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課時(shí)規(guī)范練15 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的小綜合
基礎(chǔ)鞏固組
1.函數(shù)f(x)=(x-3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.(-∞,2) B.(0,3)
C.(1,4) D.(2,+∞)
2.(2017山東煙臺(tái)一模,文9)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示,則下列結(jié)論成立的是( )
A.a>0,b>0,c>0,d<0
B.a>0,b>0,c<0,d<0
C.a<0,b<0,c>0,d>0
D.a>0,b>0,c>0,d>0
3.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+x的極大值點(diǎn)為m,極小值點(diǎn)為n,則m+n=( )
A.0 B.2 C.-4 D.-2
4.定義域?yàn)镽的可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x),滿(mǎn)足f(x)
2ex的解集為 ( )
A.(-∞,0) B.(-∞,2)
C.(0,+∞) D.(2,+∞)
5.(2017遼寧大連一模,文8)函數(shù)f(x)=exx的圖象大致為 ( )
6.(2017河南濮陽(yáng)一模,文12)設(shè)f(x)是函數(shù)f(x)定義在(0,+∞)上的導(dǎo)函數(shù),滿(mǎn)足xf(x)+2f(x)=1x2,則下列不等式一定成立的是( )
A.f(e)e2>f(e2)e B.f(2)9f(e)4 D.f(e)e20時(shí),xf(x)-f(x)<0,則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是 .
11.(2017山東泰安一模,文14)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),若g(x)=f(x+1)+5,g(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù),對(duì)?x∈R,總有g(shù)(x)>2x,則g(x)0,且對(duì)?x∈(0,+∞),2f(x)0,則a的取值范圍是 .
答案:
1.D 函數(shù)f(x)=(x-3)ex的導(dǎo)數(shù)為f(x)=[(x-3)ex]=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,得當(dāng)f(x)>0時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,此時(shí)由不等式f(x)=(x-2)ex>0,解得x>2.
2.C 由題圖可知f(0)=d>0,排除選項(xiàng)A,B;∵f(x)=3ax2+2bx+c,
且由題圖知(-∞,x1),(x2,+∞)是函數(shù)的遞減區(qū)間,可知a<0,排除D.故選C.
3.B 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x3-3x2+x的極大值點(diǎn)為m,極小值點(diǎn)為n,所以m,n為f(x)=3x2-6x+1=0的兩根.由根與系數(shù)的關(guān)系可知m+n=-(-6)3=2.
4.C 設(shè)g(x)=f(x)ex,則g(x)=f(x)-f(x)ex.
∵f(x)0,即函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.
∵f(0)=2,∴g(0)=f(0)=2,
∴不等式f(x)>2ex等價(jià)于g(x)>g(0).∵函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,
∴x>0,∴不等式的解集為(0,+∞),故選C.
5.B 函數(shù)f(x)=exx的定義域?yàn)閤≠0,x∈R,當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)f(x)=xex-exx2,可得函數(shù)的極值點(diǎn)為x=1,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),函數(shù)是減函數(shù),當(dāng)x>1時(shí),函數(shù)是增函數(shù),并且f(x)>0,選項(xiàng)B,D滿(mǎn)足題意.當(dāng)x<0時(shí),函數(shù)f(x)=exx<0,選項(xiàng)D不正確,選項(xiàng)B正確.
6.B ∵xf(x)+2f(x)=1x2,
∴x2f(x)+2xf(x)=1x,
令g(x)=x2f(x),則g(x)=2xf(x)+x2f(x)=1x>0,∴函數(shù)g(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.
∴g(2)=4f(2)c>b ∵方程f(x)=0無(wú)解,
∴f(x)>0或f(x)<0恒成立,
∴f(x)是單調(diào)函數(shù);
由題意得?x∈(0,+∞),f(f(x)-log2 015x)=2 017,
且f(x)是定義在(0,+∞)的單調(diào)函數(shù),則f(x)-log2 015x是定值.
設(shè)t=f(x)-log2 015x,則f(x)=t+log2 015x,∴f(x)是增函數(shù).
又0c>b.故答案為a>c>b.
10.(-∞,-1)∪(0,1) 當(dāng)x>0時(shí),令F(x)=f(x)x,
則F(x)=xf(x)-f(x)x2<0,
∴當(dāng)x>0時(shí),F(x)=f(x)x為減函數(shù).
∵f(x)為奇函數(shù),且由f(-1)=0,得f(1)=0,故F(1)=0.
在區(qū)間(0,1)內(nèi),F(x)>0;
在(1,+∞)內(nèi),F(x)<0,即當(dāng)00;
當(dāng)x>1時(shí),f(x)<0.
又f(x)為奇函數(shù),∴當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),f(x)>0;
當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f(x)<0.
綜上可知,f(x)>0的解集為(-∞,-1)∪(0,1).
11.(-∞,-1) ∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),∴f(x)的圖象過(guò)原點(diǎn),
∵g(x)=f(x+1)+5,∴g(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(-1,5).
令h(x)=g(x)-x2-4,∴h(x)=g(x)-2x.∵對(duì)?x∈R,總有g(shù)(x)>2x,
∴h(x)在R上是增函數(shù),又h(-1)=g(-1)-1-4=0,
∴g(x)1時(shí),g(x)>0,函數(shù)g(x)遞增,
∴當(dāng)x>0時(shí),g(x)min=g(1)=2.
∵f(x)=-x2-6x-3=-(x+3)2+6≤6,作函數(shù)y=(x)的圖象,如圖所示,
當(dāng)f(x)=2時(shí),方程兩根分別為-5和-1,則m的最小值為-5,故選A.
13.B 令g(x)=f(x)x2,x∈(0,+∞),
則g(x)=xf(x)-2f(x)x3.
∵?x∈(0,+∞),2f(x)0,∴函數(shù)g(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,
∴f(1)10,
∴f(1)f(2)<14.
令h(x)=f(x)x3,x∈(0,+∞),則h(x)=xf(x)-3f(x)x4.
∵?x∈(0,+∞),2f(x)f(2)8,
又f(x)>0,∴180,
y=3x-2(sin x-cos x)為增函數(shù),則其是“H函數(shù)”;
對(duì)于③,y=1-ex=-ex+1,是減函數(shù),則其不是“H函數(shù)”;
對(duì)于④,f(x)=lnx(x≥1),0(x<1),當(dāng)x<1時(shí),f(x)是常數(shù)函數(shù),當(dāng)x≥1時(shí),f(x)是增函數(shù),則其是“H函數(shù)”.
故“H函數(shù)”有2個(gè),故選B.
16.23,1 由題意設(shè)g(x)=-x3+3x2,h(x)=a(x+2),
則g(x)=-3x2+6x=-3x(x-2),
所以g(x)在(-∞,0),(2,+∞)內(nèi)遞減,在(0,2)內(nèi)遞增,
且g(0)=g(3)=0,g(2)=-23+322=4.
在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)圖象如圖所示.
因?yàn)榇嬖谖ㄒ坏恼麛?shù)x0,使得f(x0)>0,即g(x0)>h(x0),
所以由圖得x0=2,
則a>0,g(2)>h(2),g(1)≤h(1),
即a>0,4>4a,-1+3≤3a,解得23≤a<1,
所以a的取值范圍是23,1,故答案為23,1.
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