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大題精做七 電場(chǎng)中的力和能 1．如圖所示，在豎直平面內(nèi)存在豎直方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)。長(zhǎng)度為l的輕質(zhì)絕緣細(xì)繩一端固定在O點(diǎn)，另一端連接一質(zhì)量為m、電荷量為＋q的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，初始時(shí)小球靜止在電場(chǎng)中的a點(diǎn)，此時(shí)細(xì)繩拉力為2mg，g為重力加速度。 (1)求電場(chǎng)強(qiáng)度E和a、O兩點(diǎn)的電勢(shì)差UaO； (2)小球在a點(diǎn)獲得一水平初速度va，使其能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則va應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？ 【解析】(1)小球靜止在a點(diǎn)時(shí)，由共點(diǎn)力平衡可得mg＋2mg＝qE① 得E＝，方向豎直向上② 在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，有UOa＝El③ 則a、O兩點(diǎn)電勢(shì)差UaO＝－④ (2)小球從a點(diǎn)恰好運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)，設(shè)到b點(diǎn)速度大小為vb， 由動(dòng)能定理得－qE2l＋mg2l＝mvb2－mva2⑤ 小球做圓周運(yùn)動(dòng)通過(guò)b點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律可得qE－mg＝m⑥ 聯(lián)立②⑤⑥可得va＝，故應(yīng)滿(mǎn)足va≥。 2．如圖(a)所示，傾角θ＝30的光滑固定斜桿底端固定一電量為Q＝210－4C的正點(diǎn)電荷，將一帶正電小球(可視為點(diǎn)電荷)從斜桿的底端(但與Q未接觸)靜止釋放，小球沿斜桿向上滑動(dòng)過(guò)程中能量隨位移的變化圖象如圖(b)所示，其中線(xiàn)1為重力勢(shì)能隨位移變化圖象，線(xiàn)2為動(dòng)能隨位移變化圖象，靜電力恒量k＝9109Nm2/C2，則： (1)請(qǐng)描述小球向上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的速度與加速度的變化情況； (2)求小球的質(zhì)量m和電量q； (3)求斜桿底端至小球速度最大處由底端正點(diǎn)電荷Q形成的電場(chǎng)的電勢(shì)差U。 【解析】(1)先沿斜面向上做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，再沿斜面向上做加速度逐漸增大的減速運(yùn)動(dòng)，直至速度為零。 (2)由線(xiàn)1可得EP＝mgh＝mgsinθ 斜率＝20＝mgsin30，所以m＝4kg 當(dāng)達(dá)到最大速度時(shí)帶電小球受力平衡mgsinθ＝kqQ/s 由線(xiàn)2可得s0＝1m 得q＝mgssinθ/kQ＝1.1110－5C (3)由線(xiàn)2可得當(dāng)帶電小球運(yùn)動(dòng)至1m處動(dòng)能最大為27J。 根據(jù)動(dòng)能定理WG＋W電＝ΔEk －mgh＋qU＝Ekm－0 代入數(shù)據(jù)得U＝4.23106V 1．如圖所示，質(zhì)量為m的小球A穿在絕緣細(xì)桿上，桿的傾角為α，小球A帶正電，電荷量為q。在桿上B點(diǎn)處固定一個(gè)電荷量為Q的正電荷。將A由距B豎直高度為H處無(wú)初速度釋放，小球A下滑過(guò)程中電荷量不變。不計(jì)A與細(xì)桿間的摩擦，整個(gè)裝置處在真空中，已知靜電力常量k和重力加速度g。求： (1)A球剛釋放時(shí)的加速度大??； (2)當(dāng)A球的動(dòng)能最大時(shí)，A球與B點(diǎn)的距離。 【解析】（1）由牛頓第二定律可知mgsinα－F＝ma 根據(jù)庫(kù)侖定律F＝kQqr2，r＝H/sinα 得a＝gsinα－kQqsin2αmH2. （2）當(dāng)A球受到合力為零、加速度為零時(shí)，動(dòng)能最大．設(shè)此時(shí)A球與B球間的距離為R，則mgsinα＝kQqR2 解得R＝kQqmgsinα。 2．在足夠長(zhǎng)的粗糙絕緣板A上放一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為＋q的小滑塊B。