八年級數(shù)學(xué)下冊12.2二次根式的乘除素材（打包20套）新蘇科版.zip,年級,數(shù)學(xué),下冊,12.2,二次,根式,乘除,素材,打包,20,新蘇科版 二次根式乘法法則是什么? 難易度：★★★ 關(guān)鍵詞：二次根式 答案： 二次根式的乘法法則：兩個二次根式相乘，將它們的被開方數(shù)相乘.用公式表示為：（a≥0，b≥0） 【舉一反三】 典例：化簡： （1）；（2）；（3）；（4）。 思路導(dǎo)引：直接運用公式（≥0，≥0）化簡即可，盡可能將被開方數(shù)的因式寫成平方的形式。 標(biāo)準(zhǔn)答案：（1）===15； （2）====6； （3）======20； （4）=== =。 1 二次根式化簡的幾種方法 1、被開放數(shù)是小數(shù)的二次根式化簡 例1、化簡 分析：被開放數(shù)是小數(shù)時，常把小數(shù)化成相應(yīng)的分數(shù)，后進行求解。 解：=。 評注：化簡時通常分子、分母同時乘以分數(shù)的分母，使分母上數(shù)或者式子成為完全平方數(shù)或者完全平方式。 2、被開放數(shù)是分數(shù)的二次根式化簡 例2、化簡 分析：因為，125=5×5×5=52×5，所以，只需分子、分母同乘以5就可以了。 解：=。 評注：化簡時，通常分子、分母同時乘以分數(shù)分母的一個恰當(dāng)因數(shù)或因式，使分母上數(shù)或者式子成為完全平方數(shù)或者完全平方式。 3、被開放數(shù)是非完全平方數(shù)的二次根式化簡 例3、化簡 分析： 因為，48=16×3=42×3， 所以，根據(jù)公式（a≥0，b≥0），就可以把積的是完全平方數(shù)或平方式的部分從二次根號下開出來，從而實現(xiàn)化簡的目的。 解：=。 評注：將被開放數(shù)進行因數(shù)分解，是化簡的基礎(chǔ)。 4、被開放數(shù)是多項式的二次根式化簡 例4、化簡 分析：當(dāng)指數(shù)是奇數(shù)時，保持底數(shù)不變，設(shè)法把指數(shù)化成是一個偶數(shù)和一個奇數(shù)的積。 解：=。 評注：當(dāng)多項式從二次根號中開出來的時候，一定要注意添加括號。否則，就失去意義。 5、被開放數(shù)是隱含條件的二次根式化簡 例5、化簡a的結(jié)果是： A） B） C） D） 分析：含字母的化簡，通常要知道字母的符號。而字母的符號又常借被開方數(shù)的非負性而隱藏。因此，化簡時要從被開方數(shù)入手。 解：∵a有意義∴≥0，∴-a＞0 ∴原式=故選（C）。 2 二次根式的乘除學(xué)習(xí)要點 二次根式的乘法和除法學(xué)習(xí)二次根式加減的基礎(chǔ).那么如何才能熟練掌握二次根式乘除法的運算呢？筆者以為應(yīng)注意掌握以下幾個問題： 一、正確理解二次根式乘法的意義 由于×＝＝＝3，×＝＝＝4，所以，一般地，×＝(a≥0，b≥0).觀察這一式子的左邊和右邊，得出等號的左邊是兩個二次根式相乘，等號右邊是得到的積仍是二次根式.由此二次根式的乘法就是把被開方數(shù)的積作為積的被開方數(shù). 利用二次根式乘法的這個法則應(yīng)注意：（1）要注意a≥0、b≥0的條件，因為只有a、b都是非負數(shù)公式才能成立.（2）從運算順序看，等號左邊是先分別求a、b的兩因數(shù)的算術(shù)平方根，然后再求兩個算術(shù)平方根的積，等號右邊是將非負數(shù)a、b先做乘法求積，再開方求積的算術(shù)平方根.（3）公式×＝(a≥0，b≥0)可以推廣到三個二次根式、四個二次根式等相乘的情況.