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第14講　直線與圓 1.(1)[2015全國卷Ⅰ] 一個圓經(jīng)過橢圓x216+y24=1的三個頂點,且圓心在x軸的正半軸上,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　　　　　　　　　. (2)[2015全國卷Ⅱ] 過三點A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圓交y軸于M,N兩點,則|MN|= (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.26 B.8 C.46 D.10 [試做] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 命題角度　圓的方程 (1)解決圓的方程問題:關(guān)鍵一,通過研究圓的性質(zhì)求出圓的基本量; 關(guān)鍵二,設(shè)出圓的一般方程,用待定系數(shù)法求解. (2)圓的常用性質(zhì):圓心在過切點且垂直于切線的直線上;圓心在任一弦的垂直平分線上;兩圓內(nèi)切或外切時,切點與兩圓圓心共線. 2.(1)[2018全國卷Ⅲ] 直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點,點P在圓(x-2)2+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是 (　　) A.[2,6] B.[4,8] C.[2,32] D.[22,32] (2)[2016全國卷Ⅲ] 已知直線l:mx+y+3m-3=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點,過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點.若|AB|=23,則|CD|=　　　　. [試做] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　命題角度　直線與圓的位置關(guān)系 關(guān)鍵一:求直線被圓所截得的弦長時,一般考慮由弦心距、弦長的一半、半徑所構(gòu)成的直角三角形,利用勾股定理求解; 關(guān)鍵二:弦心距可利用點到直線的距離公式求解. 小題1直線的方程及應(yīng)用 1(1)若直線mx+ny+3=0(m,n∈R)在y軸上的截距為-3,且它的傾斜角是直線3x-y=33的傾斜角的2倍,則 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.m=-3,n=1 B.m=-3,n=-3 C.m=3,n=-3 D.m=3,n=1 (2)如果直線l1:2x-y-1=0與直線l2:2x+(a+1)y+2=0平行,那么實數(shù)a的值是　　　　. [聽課筆記]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【考場點撥】 高考中關(guān)于直線的易失分點: (1)當(dāng)直線的方程中存在字母參數(shù)時,不僅要考慮斜率存在的一般情況,也要考慮斜率不存在的特殊情況,同時還要注意x,y的系數(shù)不能同時為零; (2)求參數(shù)的值時,在計算結(jié)束后還要把參數(shù)的值代入兩個直線方程,看兩條直線是否重合. 【自我檢測】 1.已知直線l1:ax+2y-1=0,直線l2:8x+ay+2-a=0,若l1∥l2,則實數(shù)a的值為 (　　) A.4 B.-4 C.4 D.2 2.直線2x+3y-k=0和直線x-ky+12=0的交點在x軸上,則實數(shù)k的值為 (　　) A.-24 B.24 C.6 D.6 3.已知點A(1,-2),B(m,2),線段AB的垂直平分線的方程是x+2y-n=0,則實數(shù)m,n的值分別是 (　　) A.-2,2 B.-7,3 C.3,2 D.1,-2 小題2圓的方程及應(yīng)用 2(1)已知M(3,0)是圓x2+y2-8x-2y+10=0內(nèi)的一點,則過點M最長的弦所在的直線方程是 (　　) A.x+y-3=0 B.x-y-3=0 C.2x-y-6=0 D.2x+y-6=0 (2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O為坐標(biāo)原點,已知圓C:(x+1)2+y2=2,點A(2,0),若圓C上存在點M,滿足|MA|2+|MO|2≤10,則點M的縱坐標(biāo)的取值范圍是　　　　. [聽課筆記] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【考場點撥】 高考中關(guān)于圓的?？