《（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.5 橢圓（第2課時）直線與橢圓講義（含解析）.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.5 橢圓（第2課時）直線與橢圓講義（含解析）.docx（6頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
第2課時 直線與橢圓
題型一 直線與橢圓的位置關(guān)系
1.若直線y＝kx＋1與橢圓＋＝1總有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是( )
A.m>1 B.m>0
C.0
0且m≠5，∴m≥1且m≠5.
2.已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：＋＝1.試問當(dāng)m取何值時，直線l與橢圓C：
(1)有兩個不重合的公共點(diǎn)；
(2)有且只有一個公共點(diǎn)；
(3)沒有公共點(diǎn).
解 將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，
得方程組
將①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判別式Δ＝(8m)2－49(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)當(dāng)Δ>0，即－33時，方程③沒有實(shí)數(shù)根，可知原方程組沒有實(shí)數(shù)解.這時直線l與橢圓C沒有公共點(diǎn).
思維升華研究直線與橢圓位置關(guān)系的方法
(1)研究直線和橢圓的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與橢圓方程組成的方程組解的個數(shù).
(2)對于過定點(diǎn)的直線，也可以通過定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有交點(diǎn).
題型二 弦長及中點(diǎn)弦問題
命題點(diǎn)1 弦長問題
例1 斜率為1的直線l與橢圓＋y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為( )
A.2B.C.D.
答案 C
解析 設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，
直線l的方程為y＝x＋t，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
則x1＋x2＝－t，x1x2＝.
∴|AB|＝|x1－x2|＝
＝＝，
當(dāng)t＝0時，|AB|max＝.
命題點(diǎn)2 中點(diǎn)弦問題
例2 已知P(1，1)為橢圓＋＝1內(nèi)一定點(diǎn)，經(jīng)過P引一條弦，使此弦被P點(diǎn)平分，則此弦所在的直線方程為________________.
答案 x＋2y－3＝0
解析 方法一 易知此弦所在直線的斜率存在，所以設(shè)其方程為y－1＝k(x－1)，弦所在的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).由
消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，
∴x1＋x2＝，又∵x1＋x2＝2，∴＝2，
解得k＝－.
故此弦所在的直線方程為y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
方法二 易知此弦所在直線的斜率存在，所以設(shè)斜率為k，弦所在的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則＋＝1，①
＋＝1，②
①－②得＋＝0，
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴＋y1－y2＝0，∴k＝＝－.
∴此弦所在的直線方程為y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
思維升華 (1)解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系，解決相關(guān)問題.涉及中點(diǎn)弦的問題時用“點(diǎn)差法”解決，往往會更簡單.
(2)設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則|AB|＝＝(k為直線斜率).
(3)利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式.
跟蹤訓(xùn)練1已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的半焦距為c，原點(diǎn)O到經(jīng)過兩點(diǎn)(c，0)，(0，b)的直線的距離為c.
(1)求橢圓E的離心率；
(2)如圖，AB是圓M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，求橢圓E的方程.
解 (1)過點(diǎn)(c，0)，(0，b)的直線方程為bx＋cy－bc＝0，
則原點(diǎn)O到該直線的距離d＝＝，
由d＝c，得a＝2b＝2，解得離心率e＝＝.
(2)方法一 由(1)知，橢圓E的方程為x2＋4y2＝4b2.①
依題意，圓心M(－2，1)是線段AB的中點(diǎn)，且|AB|＝.
易知，AB與x軸不垂直，設(shè)其方程為y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，
x1x2＝，
由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝，
從而x1x2＝8－2b2.
于是|AB|＝|x1－x2|＝＝，
由|AB|＝，得＝，解得b2＝3，
故橢圓E的方程為＋＝1.
方法二 由(1)知，橢圓E的方程為x2＋4y2＝4b2，②
依題意，點(diǎn)A，B關(guān)于圓心M(－2，1)對稱，且|AB|＝，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x＋4y＝4b2，x＋4y＝4b2，
兩式相減并結(jié)合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0，
易知AB與x軸不垂直，則x1≠x2，
所以AB的斜率kAB＝＝，
因此直線AB的方程為y＝(x＋2)＋1，
代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0，
所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2，
于是|AB|＝|x1－x2|＝＝.