（4）根據(jù)這個性質(zhì)可以對二次根式進行恒等變形，或?qū)⒂械囊蚴竭m當(dāng)改變移到根號外邊，或?qū)⒏柾膺叺姆秦撘蚴狡椒胶笠频礁杻?nèi). 例1　計算：（1）－×；（2）×； （3）×；（4）×. 分析　利用二次根式的乘法法則，對于第（3）小題，應(yīng)視x+2y為一個整體. 解?。?）－×＝－＝＝6； （2）×＝＝＝3； （3）×＝＝(x+2y)； （4）×＝＝＝6x2y2. 說明　在進行二次根式乘法的過程中，應(yīng)注意不能隨便丟掉負號，其結(jié)果一定要化簡. 例2　計算：（1）×；（2）5×. 分析　第（1）小題的被開方數(shù)都是小數(shù)，先將被開方數(shù)進行因數(shù)分解，第（2）小題 的根號外都含有數(shù)字因數(shù)，可以仿照單項式的乘法. 解?。?）×＝＝＝0.4×3＝1.2. （2）5×＝5××＝×＝. 說明　對于二次根式的被開方數(shù)或式中，若滿足兩個相同因數(shù)或因式即移到根號外面來，從而達到化簡的目的. 二、掌握公式×＝(a≥0，b≥0)的反向運用 對于公式×＝(a≥0，b≥0)，我們可以反過來，即得到＝×(a≥0，b≥0).利用這個公式，同樣可以達到化簡二次根式的目的. 例3　化簡：（1）；（2）；（3）；（4）. 分析　利用公式＝×，我們可以直接化簡，對于2000可以通過分解因數(shù)，對于第（4）小題可以利用平方差公式使之轉(zhuǎn)化成乘積的形式，再運用公式. 解（1）＝×＝35； （2）＝×＝4×9＝36； （3）＝＝××＝20； （4）＝＝＝×＝9×5＝45. 說明　通過求解可以看出，如果一個二次根式的被開方數(shù)中有的因式(或因數(shù))能開得盡方，可以逆向運用二次根式乘法的法則，將這些因式(或因數(shù))開出來，從而將二次根式化簡. 三、熟練掌握二次根式除法的意義 因為÷＝＝4÷2＝2，而＝＝2，所以÷＝＝.一般地，÷＝(a≥0，b＞0). 觀察這一式子的左邊和右邊，從運算順序看，等號左邊是先分別求被除數(shù)、除數(shù)的算術(shù)平方根，然后再求兩個算術(shù)平方根的商，等號右邊是將非負數(shù)a除以正數(shù)b求商，再開方求商的算術(shù)平方根.利用二次根式這一除法法則可以進行簡單的二次根式的化簡與運算.值得注意的是二次根式除法的法則中a≥0，b＞0，這是因為當(dāng)b＝0時，分母為0，沒有意義. 和二次根式乘法的法則一樣，二次根式除法的法則也可以反過來運用，即＝ (a≥0，b＞0)，同樣可以利用這一公式化簡二次根式. 例4　計算：（1）÷；（2）÷. 分析　直接運用公式÷＝化簡. 解?。?）÷＝＝＝＝2； （2）÷＝＝＝3. 說明　注意本例中第（2）小題的書寫格式，以便降低求解的難度. 例5? 化簡：（1）；（2）；（3）. 分析　利用公式＝直接化簡. 解?。?）＝＝＝； （2）＝＝； （3）＝＝＝. 說明　如果被開方數(shù)是帶分數(shù)，在運算時，一般先化成假分數(shù).，在進行第（3）小題的運算時，也可以先對被開方數(shù)的分子與分母同時擴大100倍，從而化小數(shù)為整數(shù). 通過上述兩道例題的化簡與運算，我們知道二次根式的除法，有兩種基本方法：①把除法先寫成分式的形式；②直接套用公式＝(a≥0，b＞0). 四、正確理解最簡二次根式的意義 有關(guān)二次根式的化簡與運算的結(jié)果一般化成最簡單的式子，即結(jié)果要化成最簡二次根式. 最簡二次根式必須滿足：一是被開方數(shù)不含有分母；二是被開方數(shù)不含有開得盡方的因數(shù)或因式，二者缺一不可. 例6　計算：（1）÷（×）；（2）×÷. 分析　第（1）小題先做括號里的，第（2）小題先做乘法，再做除法. 解?。?）÷（×）＝÷ ＝＝＝＝； （2）×÷＝÷＝＝＝＝＝. 