用手托住A置于方向水平向左、場(chǎng)強(qiáng)大小為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，此時(shí)A、B均能靜止，如圖所示?，F(xiàn)將絕緣板A從圖中位置P垂直電場(chǎng)線(xiàn)移至位置Q，發(fā)現(xiàn)小滑塊B相對(duì)于A發(fā)生了運(yùn)動(dòng)。為研究方便可以將絕緣板A的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化成先勻加速接著勻減速到靜止的過(guò)程。測(cè)量發(fā)現(xiàn)豎直方向加速的時(shí)間為0.8s，減速的時(shí)間為0.2s。P、Q位置高度差為0.5m。已知?jiǎng)驈?qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E＝；A、B之間動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.4，g取10m/s2。求： (1)絕緣板A加速和減速的加速度分別為多大？ (2)滑塊B最后停在離出發(fā)點(diǎn)水平距離多大處？ 【解析】(1)設(shè)絕緣板A加速和減速的加速度大小分別為a1、a2。 加速階段的末速度為v，x1＝t1 x2＝t2 v＝a1t1 v＝a2t2 聯(lián)立解得：v＝1m/s，a1＝1.25m/s2，a2＝5m/s2。 (2)研究滑板B，在絕緣板A勻減速的過(guò)程中，由牛頓第二定律可得 豎直方向上：mg－N＝ma2 水平方向上：Eq－μN(yùn)＝ma3 求得：a3＝0.1g＝1 m/s2 在這個(gè)過(guò)程中滑板B的水平位移大小為x3＝12a3t22＝0.02 m 在絕緣板A靜止后，滑板B將沿水平方向做勻減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度大小為a4，有 μmg－Eq＝ma4， 得a4＝0.1g＝1 m/s2 該過(guò)程中滑板B的水平位移大小為x4＝x3＝0.02 m 最后滑板B靜止時(shí)離出發(fā)點(diǎn)的水平距離x＝x4＋x3＝0.04 m 3．如圖所示，電源電動(dòng)勢(shì)E＝64V，內(nèi)阻不計(jì)，電阻R1＝4 Ω，R2＝12 Ω，R3＝16 Ω，開(kāi)始開(kāi)關(guān)S1閉合，S2斷開(kāi)，平行板電容器的兩極板A、B與水平面的夾角θ＝37，兩極板A、B間的距離d＝0.4m，板間有一個(gè)傳動(dòng)裝置，絕緣傳送帶與極板平行，皮帶傳動(dòng)裝置兩輪軸心相距L＝1m，傳送帶逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，其速度為v＝4m/s。現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量m＝0.1kg、電荷量q＝＋0.02C的工件（可視為質(zhì)點(diǎn)，電荷量保持不變）輕放在傳送帶底端(工件與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.25)，同時(shí)開(kāi)關(guān)S2也閉合，極板間電場(chǎng)反向，電路瞬間能穩(wěn)定下來(lái)。求：（g＝10m/s2，sin37＝0.6，cos37＝0.8） (1)開(kāi)關(guān)S1閉合，S2斷開(kāi)時(shí)，兩極板A、B間的場(chǎng)強(qiáng)大小和方向； (2)工件在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的加速度大??； (3)工件從底端運(yùn)動(dòng)到頂端過(guò)程中，工件因與傳送帶摩擦而產(chǎn)生的熱量。 【解析】(1)開(kāi)關(guān)S1閉合，S2斷開(kāi)時(shí)，R1與R2串聯(lián)，電路中的電流：I1＝ER1+R2＝644+12A＝4A 此時(shí)A、B之間的電勢(shì)差等于R1兩端的電壓， 所以：UBA＝UR1＝I1R1＝44＝16V 兩極板A、B間的場(chǎng)強(qiáng)大小：E1＝UBAd＝160.4＝40V/m 電場(chǎng)方向?yàn)橛葿指向A； (2)開(kāi)關(guān)S2也閉合，R1與R2串聯(lián)電壓不變，所以流過(guò)它們的電流不變，此時(shí)A、B之間的電勢(shì)差等于R2兩端的電壓，所以：UAB＝UR2＝I1R2＝412＝48V 兩極板A、B間的場(chǎng)強(qiáng)大?。