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滾動檢測五(1～8章)
(時間：120分鐘 滿分：150分)
第Ⅰ卷(選擇題 共40分)
一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．已知集合A＝{x|x2>x，x∈R}，B＝，則?R(A∩B)等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 ∵A＝＝，
B＝，
∴A∩B＝{x|1
b>c B．a(chǎn)>c>b
C．b>a>c D．b>c>a
答案 A
解析 a＝20.1>20＝1，b＝ln1時，x＋－3≥2－3＝1，
當且僅當x＝2時取等號，綜上有f(x)≥0，故選B.
5．若a>0，b>0，ab＝a＋b＋1，則a＋2b的最小值為( )
A．3＋3 B．3－3
C．3＋ D．7
答案 D
解析 當b＝1時，代入等式a＝a＋2不成立，因而b≠1，
所以ab－a＝b＋1.
a＝＝1＋，易知b－1>0，
所以a＋2b＝1＋＋2b＝3＋＋2(b－1)
≥3＋2＝3＋22＝7，
當且僅當a＝3，b＝2時，取等號，即最小值為7.
6．已知函數(shù)f(x)＝sin2x－cos2x的圖象在區(qū)間和上均單調(diào)遞增，則正數(shù)a的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 f(x)＝sin2x－cos2x＝2sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
因為函數(shù)f(x)在區(qū)間和上均單調(diào)遞增，
解得≤a<.
7．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an＝4＋n－1，若對任意n∈N*，都有1≤p(Sn－4n)≤3成立，則實數(shù)p的取值范圍是( )
A．(2,3) B．[2,3]
C. D.
答案 B
解析 Sn＝4＋0＋4＋1＋…＋4＋n－1
＝4n＋＝4n＋－n，
所以1≤p≤3對任意n∈N*都成立，
當n＝1時，1≤p≤3，
當n＝2時，2≤p≤6，
當n＝3時，≤p≤4，
歸納得2≤p≤3.
8．已知a，b，c是平面向量，|a|＝2，|c|＝2，若a與b的夾角為，c與b的夾角為，a與c的夾角為，則|c－b|－|a－b|的最大值是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 方法一 如圖，設＝a，＝b，＝c，點A關于OB的對稱點為A′，
則||＝||，
因為∠AOB＝，∠BOC＝，∠AOC＝，
所以∠A′OC＝.
|c－b|－|a－b|＝||－||≤||，
且在△A′OC中，由余弦定理得，
A′C2＝OC2＋OA′2－2OCOA′cos
＝8＋4－222＝8－4，
所以||＝.故選C.
方法二 如圖，建立平面直角坐標系，
則可設＝c＝(2,2)，＝a＝(，－1)，
＝b＝(t,0)，則點A關于x軸的對稱點A′的坐標為(，1)，
則＝(，1)，||＝||，
所以|c－b|－|a－b|＝||－||≤||
＝＝，故選C.
9．已知函數(shù)f(x)＝ex，g(x)＝a(a≠0)，若函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在點P(x0，y0)，使得y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線與y＝g(x)的圖象也相切，則a的取值范圍是( )
A．(0,1] B．(0，]
C．(1，] D.
答案 B
解析 f(x)＝ex的切點為P(x0，)，
設切線與y＝g(x)的圖象相切于點(t，a)．
f′(x0)＝，g′(t)＝.
由題意可得解得x0＝1－t，
所以a＝2＝2e1－t，t>0，
令h(t)＝2e1－t，t>0，
則h′(t)＝e1－t－2e1－t＝e1－t(1－2t)，
令h′(t)＝0，解得t＝，
當t>0時，h(t)>0；
當00，函數(shù)h(t)在上單調(diào)遞增；
當t>時，h′(t)<0，函數(shù)h(t)在上單調(diào)遞減，
當t從右側(cè)趨近于0時，h(t)趨近于0，h＝；
當t趨近于＋∞時，h(t) 趨近于0，
所以a∈(0，]．
10．(2018浙江七彩陽光聯(lián)盟聯(lián)考)如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC＝2，BC＝3，P為斜邊AB上一點，沿CP將三角形折成直二面角A－CP－B，此時二面角P－AC－B的正切值為，則翻折后AB的長為( )
A．2B.C.D.