說明　通過本題的運算，我們能從中體會到如何化去分母中含有根號的因數(shù)或因式. 4 二次根式的乘法與除法課堂在線 　　一、課程目標(biāo) 　　1．使學(xué)生理解積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，會利用這一性質(zhì)化簡二次根式；掌握商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，能利用性質(zhì)進行二次根式的化簡與運算；會進行簡單的二次根式的除法運算； 　　2．掌握二次根式的乘法法則，會進行簡單的二次根式的乘法運算； 　　3．使能聯(lián)系幾何課中學(xué)習(xí)的勾股定理解決實際問題；利用二次根式的除法公式進行化簡與計算的能力； 　　4．了解比較二次根式的大小的方法；通過學(xué)習(xí)積的算術(shù)平方根，培養(yǎng)邏輯思維能力； 　　5．通過綜合應(yīng)用勾股定理等知識，培養(yǎng)實際應(yīng)用能力； 　　6．通過積的算術(shù)平方根與二次根式的乘法的學(xué)習(xí)，滲透公式的簡單性，統(tǒng)一性的數(shù)學(xué)美； 　　7．通過二次根式公式的引入過程，滲透從特殊到一般的歸納方法，提高歸納總結(jié)能力； 　　二、知識結(jié)構(gòu)： 　　 　　三、重、難點 　　重點是利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)進行二次根式的計算和化簡.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)是本節(jié)的中心內(nèi)容，化簡和運算都是圍繞其進行的，而運用此性質(zhì)計算化簡又是二次根式的化簡和混合運算的基礎(chǔ).二次根式的計算和化簡通常與如勾股定理等幾何方面的知識綜合在一起. 　　商的二次根式的性質(zhì)及利用性質(zhì)進行二次根式的化簡與運算.商的算術(shù)平方根的性質(zhì)是本節(jié)的主線，掌握性質(zhì)在二次根使得化簡和運算的運用是關(guān)鍵. 　　難點是二次根式的乘法與積的算術(shù)平方根的關(guān)系及應(yīng)用.積的算術(shù)平方根在應(yīng)用時既要強調(diào)這部分題目中的字母為正數(shù)，但又要注意防止產(chǎn)生字母只表示正數(shù)的片面認識.要認識到積的算術(shù)平方根性質(zhì)與根式的乘法公式是互為逆運算的關(guān)系。綜合應(yīng)用性質(zhì)或乘法公式時要注意題目中的條件一定要滿足. 　　二次根式的除法與商的算術(shù)平方根的關(guān)系及應(yīng)用.二次根式的除法與乘法既有聯(lián)系又有區(qū)別，強調(diào)根式除法結(jié)果的一般形式，避免分母上含有根號.由于分母有理化難度和復(fù)雜性大，要理解分母有理化的意義及計算結(jié)果形式. 　　四、知識要點 　　1、積的算術(shù)平方根 　　一般地，有(a≥0，b≥0)． 　　積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積． 　　要注意a≥0、b≥0的條件，因為只有a、b都是非負數(shù)公式才能成立，這里要啟發(fā)學(xué)生為什么必須a≥0、b≥0．在本章中，如果沒有特別說明，所有字母都表示正數(shù)，下面啟發(fā)學(xué)生從運算順序看，等號左邊是將非負數(shù)a、b先做乘法求積，再開方求積的算術(shù)平方根，等號右邊是先分別求a、b的兩因數(shù)的算術(shù)平方根，然后再求兩個算術(shù)平方根的積． 　　