键c: (1)由圓心和半徑可直接得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過不在同一條直線上的三點可確定一個圓;(3)弦的垂直平分線一定過圓心. 與圓上的點有關(guān)的問題常轉(zhuǎn)化為與圓心有關(guān)的問題去處理.考查有關(guān)圓的知識時,有時也通過構(gòu)建方程或不等式去解決. 【自我檢測】 1.圓心在y軸上,半徑為1,且過點(1,3)的圓的方程是 (　　) A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 C.x2+(y-3)2=1 D.x2+(y+3)2=1 2.圓x2+y2-2x-4y+3=0的圓心到直線x-ay+1=0的距離為2,則實數(shù)a的值為 (　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 3.在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,已知點P(1,3),Q(-1,1),則△POQ外接圓的半徑為 (　　) A.102 B.10 C.52 D.5 4.已知直線l:y=x+m,m∈R.若以點M(2,0)為圓心的圓與直線l相切于點P,且點P在y軸上,則該圓的方程為　　　　. 小題3直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 3(1)動直線l:x+my+2m-2=0(m∈R)與圓C:x2+y2-2x+4y-4=0相交于A,B兩點,則弦AB最短為 (　　) A.2 B.25 C.6 D.42 (2)已知兩點A(a,0),B(-a,0)(a>0),若圓x2+y2-23x-2y+3=0上存在點P,使得∠APB=90,則實數(shù)a的取值范圍為 (　　) A.(0,3] B.[1,3] C.[2,3] D.[1,2] [聽課筆記]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【考場點撥】 高考?？嫉挠嘘P(guān)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系問題的解題思路: (1)當(dāng)直線與圓的位置關(guān)系問題中含有參數(shù)時,可以根據(jù)圓心到直線的距離或者判別式列出方程(不等式)去解決問題. (2)圓與圓的位置關(guān)系是比較復(fù)雜的位置關(guān)系,通常利用圓心距和兩圓半徑的差與和的關(guān)系去判斷、求解. 【自我檢測】 1.直線ax-y+3=0(a∈R)與圓(x-1)2+(y-2)2=4相交于A,B兩點,且|AB|=23,則a= (　　) A.0 B.3 C.2 D.3 2.已知圓O1的方程為x2+y2=1,圓O2的方程為(x+a)2+y2=4,如果這兩個圓有且只有一個公共點,那么實數(shù)a的所有取值構(gòu)成的集合是 (　　) A.{1,-1,3,-3} B.{5,-5,3,-3} C.{1,-1} D.{3,-3} 3.已知P為直線x+y-2=0上的點,過點P作圓O:x2+y2=1的切線,切點為M,N,若∠MPN=90,則這樣的點P有 (　　) A.0個 B.1個 C.2個 D.無數(shù)個 4.直線y=ax+1(a∈R)與圓x2+y2+bx-y=1(b∈R)交于兩點,且這兩個交點關(guān)于直線x+y=0對稱,則a+b= (　　) A.5 B.4 C.3 D.2  模塊五　解析幾何 第14講　直線與圓 典型真題研析 1.(1)x-322+y2=254　(2)C　[解析](1)設(shè)圓心為(t,0)(t>0),則半徑為4-t,所以4+t2=(4-t)2,解得t=32,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x-322+y2=254. (2)方法一:設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,將點A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的坐標(biāo)代入得方程組D+3E+F+10=0,4D+2E+F+20=0,D-7E+F+50=0,解得D=-2,E=4,F=-20,所以圓的方程為x2+y2-2x+4y-20=0,即(x-1)2+(y+2)2=25,所以MN=225-1=46. 