答案 D
解析 方法一 如圖1，在平面PCB內(nèi)過點P作CP的垂線交BC于點E，則EP⊥平面ACP.
在平面PAC內(nèi)過點P向AC作垂線，垂足為D，連接DE，則∠PDE為二面角P－AC－B的平面角，
且tan∠PDE＝＝，
設DP＝a，則EP＝a.
如圖2，在Rt△ABC中，設∠BCP＝α，則∠ACP＝90－α，
則在Rt△DPC中，PC＝＝，
又在Rt△PCE中，tanα＝，
則tanα＝a，sinα＝cos2α.
又0<α<90，所以α＝45.
因為二面角A－CP－B為直二面角，
所以圖1中cos∠ACB＝cos∠ACPcos∠BCP，
于是有＝cos∠ACPsin∠ACP＝.
解得AB＝.
方法二 如圖3，在平面PCB內(nèi)過點P作CP的垂線交BC于點E，則EP⊥平面ACP.
在平面PAC內(nèi)過點P向AC作垂線，垂足為D，連接DE，則∠PDE為二面角P－AC－B的平面角，
且tan∠PDE＝＝，設DP＝a，則EP＝a.
如圖4，在Rt△ABC中，設∠BCP＝α，則∠ACP＝90－α，
則在Rt△DPC中，PC＝＝，
又在Rt△PCE中，tanα＝，
則tanα＝a，sinα＝cos2α，
又0<α<90，所以α＝45，
在Rt△ABC中，過點A作AM⊥PC于點M，過點B向CP的延長線作垂線，垂足為N.
由∠BCP＝∠ACP＝45，得AM＝，BN＝，MN＝，
翻折后＝＋＋，且，，兩兩垂直，
故||＝＝.
第Ⅱ卷(非選擇題 共110分)
二、填空題(本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分．把答案填在題中橫線上)
11．(2018浙江名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知復數(shù)z滿足z(－3＋4i)＝1－2i，則z＝________，||＝________.
答案?。玦
解析 由題意知z＝＝＝＝－＋i，
∴||＝|z|＝＝.
12．(2018浙江省高考模擬試卷)若函數(shù)f(x)＝sincos－cos2，則函數(shù)f(x)的最小正周期為________，函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域是________．
答案 2π
解析 f(x)＝sincos－cos2
＝sinx－＝sin－，
則f(x)的最小正周期為2π.因為x∈，
所以x－∈，sin∈，
所以函數(shù)f(x)在上的值域是.
13．(2018浙江省高考研究聯(lián)盟聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_________，側(cè)面積為________．
答案 3π＋4
解析 由三視圖，可得該幾何體為底面半徑為1，高為2的圓柱切掉四分之一后剩余的幾何體，因而其體積V＝π122＝，側(cè)面積S＝2π12＋212＝3π＋4.
14．已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c,4bcosB＝acosC＋ccosA，△ABC的面積為，且b2＝ac，則a＋c＝________.
答案 2
解析 方法一 由正弦定理、兩角和的三角函數(shù)公式及誘導公式，得
4sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB，
因為00，y>0，若≥2，則(x＋y)2的最大值是________．
答案 8＋4
解析 令xy＝t，則00，y>0且2x＋4y＋m＝0，求＋的最小值．
解 (1)因為函數(shù)f(x)＝x2－3x的對稱軸為x＝，且開口向上，
所以f(x)＝x2－3x在x∈[0,1]上單調(diào)遞減，
所以f(x)min＝f(1)＝1－3＝－2，所以m≤－2.