根據(jù)這個性質(zhì)可以對二次根式進行恒等變形，或?qū)⒂械囊蚴竭m當(dāng)改變移到根號外邊，或?qū)⒏柾膺叺姆秦撘蚴狡椒胶笠频礁杻?nèi)． 　　2、商的算術(shù)平方根 　　一般地，有 （a≥0，b＞0） 　　商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根． 　　從運算順序看，等號左邊是將非負數(shù)a除以正數(shù)b求商，再開方求商的算術(shù)平方根，等號右邊是先分別求被除數(shù)、除數(shù)的算術(shù)平方根，然后再求兩個算術(shù)平方根的商，根據(jù)商的算術(shù)平方根的性質(zhì)可以進行簡單的二次根式的化簡與運算． 2 二次根式的化簡要求滿足什么條件？ 難易度：★★★ 關(guān)鍵詞：二次根式 答案： 二次根式的化簡要求滿足以下兩條: (1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù),因式是整式,也就是說“被開方數(shù)不含分母”. (2)被開方數(shù)中不含能開得盡的因數(shù)或因式,也就是說“被開方數(shù)的每一個因數(shù)或因式的指數(shù)都小于2”. 化簡的原則：分母內(nèi)不能有根號，根號內(nèi)不能有分母 【舉一反三】 典例：列式子哪些是最簡二次根式？哪些不是？為什么？ 思路導(dǎo)引：根據(jù)必須滿足兩個條件：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，分別進行判斷可得出答案． 標(biāo)準(zhǔn)答案：只有是最簡二次根式．含有能開盡方的數(shù)，含有能開盡方的數(shù)，被開方數(shù)不是整數(shù)，含有能開盡方的數(shù)，?= x，被開方數(shù)不是整數(shù)． 1 二次根式除法法則是什么? 難易度：★★★ 關(guān)鍵詞：二次根式 答案： 二次根式除法法則：兩個二次根式相除，將它們的被開方數(shù)相除的商，作為商的被開方數(shù)；用公式表示為：?（a≥0，b>0）。 【舉一反三】 典例：計算： （1）；（2）；（3）；（4）。 思路導(dǎo)引：直接運用（≥0，＞0）進行計算，運算后結(jié)果要化簡。 標(biāo)準(zhǔn)答案：（1）===2；（2）===3； （3）===2；（4）==。 1 化簡二次根式時應(yīng)注意什么問題？ 難易度：★★★ 關(guān)鍵詞：二次根式 答案： 當(dāng)二次根式的被開方數(shù)中含有分母時，應(yīng)充分注意分子中所含分母的取值范圍。（2）進行二次根式的乘除運算或化簡，最終結(jié)果定要盡可能可能化簡。 【舉一反三】 典例：求下列式子中有意義的x的取值范圍。 （1） （2） 思路導(dǎo)引：此題涉及二次根式的乘法、除法公式的正確應(yīng)用，特別注意公式應(yīng)用的范圍。 （a≥0，b≥0）；==（a≥0，b＞0）。 標(biāo)準(zhǔn)答案：（1）+1≥0，2-≥0。解得≥-1，≤2，即-1≤≤2。（2）≥0，3->0。解得≥0，< 3，即0≤<3。 1 化簡二次根式的關(guān)鍵 二次根式的化簡是二次根式的重要內(nèi)容之一，也是中考命題的熱點，在中考中通常是以填空題或選擇題的形式出現(xiàn)的．化簡的主要依據(jù)是公式=｜a｜，因此，化簡二次根式的關(guān)鍵是確定a的正負性，由此確定把根號內(nèi)的因式移到根號外后是否需要變號？下面就a的正負性如何確定舉例說明． 一、直接根據(jù)給出的字母的取值范圍進行確定 例1　已知a＜0，化簡：=＿＿＿． 分析：因為a＜0，所以=-a，從而=-a． 