篍2＝UABd＝480.4＝120V/m 此時(shí)工件的受力如圖，則沿傳送帶的方向由牛頓第二定律得： f-mgsinθ＝ma 垂直于傳送帶的方向： N＝mgcosθ+qE2＝0.110cos37+0.02120＝3.2N f＝μN(yùn)＝0.253.2＝0.8N a＝f-mgsinθm＝0.8-0.1100.60.1m/s2＝2m/s2 (3)工件達(dá)到4m/s需要的時(shí)間：t＝va＝42s＝2s 工件的位移：x1＝12at2＝12222＝4m>1m 所以工件應(yīng)該一直做加速運(yùn)動(dòng)，L＝12at02 t0＝2La＝212＝1s 此時(shí)傳送帶的位移：x2＝vt＝41m＝4m 工件相對(duì)于傳送帶的位移：Δx＝x2-x1＝4m-1m＝3m 工件與傳動(dòng)帶因摩擦而產(chǎn)生的熱量：Q＝fΔx＝0.83＝2.4J 4．如圖所示，在沿水平方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)中用一根長(zhǎng)度l＝0.8 m的絕緣細(xì)繩把質(zhì)量為m＝0.20 kg、帶有正電荷的金屬小球懸掛在固定點(diǎn)O點(diǎn)，小球靜止在B點(diǎn)時(shí)細(xì)繩與豎直方向的夾角為θ＝37?，F(xiàn)將小球拉至位置A使細(xì)線(xiàn)水平后由靜止釋放，求：（g＝10 m/s2，sin 37＝0.6，cos 37＝0.8） (1)從A到C靜電力對(duì)小球做的功； (2)小球通過(guò)最低點(diǎn)C時(shí)的速度的大小； (3)小球在擺動(dòng)過(guò)程中細(xì)線(xiàn)對(duì)小球的最大拉力。 【解析】（1）小球受到電場(chǎng)力qE，重力mg和繩的拉力F的作用下處于靜止， 根據(jù)共點(diǎn)力的平衡條件有：qE＝mgtan37 小球從A到C的過(guò)程中，W＝-qEL＝-1.2J （2）A到C的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理有：mgL-qEL＝12mvc2 可得：vc＝2m/s （3）在擺動(dòng)過(guò)程中，經(jīng)B點(diǎn)時(shí)，細(xì)線(xiàn)的拉力最大，從A到B的過(guò)程中， 根據(jù)動(dòng)能定理可得：mgLcos37-qEL（1-sin37 ）＝12mvB2 在B點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)足:F-mgcos370＝mvB2L 拉力:F＝4.5N 5．在粗糙的水平面有一絕緣的足夠長(zhǎng)的薄長(zhǎng)平板，在其左端放一個(gè)帶電體(可看成質(zhì)點(diǎn))，帶電量q＝110-2C，整個(gè)空間處于向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度E＝102N/C，平板質(zhì)量M＝2kg，帶電體質(zhì)量m＝1kg，帶電體與平板間動(dòng)摩擦系數(shù)μ1＝0.2，平板與地面間動(dòng)摩擦系數(shù)μ2＝0.1?，F(xiàn)給平板一個(gè)向左v0＝7m/s的初速，g取10m/s2，求： (1)帶電體運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間； (2)整個(gè)過(guò)程帶電體電勢(shì)能的變化量及摩擦生熱的內(nèi)能。 【解析】（1）對(duì)平板，設(shè)加速度大小為a1 μ1mg+μ2(mg+Mg)＝Ma1 (1) 解得，a1＝2.5m/s2 對(duì)帶電體，設(shè)加速度大小為a2 μ1mg-qE＝ma2 (2) 解得，a2＝1m/s2 設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t1達(dá)到共速，v0-a1t1＝a2t1 (3) 解得，t1＝2s 此時(shí)速度v＝2m/s 設(shè)一起做減速運(yùn)動(dòng)的加速度為a3 μ2(mg+Mg)+qE＝(m+M)a3 (4) 解得，a3＝1.33m/s2 再經(jīng)時(shí)間t2停止運(yùn)動(dòng)，v＝a3t2 (5) 解得，t2＝1.5s 則運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為t＝t1+t2＝3.5s （2）整個(gè)過(guò)程中帶電體一直向左運(yùn)動(dòng)， 加速階段，帶電體的位移x1＝12a2t12＝2m 平板的位移x2＝(v+v0)2t1＝9m 減速階段，帶電體的位移x3＝12vt2＝1.5m 則電勢(shì)能的增加量為qE(x1+x3)＝3.5J 內(nèi)能的增加量為μ1mg(x2-x1)+μ2(m+M)g(x2+x3)＝45.5J