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培優(yōu)點七 解三角形 1．解三角形中的要素 例1：的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，，則_____． 【答案】 【解析】（1）由已知，，求可聯(lián)想到使用正弦定理：， 代入可解得：．由可得：，所以． 2．恒等式背景 例2：已知，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊， 且有． （1）求； （2）若，且的面積為，求，． 【答案】（1）；（2）2，2． 【解析】（1） ， 即 ∴或（舍），∴； （2）， ， ∴，可解得． 對點增分集訓 一、單選題 1．在中，，，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由正弦定理可得， 且， 由余弦定理可得：．故選A． 2．在中，三邊長，，，則等于（ ） A．19 B． C．18 D． 【答案】B 【解析】∵三邊長，，， ∴， ．故選B． 3．在中，角，，所對應(yīng)的邊分別是，，，若，則三角形一定是（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形 【答案】C 【解析】∵，由正弦定理，，∴， ∵，，為的內(nèi)角，∴，，， ∴，，整理得， ∴，即．故一定是等腰三角形．故選C． 4．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，，則的面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知，，， ∴由余弦定理，可得：， 解得：，，∴．故選A． 5．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根據(jù)正弦定理由得：， 所以，即， 則， 又，所以．故選A． 6．設(shè)的三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，如果，且，那么外接圓的半徑為（ ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】因為，所以，化為， 所以，又因為，所以， 由正弦定理可得，所以，故選A． 7．在中，角，，所對的邊分別為，，，且，若， 則的形狀是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】因為，所以， 也就是，所以，從而， 故，為等邊三角形．故選C． 8．的內(nèi)角，，的對邊分別是，，且滿足，則是（ ） A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】利用正弦定理化簡已知的等式得： ，即， ∵，，為三角形的內(nèi)角，∴，即， 則為直角三角形，故選B． 9．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知的面積為，，，則的值為（ ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】A 【解析】因為，所以， 又，∴，解方程組得，， 由余弦定理得，所以．故選A． 10．在中，，，分別為角，，所對的邊．若， 則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， ∵，可得：， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴．故答案為C． 11．在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，若，則是（ ） A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形 【答案】D 【解析】∵，由正弦定理得：，，代入， 得，∴進而可得， ∴，則是等邊三角形．故選D． 12．在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，， 則（ ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】利用正弦定理，同角三角函數(shù)關(guān)系，原式可化為：， 去分母移項得：， 所以， 所以．由同角三角函數(shù)得， 由正弦定理，解得所以或（舍）．故選B． 二、填空題 13．在中，角，，的對邊分別為，，，，，則角的最大值為_____； 【答案】 【解析】在中，由角的余弦定理可知 ， 又因為，所以．當且僅當，時等號成立． 14．已知的三邊，，成等比數(shù)列，，，所對的角分別為，，，則的取值范圍是_________． 【答案】 【解析】∵的三邊，，成等比數(shù)列， ∴，得， 又∵，∴，， 可得，故答案為． 15．在中三個內(nèi)角，，，所對的邊分別是，，，若，且，則面積的最大值是________ 【答案】 【解析】∵， ∴， 則，結(jié)合正弦定理得，即， 由余弦定理得，化簡得， 故，，故答案為． 16．在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，且，，成等差數(shù)列，， 則面積的取值范圍是__________． 【答案】 【解析】∵中，，成等差數(shù)列，∴． 由正弦定理得，∴，， ∴ ， ∵為銳角三角形，∴，解得． ∴，∴， ∴，故面積的取值范圍是． 三、解答題 17．己知，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，且． （1）求角的大小； （2）若，且的面積為，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由正弦定理得，， ∵，∴，即． ∵∴，∴，∴． （2）由可得．∴， ∵，∴由余弦定理得：， ∴． 18．如圖，在中，點在邊上，，，． ． （1）求的面積． （2）若，求的長． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由題意， 在中，由余弦定理可得 即或（舍）， ∴的面積． （2）在中，由正弦定理得， 代入得，由為銳角，故， 所以， 在中，由正弦定理得， ∴，解得．