點評：當(dāng)被開方數(shù)為多個因式的積時，通常是尋找平方因式，運用二次根式的性質(zhì)將平方因式分離； 例2　已知1＜x＜3，化簡：=＿＿＿． 分析：∵1＜x＜3，∴x-1＞0，x-3＜0，故 原式=｜x-1｜+｜x-3｜=x-1+3-x=2． 點評：當(dāng)被開方數(shù)為完全平方式時，要注意底數(shù)的正負性確定開方后是否需要變號？ 二、根據(jù)二次根式的意義進行確定 例3　化簡：a的結(jié)果是（　?。? （A）；（B）；（C）-；（D）-. 分析：由被開方數(shù)-≥0，得a＜0，故原式=a，選D． 點評：被開方數(shù)為非負數(shù)是二次根式重要的一個非負性，由此常?？梢园l(fā)現(xiàn)字母隱含的取值范圍.本題也可以將根號外的因式a移進根號內(nèi)后與分母約分，得原式=-|a|，兩種解法異曲同工. 三、根據(jù)給出的取值范圍和二次根式的意義進行確定 例4　已知x＜0，化簡：=＿＿＿． 分析：由x＜0，，得y≤0， 故原式=｜y｜． 點評：本題由已知的x＜0及被開方數(shù)的非負性推出y≤0是關(guān)鍵的一步. 四、根據(jù)隱含條件進行確定 例5　化簡：． 分析：由前一個根式可知１-x≥0，x≤１，從而x-2＜0，故 原式=1-x+2-x=3-2x． 點評：公式=a成立的條件是a≥0，由此從第一個二次根式發(fā)現(xiàn)隱含條件x≤1，從而輕易化簡第二個二次根式. 例6　已知，則的值是（　?。? （A）a+；（B）a-；（C）-a；（D）以上都不是 分析：由已知，x==a+-2，故 ===． 因為≥0，故可知0＜a≤1，從而，故｜，應(yīng)選C． 點評：本題具有一定的難度，化簡過程峰回路轉(zhuǎn)，巧妙地運用了配方法、因式分解法. 2 商的算術(shù)平方根的性質(zhì)是什么？ 難易度：★★★ 關(guān)鍵詞：二次根式 答案： 商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：（a≥0，b>0） 【舉一反三】 典例：若 =a， =b，則的值用a、b可以表示為（　　） A、 ?B、?C、??D、 ba 思路導(dǎo)引：，化簡即可． 故選C． 標(biāo)準(zhǔn)答案：C 1 在使用性質(zhì)根號a×b=根號a×根號b（a≥0，b≥0）時要注意什么問題？ ?在使用性質(zhì)（a≥0，b≥0）時要注意什么問題？ 難易度：★★★ 關(guān)鍵詞：二次根式 答案： 在使用性質(zhì)（a≥0，b≥0）時一定要注意a≥0，b≥0的條件限制，如果a＜0，b＜0，使用該性質(zhì)會使二次根式無意義，如(-4)×(-9)≠-4×-9;同樣的在使用二次根式的乘法法則,商的算數(shù)平方根和二次根式的除法運算也是如此. 【舉一反三】 典例：計算： （1）；（2）；（3）；（4）。 思路導(dǎo)引：利用（≥0，≥0）對二次根式進行乘法計算，要注意當(dāng)結(jié)果仍然是二次根式時，應(yīng)盡量化簡。（4）中的隱含條件是≥0，≥0。 標(biāo)準(zhǔn)答案：（1）====； （2）===； （3）====-39； （4）===。 1 如何將二次根式的除法運算轉(zhuǎn)化為乘法運算？ 難易度：★★★ 關(guān)鍵詞：二次根式 答案： 二次根式的除法可以轉(zhuǎn)化為乘法運算。除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。對于多個二次根式相除的情況，應(yīng)按照題中指定的順序進行計算，有括號的先算括號里面的，沒有括號的，從左往右依次計算，結(jié)果注意化簡，數(shù)字應(yīng)放在字母前面。 