由|AB|＝，得＝，解得b2＝3，
故橢圓E的方程為＋＝1.
題型三 橢圓與向量等知識的綜合
例3 (2019杭州質(zhì)檢)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)，e＝，其中F是橢圓的右焦點(diǎn)，焦距為2，直線l與橢圓C交于點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且＝λ(其中λ>1).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求實(shí)數(shù)λ的值.
解 (1)由橢圓的焦距為2，知c＝1，又e＝，∴a＝2，
故b2＝a2－c2＝3，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(2)由＝λ，可知A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，
設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，點(diǎn)B(x2，y2).
若直線AB⊥x軸，則x1＝x2＝1，不符合題意；
當(dāng)AB所在直線l的斜率k存在時，
設(shè)l的方程為y＝k(x－1).
由消去y得
(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.①
①的判別式Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12)
＝144(k2＋1)>0.
∵
∴x1＋x2＝＝2＝，∴k2＝.
將k2＝代入方程①，得4x2－2x－11＝0，
解得x＝.
又＝(1－x1，－y1)，＝(x2－1，y2)，＝λ，
即1－x1＝λ(x2－1)，λ＝，又λ>1，∴λ＝.
思維升華一般地，在橢圓與向量等知識的綜合問題中，平面向量只起“背景”或“結(jié)論”的作用，幾乎都不會在向量的知識上設(shè)置障礙，所考查的核心內(nèi)容仍然是解析幾何的基本方法和基本思想.
跟蹤訓(xùn)練2(2018浙江名校聯(lián)盟聯(lián)考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，焦距為2.
(1)求橢圓C的方程；
(2)記斜率為k的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，橢圓C上存在點(diǎn)P滿足＝＋，求四邊形OAPB的面積.
解 (1)由題意得c＝1，a＝2，b＝，
故橢圓C的方程是＋＝1.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
直線AB：y＝kx＋m，由
消去y，可得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
故Δ＝48(4k2＋3－m2)>0且
由＝＋，可得
又點(diǎn)P在橢圓C上，
所以＋＝1，
其中x1＋x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，
代入＋＝1中，可得4m2＝3＋4k2.
|AB|＝|x1－x2|＝，
設(shè)點(diǎn)O到直線l的距離為d，則d＝.
所以四邊形AOBP的面積
S＝|AB|d＝＝＝3.
1.若直線mx＋ny＝4與⊙O：x2＋y2＝4沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)P(m，n)的直線與橢圓＋＝1的交點(diǎn)個數(shù)是( )
A.至多為1 B.2
C.1 D.0
答案 B
解析 由題意知，>2，即<2，
∴點(diǎn)P(m，n)在橢圓＋＝1的內(nèi)部，故所求交點(diǎn)個數(shù)是2.
2.過橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為( )
A.B.C.D.
答案 B
解析 由題意知橢圓的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)，則直線AB的方程為y＝2x－2.
聯(lián)立解得交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－2)，，
不妨設(shè)A點(diǎn)的縱坐標(biāo)yA＝－2，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)yB＝，
∴S△OAB＝|OF||yA－yB|
＝1＝，
故選B.
3.已知橢圓＋＝1以及橢圓內(nèi)一點(diǎn)P(4，2)，則以P為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為( )
A.B.－C.2D.－2
答案 B
解析 設(shè)弦的端點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
兩式相減，得＋＝0，
所以＝－，
所以k＝＝－.故選B.
4.已知F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)是橢圓C的兩個焦點(diǎn)，過F2且垂直于x軸的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝3，則C的方程為( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 C
解析 設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，則c＝1.因?yàn)檫^F2且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝3，所以＝，b2＝a2－c2，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，橢圓的方程為＋＝1.
5.經(jīng)過橢圓＋y2＝1的一個焦點(diǎn)作傾斜角為45的直線l，交橢圓于A，B兩點(diǎn).設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則等于( )
A.－3 B.－
C.－或－3 D.