方法二:因為kAB=-13,kBC=3,所以kABkBC=-1,所以AB⊥BC,所以△ABC為直角三角形,所以 △ABC的外接圓圓心為AC的中點(1,-2),半徑r=12AC=5,所以MN=225-1=46. 方法三:由ABBC=0得AB⊥BC,下同方法二. 2.(1)A　(2)4　[解析](1)由題意知A(-2,0),B(0,-2),|AB|=22.圓心(2,0)到直線x+y+2=0的距離為|2+0+2|2=22.設(shè)點P到直線AB的距離為d,圓(x-2)2+y2=2的半徑為r, 則d∈[22-r,22+r],即d∈[2,32],又△ABP的面積S△ABP=12|AB|d=2d, 所以△ABP面積的取值范圍是[2,6]. (2)直線l:m(x+3)+y-3=0過定點(-3,3),又|AB|=23,∴|3m-3|1+m22+(3)2=12,解得m=-33.直線l的方程中,當(dāng)x=0時,y=23.又(-3,3),(0,23)兩點都在圓上,∴直線l與圓的兩交點為A(-3,3),B(0,23). 設(shè)過點A(-3,3)且與直線l垂直的直線為3x+y+c1=0,將(-3,3)代入直線方程3x+y+c1=0,得c1=23.令y=0,得xC=-2,同理得過點B且與直線l垂直的直線與x軸交點的橫坐標(biāo)為xD=2,∴|CD|=4. 考點考法探究 小題1 例1　 (1)D　(2)-2　[解析](1)對于mx+ny+3=0(m,n∈R),令x=0得y=-3n,由題意得-3n=-3,∴n=1.∵直線3x-y=33的傾斜角為60,直線mx+ny+3=0的傾斜角是直線3x-y=33的2倍,∴直線mx+ny+3=0的傾斜角為120,即-mn=-3,∴m=3,故選D. (2)因為直線l1:2x-y-1=0與直線l2:2x+(a+1)y+2=0平行,所以2(a+1)=-2,-(a+1)≠-2,解得a=-2,故填-2. 【自我檢測】 1.B　[解析]∵直線l1:ax+2y-1=0,直線l2:8x+ay+2-a=0,且l1∥l2,∴a2-16=0,且2(2-a)+a≠0,∴a=-4,故選B. 2.A　[解析] 設(shè)交點坐標(biāo)為(a,0),由題意得2a-k=0,a+12=0,∴a=-12,k=-24,故選A. 3.C　[解析]∵線段AB的垂直平分線的方程是x+2y-n=0,∴線段AB的中點在直線x+2y-n=0上,直線AB與直線x+2y-n=0互相垂直,∴1+m2+2-2+22-n=0,-2-21-m(-12)=-1,∴m=3,n=2,故選C. 小題2 例2　(1)B　(2)-72,72　[解析](1)由圓x2+y2-8x-2y+10=0,得其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4)2+(y-1)2=7,所以已知圓的圓心坐標(biāo)為(4,1),又M(3,0)是圓x2+y2-8x-2y+10=0內(nèi)的一點,所以過點M最長的弦所在的直線為經(jīng)過M與圓心的直線,直線方程為y-01-0=x-34-3,整理得x-y-3=0,故選B. (2)設(shè)點M(x,y),因為|MA|2+|MO|2≤10,所以(x-2)2+y2+x2+y2≤10,即x2+y2-2x-3≤0.因為(x+1)2+y2=2,所以y2=2-(x+1)2,所以x2+2-(x+1)2-2x-3≤0,化簡得x≥-12.又點M在圓C上,所以x≤2-1,故-12≤x≤2-1.因為y2=2-(x+1)2,所以0≤y2≤74,所以-72≤y≤72, 故答案為-72,72. 【自我檢測】 1.C　[解析] 圓心在y軸上,半徑為1,不妨設(shè)圓的方程為x2+(y-a)2=1(a∈R),因為圓過點(1,3),所以1+(3-a)2=1,解得a=3,所以圓的方程為x2+(y-3)2=1,故選C. 2.B　 [解析] 圓的方程可化為(x-1)2+(y-2)2=2,即圓心為(1,2),所以圓心到直線x-ay+1=0的距離為|1-2a+1|1+a2=2,解得a=0,故選B. 3.A　[解析] 設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由圓過O,P,Q 三點,得F=0,1+9+D+3E+F=0,1+1-D+E+F=0,解得D=-1,E=-3,F=0,所以圓的方程為x2+y2-x-3y=0,故半徑r=(-1)2+(-3)2-402=102,故選A. 4.