【舉一反三】 典例：計算： （1）；（2）；（3）；（4）。 思路導(dǎo)引：二次根式的除法可以轉(zhuǎn)化為乘法運算。對于多個二次根式相除的情況，應(yīng)按照題中指定的順序進行計算，有括號的先算括號里面的，沒有括號的，從左往右依次計算，結(jié)果注意化簡，數(shù)字應(yīng)放在字母前面。 標(biāo)準(zhǔn)答案：（1）====； （2）==== （3）===； （4）====。 ? 1 如何進行二次根式的分母有理化？ 難易度：★★★★ 關(guān)鍵詞：二次根式、分母有理化 答案： 分母有理化的兩種方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解達到約分的目的。 【舉一反三】 典例：把 分母有理化的結(jié)果是（　?。? A、 B、 C、 D、 思路導(dǎo)引：本題考查的是分母有理化的計算方法，解法的關(guān)鍵是準(zhǔn)確判斷分母的有理化因式。本題需先找出分母的有理化因式，然后將分子、分母同時乘以分母的有理化因式進行計算．故本題選B． 標(biāo)準(zhǔn)答案：B 1 1 計算 2 把下面的二次根式化成最簡二次根式 3 如圖 在Rt ABC中 C 90 A 30 AC 2cm 求斜邊AB的長 答 斜邊AB的長是cm 最簡二次根式的定義是什么? 難易度：★★★ 關(guān)鍵詞：二次根式 答案： 二次根式化簡后,被開方數(shù)不含分母,并且被開方數(shù)中所有因式的冪的指數(shù)小于2,像這樣的二次根式稱為最簡二次根式. 【舉一反三】 典例：下列根式中不是最簡二次根式的是（　?。? A、 ?B、 C D、 思路導(dǎo)引：判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式中的兩個條件（被開方數(shù)不含分母，也不含能開的盡方的因數(shù)或因式）．是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．因為= =，因此不是最簡二次根式．故選B． 標(biāo)準(zhǔn)答案：B 1 商品調(diào)價中的數(shù)學(xué)問題 若將某商品先漲價10％后再降價10％，所得的價格與原先的價格相比有無變化？不少同學(xué)會不假思索脫口而出：那還用問嗎？肯定不變。果真如此嗎？ 比如設(shè)這種商品原價為100元，則漲價10％后價格為100＋10=110元，再降價10％就是110-11=99元，可見比原先的價格便宜了。所以很多事情不能想當(dāng)然貿(mào)然下結(jié)論，還是動筆算一算為好，才能做到心中有“數(shù)”。請研究下例： 某商品擬作兩次調(diào)價，設(shè)p＞q＞0，有下列六種方案供選擇： (A) 選漲價p%，再降價q%； (B) 選漲價q%，再降價p%； (C) 選漲價%，再降價%; (D) 選漲價%，再降價%; (E) 選漲價%，再降價%; 　　 (F) 選漲價%，再降價%; 若規(guī)定兩次調(diào)價后該商品的價格最高的方案稱為好方案。請判斷其中哪一個是好方案？ ?　　分析? 設(shè)某商品原價為1，采用方案(A)、(B)、(C)、(D)、(E)、(F)調(diào)價后的商品價格分別為a，b，c，d，e，f，則 　　所以，方案（A）是好方案。 2 積的算術(shù)平方根性質(zhì)是什么? 難易度：★★★ 關(guān)鍵詞：二次根式、乘除法運算 答案： 積的算術(shù)平方根性質(zhì)：（a≥0，b≥0） 【舉一反三】 典例：計算：． 思路導(dǎo)引：本題主要考查了二次根式的乘法運算以及平方差公式的應(yīng)用?？芍苯永闷椒讲罟角蠼猓? 標(biāo)準(zhǔn)答案：22 1