(2)根據(jù)題意，由(1)可得m＝－2，
即2x＋4y－2＝0.所以x＋2y＝1.
因為x>0，y>0，
則＋＝(x＋2y)＝3＋＋
≥3＋2＝3＋2，
當且僅當＝，即x＝－1，y＝1－時，等號成立．
所以＋的最小值為3＋2.
21.(15分)(2018浙江名校聯(lián)盟聯(lián)考)如圖，在直三棱柱ADF－BCE中，AB＝BC＝BE＝2，CE＝2.
(1)求證：AC⊥平面BDE；
(2)若EB＝4EK，求直線AK與平面BDF所成角φ的正弦值．
(1)證明 在直三棱柱ADF－BCE中，AB⊥平面BCE，
所以AB⊥BE，AB⊥BC.
又AB＝BC＝BE＝2，CE＝2，
所以BC2＋BE2＝CE2，且AC⊥BD，
所以BE⊥BC.
因為AB∩BC＝B，AB，BC?平面ABCD，
所以BE⊥平面ABCD.
因為AC?平面ABCD，所以BE⊥AC.
因為BD∩BE＝B，BD，BE?平面BDE，
所以AC⊥平面BDE.
(2)解 方法一 設AK交BF于點N，
由(1)知，AB，AF，AD兩兩垂直且長度都為2，
所以△BDF是邊長為2的正三角形．
所以點A在平面BDF內(nèi)的射影M為△BDF的中心，連接MN，MF，AM，如圖所示，
則∠ANM為AK與平面BDF所成的角φ.
又FM＝2＝，
所以AM＝＝＝.
因為EB＝4EK，所以BK＝，
所以AK＝＝＝.
因為＝，所以＝，
即＝，解得AN＝.
在Rt△ANM中，sinφ＝＝＝，
所以直線AK與平面BDF所成角φ的正弦值為.
方法二 由(1)知，AB，BC，BE兩兩垂直，以B為坐標原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則B(0,0,0)，F(xiàn)(0,2,2)，A(0,2,0)，D(2,2,0)，
＝(2,2,0)，＝(0,2,2)．
因為EB＝4EK，所以K.
設平面BDF的法向量為n＝(x，y，z)，
則所以
取x＝1，則n＝(1，－1,1)為平面BDF的一個法向量．
又＝，
于是sinφ＝＝＝，
所以直線AK與平面BDF所成角φ的正弦值為.
22．(15分)(2019嘉興調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝xex.
(1)討論函數(shù)g(x)＝af(x)＋ex的單調(diào)性；
(2)若直線y＝x＋2與曲線y＝f(x)的交點的橫坐標為t，且t∈[m，m＋1]，求整數(shù)m所有可能的值．
解 (1)g(x)＝axex＋ex，所以g′(x)＝(ax＋a＋1)ex，
①當a＝0時，g′(x)＝ex，g′(x)>0在R上恒成立，所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增；
②當a>0時，當x>－時，g′(x)>0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，當x<－時，g′(x)<0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；
③當a<0時，當x>－時，g′(x)<0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，當x<－時，g′(x)>0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增．
綜上，當a＝0時，函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增；
當a>0時，函數(shù)g(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；
當a<0時，函數(shù)g(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
(2)由題意可知，原命題等價于方程xex＝x＋2在x∈[m，m＋1]上有解，由于ex>0，所以x＝0不是方程的解，
所以原方程等價于ex－－1＝0，令r(x)＝ex－－1，
因為r′(x)＝ex＋>0對于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，所以r(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增．
又r(1)＝e－3<0，r(2)＝e2－2>0，r(－3)＝e－3－<0，r(－2)＝e－2>0，
所以直線y＝x＋2與曲線y＝f(x)的交點有兩個，
且兩交點的橫坐標分別在區(qū)間[1,2]和[－3，－2]內(nèi)，
所以整數(shù)m的所有值為－3,1.
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