答案 B
解析 依題意，當(dāng)直線l經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)(1，0)時，其方程為y－0＝tan45(x－1)，即y＝x－1.代入橢圓方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝.所以兩個交點(diǎn)坐標(biāo)為
A(0，－1)，B，所以＝(0，－1)＝－.同理，直線l經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)時，也可得＝－.
6.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使(＋)＝0(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則△F1PF2的面積是( )
A.4B.3C.2D.1
答案 D
解析 ∵(＋)＝(＋)＝＝0，
∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90.
設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，
則m＋n＝4，m2＋n2＝12，2mn＝4，mn＝2，
∴＝mn＝1.
7.直線y＝kx＋k＋1與橢圓＋＝1的位置關(guān)系是________.
答案 相交
解析 由于直線y＝kx＋k＋1＝k(x＋1)＋1過定點(diǎn)(－1，1)，而(－1，1)在橢圓內(nèi)，故直線與橢圓必相交.
8.(2018浙江余姚中學(xué)質(zhì)檢)若橢圓C：＋＝1的弦被點(diǎn)P(2，1)平分，則這條弦所在的直線l的方程是______________，若點(diǎn)M是直線l上一點(diǎn)，則M到橢圓C的兩個焦點(diǎn)的距離之和的最小值為________.
答案 x＋2y－4＝0
解析 當(dāng)直線l的斜率不存在時不滿足題意，所以設(shè)l的斜率為k，橢圓C：＋＝1的弦被點(diǎn)P(2，1)平分，由點(diǎn)差法得k＝－，代入已知的中點(diǎn)P的坐標(biāo)得到直線方程為x＋2y－4＝0.設(shè)點(diǎn)M(x，y)，點(diǎn)F2(3，0)關(guān)于x＋2y－4＝0的對稱點(diǎn)為F2′，連接F2′F1，交直線于點(diǎn)M，此時距離之和最小，最小值為|F2′F1|＝＝.
9.已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，橢圓C與過原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF，BF，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，則橢圓C的離心率e＝________.
答案
解析 設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F1，在△ABF中，由余弦定理可解得|BF|＝8，所以△ABF為直角三角形，且∠AFB＝90，又因?yàn)樾边匒B的中點(diǎn)為O，所以|OF|＝c＝5，連接AF1，因?yàn)锳，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以|BF|＝|AF1|＝8，所以2a＝14，a＝7，所以離心率e＝.
10.已知直線MN過橢圓＋y2＝1的左焦點(diǎn)F，與橢圓交于M，N兩點(diǎn).直線PQ過原點(diǎn)O與MN平行，且PQ與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，則＝________.
答案 2
解析 不妨取直線MN⊥x軸，橢圓＋y2＝1的左焦點(diǎn)F(－1，0)，令x＝－1，得y2＝，
所以y＝，所以|MN|＝，此時|PQ|＝2b＝2，
則＝＝2.
11.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，E的離心率為，點(diǎn)(0，1)是E上一點(diǎn).
(1)求橢圓E的方程；
(2)過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，且＝2，求直線BF2的方程.
解 (1)由題意知，b＝1，且e2＝＝＝，
解得a2＝2，所以橢圓E的方程為＋y2＝1.
(2)由題意知，直線AB的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線AB的方程為x＝my－1，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).
由得(m2＋2)y2－2my－1＝0，
則y1＋y2＝，①
y1y2＝－，②
因?yàn)镕1(－1，0)，
所以＝(－1－x2，－y2)，＝(x1＋1，y1)，
由＝2可得－y2＝2y1，③
由①②③可得B，
則＝或－，
所以直線BF2的方程為
y＝x－或y＝－x＋.
12.(2019紹興質(zhì)檢)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)(3，1).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)P(6，0)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，Q是x軸上的點(diǎn)，若△ABQ是以AB為斜邊的等腰直角三角形，求l的方程.
