈ kg≈1.81030 kg，故A正確. 【考點】計算天體的質量 【題點】已知周期、半徑求質量 6.(2018浙江省名校新高考研究聯盟第二次聯考)“天宮二號”在2016年秋季發(fā)射成功，其繞地球運行的軌道可近似看成是圓軌道.設每經過時間t，“天宮二號”通過的弧長為l，該弧長對應的圓心角為θ弧度，已知引力常量為G，則地球的質量是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　“天宮二號”通過的弧長為l，該弧長對應的圓心角為θ弧度，所以其軌道半徑r＝，t時間內“天宮二號”通過的弧長是l，所以線速度v＝，“天宮二號”做勻速圓周運動的向心力是由萬有引力提供，則G＝m，所以M＝＝，A正確. 考點二　天體運動分析 7.如圖2所示，飛船從軌道1變軌至軌道2.若飛船在兩軌道上都做勻速圓周運動，不考慮質量變化，相對于在軌道1上，飛船在軌道2上的(　　) 圖2 A.速度大 B.向心加速度大 C.運行周期小 D.角速度小 答案　D 解析　飛船繞地球做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，即F引＝Fn， 所以G＝man＝＝＝mrω2， 即an＝，v＝，T＝，ω＝. 因為r1v2，an1>an2，T1ω2，選項D正確. 【考點】人造衛(wèi)星各物理量與半徑的關系 【題點】人造衛(wèi)星各物理量與半徑的關系 8.我國高分系列衛(wèi)星的高分辨對地觀察能力不斷提高.2018年5月9日發(fā)射的“高分五號”軌道高度約為705 km，之前已運行的“高分四號”軌道高度約為36 000 km，它們都繞地球做圓周運動.與“高分四號”相比，下列物理量中“高分五號”較小的是(　　) A.周期 B.角速度 C.線速度 D.向心加速度 答案　A 解析　“高分五號”的運動半徑小于“高分四號”的運動半徑，即r五ω四，B錯. v＝∝，v五>v四，C錯. an＝∝，an五>an四，D錯. 9.據報道，“嫦娥一號”和“嫦娥二號”繞月飛行的圓形工作軌道距月球表面分別約為200 km和100 km，運行速率分別為v1和v2.那么，v1和v2的比值為(月球半徑取1 700 km)(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　根據衛(wèi)星運動的向心力由萬有引力提供，有G＝m，那么衛(wèi)星的線速度跟其軌道半徑的平方根成反比，則有＝＝. 10.a、b、c、d是在地球大氣層外的圓形軌道上運行的四顆人造衛(wèi)星.其中a、c的軌道相交于P，b、d在同一個圓軌道上，b、c軌道在同一平面上.某時刻四顆衛(wèi)星的運行方向及位置如圖3所示，下列說法中正確的是(　　) 圖3 A.a、c的加速度大小相等，且大于b的加速度 B.b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度 C.a、c的線速度大小相等，且小于d的線速度 D.a、c存在在P點相撞的危險 答案　A 解析　由G＝m＝mω2r＝mr＝man可知，選項B、C錯誤，選項A正確；因a、c軌道半徑相同，周期相同，由題圖可知當c運動到P點與a不相撞，以后就不可能相撞了，選項D錯誤. 11.兩顆行星A和B各有一顆衛(wèi)星a和b，衛(wèi)星軌道接近各自行星的表面，如果兩行星的質量之比為＝p，兩行星的半徑之比為＝q，則兩個衛(wèi)星的周期之比為(　　) A. B.q C.p D.q 答案　D 解析　衛(wèi)星做勻速圓周運動時，萬有引力提供做勻速圓周運動的向心力，則有：G＝mR()2，得T＝，解得：＝q，故D正確，A、B、C錯誤. 【考點】天體運動規(guī)律分析 【題點】應用萬有引力提供向心力分析天體運動規(guī)律 二、非選擇題 12.(天體質量、密度的計算)若宇航員登上月球后，在月球表面做了一個實驗：將一片羽毛和一個鐵錘從同一高度由靜止同時釋放，二者幾乎同時落地.若羽毛和鐵錘是從高度為h處下落，經時間t落到月球表面.已知引力常量為G，月球的半徑為R.求：(不考慮月球自轉的影響) (1)月球表面的自由落體加速度大小g月. (2)月球的質量M. (3)月球的密度ρ. 答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)月球表面附近的物體做自由落體運動h＝g月t2，月球表面自由落體的加速度大小g月＝. (2)因不考慮月球自轉的影響，則有G＝mg月，月球的質量M＝. (3)月球的密度ρ＝＝＝. 【考點】萬有引力定律和力學其他問題的綜合應用 【題點】重力加速度和拋體運動的綜合問題 13.(天體運動的分析與計算)如圖4所示，A、B為地球周圍的兩顆衛(wèi)星，它們離地面的高度分別為h1、h2，已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，求： 圖4 (1)A的線速度大小v1； (2)A、B的角速度大小之比ω1∶ω2. 答案　(1)　(2) 解析　(1)設地球質量為M，A衛(wèi)星質量為m1， 由萬有引力提供向心力，對A有：＝m1① 在地球表面對質量為m′的物體有：m′g＝G② 由①②得v1＝ (2)由G＝mω2(R＋h)得，ω＝ 所以A、B的角速度大小之比＝ . 【考點】天體運動規(guī)律分析 【題點】應用萬有引力提供向心力分析天體運動規(guī)律 14.(天體質量計算、天體運動分析)我國發(fā)射了繞月運行探月衛(wèi)星“嫦娥一號”，該衛(wèi)星的軌道是圓形的，若已知繞月球運動的周期為T及月球的半徑為R，月球表面的重力加速度為g月，引力常量為G. 求： (1)月球質量； (2)探月衛(wèi)星“嫦娥一號”離月球表面的高度. 答案　(1)　(2)－R 解析　(1)由G＝mg月 得M＝ (2)由G＝m(R＋h) 得h＝－R＝－R.