(x-2)2+y2=8　[解析] 由題意可設(shè)點P(0,m)(m∈R),易知直線MP的斜率為-1,即m-00-2=-1,得m=2,可得點P(0,2),所以圓的半徑為|MP|=22,故圓的方程為(x-2)2+y2=8. 小題3 例3　(1)D　(2)B　[解析](1)直線l:x+my+2m-2=0(m∈R)即(x-2)+m(y+2)=0,則該直線過定點M(2,-2),可得M(2,-2)在圓C:x2+y2-2x+4y-4=0內(nèi),當(dāng)MC⊥AB時,AB最短,即|AB|取最小值.由x2+y2-2x+4y-4=0,可得(x-1)2+(y+2)2=9,∴C(1,-2),r=3,∴|MC|=1,|AB|min=29-1=42,故選D. (2)以AB為直徑的圓的方程為x2+y2=a2.∵圓x2+y2-23x-2y+3=0上存在點P, 使得∠APB=90,∴圓x2+y2=a2與圓(x-3)2+(y-1)2=1有公共點.∴|a-1|≤3+1≤a+1, 解得1≤a≤3,故選B. 【自我檢測】 1.A　[解析] 圓的圓心為M(1,2),半徑r=2.因為|AB|=23,所以圓心到直線的距離d=r2-(|AB|2)2=4-(3)2=1,所以|a-2+3|a2+1=1,即|a+1|=a2+1,平方得a2+2a+1=a2+1,解得a=0,故選A. 2.A　[解析] 當(dāng)兩圓外切或內(nèi)切時,它們有且只有一個公共點,所以圓心距d=|a|=2+1=3或d=|a|=2-1=1,所以a=1,-1,3,-3,故選A. 3.B　[解析] 連接OM,ON,則∠MPN=∠ONP=∠OMP=90,∵|OM|=|ON|,∴四邊形OMPN為正方形,∵圓的半徑為1,∴|OP|=2,易求得原點(圓心)O到直線x+y-2=0的距離為2,∴符合條件的點P只有一個,故選B. 4.D　[解析] 圓的方程x2+y2+bx-y=1可化為x+b22+y-122=b2+54,則圓心為-b2,12.因為兩個交點關(guān)于直線x+y=0對稱,所以圓心在直線x+y=0上,且直線y=ax+1與直線x+y=0垂直,所以-b2+12=0,a(-1)=-1,解得a=1,b=1,所以a+b=2,故選D. [備選理由] 例1為求解點關(guān)于直線的對稱點問題,求解方法具有一般性.例2為直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的綜合題,涉及點到直線的距離、弦長公式、圓與圓位置關(guān)系的判斷等知識,知識點覆蓋較多,綜合性較強. 例1　[配例1使用] 點M(1,4)關(guān)于直線l:x-y+1=0對稱的點M的坐標(biāo)是　　　　. [答案](3,2) [解析] 設(shè)M(1,4)關(guān)于直線x-y+1=0對稱的點M的坐標(biāo)為(m,n)(m,n∈R),則線段MM的中點坐標(biāo)為1+m2,4+n2,∴n-4m-1=-1,1+m2-4+n2+1=0,∴m=3,n=2,故答案為(3,2). 例2　[配例3使用] 已知圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長度是22,則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離 [解析]B　圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-a)2=a2(a>0),則圓心M(0,a),半徑R=a,圓心M到直線x+y=0的距離d=a2.∵圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長度是22, ∴2R2-d2=2a2-a22=22,解得a=2,則圓心M(0,2),半徑R=2.∵圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的圓心N(1,1),半徑r=1,∴|MN|=(0-1)2+(2-1)2=2,又R+r=3,R-r=1,∴R-r<|MN|

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