解 (1)設(shè)橢圓C的焦距為2c，
由離心率e＝＝及a2＝b2＋c2，得a2＝3b2，
則橢圓的方程為＋＝1，
代入點(diǎn)(3，1)得＋＝1，解得b2＝4，則a2＝12，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(2)設(shè)AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直線l：x＝ty＋6，則由
得(t2＋3)y2＋12ty＋24＝0，
由Δ>0，得t2>6，y0＝，x0＝ty0＋6＝，
則AB的中垂線方程為y＋＝－t，
所以Q.
易知點(diǎn)Q到直線l的距離為d＝＝，
|AB|＝＝，
所以6＝2，解得t2＝9，滿足t2>6，則t＝3，
所以直線l的方程為x3y－6＝0.
13.(2018臺州模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)A是直線MF2與橢圓C的一個交點(diǎn)，且|OA|＝|OF2|＝2|OM|，則橢圓C的離心率為( )
A.B.C.D.
答案 D
解析 方法一 ∵|OA|＝|OF2|＝2|OM|，M在橢圓C的短軸上，設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F1，連接AF1，
∵|OA|＝|OF2|，∴|OA|＝|F1F2|，∴AF1⊥AF2，
從而△AF1F2∽△OMF2，∴＝＝，
又|AF1|2＋|AF2|2＝(2c)2，
∴|AF1|＝c，|AF2|＝c，
又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴c＝2a，即＝.
故選D.
方法二 ∵|OA|＝|OF2|＝2|OM|，M在橢圓C的短軸上，在Rt△MOF2中，tan∠MF2O＝＝，
設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F1，連接AF1，
∵|OA|＝|OF2|，∴|OA|＝|F1F2|，
∴AF1⊥AF2，∴tan∠AF2F1＝＝，
設(shè)|AF1|＝x(x>0)，則|AF2|＝2x，∴|F1F2|＝x，
∴e＝＝＝＝，故選D.
14.已知橢圓＋＝1(a>b>0)短軸的端點(diǎn)為P(0，b)，Q(0，－b)，長軸的一個端點(diǎn)為M，AB為經(jīng)過橢圓中心且不在坐標(biāo)軸上的一條弦，若PA，PB的斜率之積等于－，則點(diǎn)P到直線QM的距離為__________.
答案 b
解析 設(shè)A(x0，y0)，則B點(diǎn)坐標(biāo)為(－x0，－y0)，
則＝－，即＝－，
由于＋＝1，則＝－，
故－＝－，則＝，不妨取M(a，0)，則直線QM的方程為bx－ay－ab＝0，
則點(diǎn)P到直線QM的距離為d＝＝＝b.
15.平行四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓＋＝1，直線AB的斜率k1＝2，則直線AD的斜率k2等于( )
A.B.－C.－D.－2
答案 C
解析 設(shè)AB的中點(diǎn)為G，則由橢圓的對稱性知，O為平行四邊形ABCD的對角線的交點(diǎn)，則GO∥AD.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則有兩式相減得＝－，
整理得＝－＝－k1＝－2，
即＝－.又G，
所以kOG＝＝－，即k2＝－，故選C.
16.過橢圓＋＝1(a>b>0)上的動點(diǎn)M作圓x2＋y2＝的兩條切線，切點(diǎn)分別為P和Q，直線PQ與x軸和y軸的交點(diǎn)分別為E和F，求△EOF面積的最小值.
解 設(shè)M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由題意知PQ的斜率存在，且不為0，所以x0y0≠0，
則直線MP和MQ的方程分別為x1x＋y1y＝，x2x＋y2y＝.因?yàn)辄c(diǎn)M在MP和MQ上，所以有x1x0＋y1y0＝，x2x0＋y2y0＝，則P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程x0x＋y0y＝，所以直線PQ的方程為x0x＋y0y＝，可得E和F，
所以S△EOF＝|OE||OF|＝，
因?yàn)閎2y＋a2x＝a2b2，b2y＋a2x≥2ab|x0y0|，
所以|x0y0|≤，
所以S△EOF＝≥，
當(dāng)且僅當(dāng)b2y＝a2x＝時取“＝”，
故△EOF面積的最小值為.
（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.5 橢圓（第2課時）直線與橢圓講義（含解析）.docx
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