八年級數(shù)學下冊12.1二次根式素材（打包31套）新蘇科版.zip
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獨具匠心的勾股定理證明
我國古代的勞動人民早在幾千年前就已經(jīng)掌握了勾股定理并把它應用于實際的生產(chǎn)和生活之中，到《周髀算經(jīng)》和《九章算術》這兩部數(shù)學著作問世，這一定理更有了一般的公式化的陳述．然而一直到漢代末期，這一公式仍未見有嚴格的證明．現(xiàn)存數(shù)學典籍中最早給這一定理證明的，是趙爽的《周髀算經(jīng)注》．
趙爽又名嬰，字君卿，三國時吳國人．由于史書上沒有他的傳記，所以他的生卒年代和生平事跡已不可詳考了．從他自己所說“負薪余日、聊觀《周髀》”的話來看，可能是個平民數(shù)學家．他在讀了《周髀算經(jīng)》后，深為此書的數(shù)學內(nèi)容所折服，又恐怕后人不能徹底理解其中的深奧道理，于是就動手對它作了全面的注釋和闡述，其中給出的《勾股圓方圖》和《勾股圓方圖注》，便是對勾股定理的一個嚴格而又巧妙的證明．
《勾股圓方圖注》一開首就說：“勾股各自乘，并之為弦實，開方除之，即弦”這實際上給出了如下的兩個公式：
（1）勾×勾＋股×股＝弦×弦（a2＋b2＝c2）．
?。?）弦＝．
接著，趙爽用一個“弦圖”(見下圖)對以上公式進行了證明，在這個圖中，以弦為邊長的正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的．每個直角三角形的面積為ab ；中間的小正方形邊長為b－a，則面積為(b－a)2，于是便得如下的式子：
ab×4＋(b－a)2＝c2；
化簡便得 （a2＋b2＝c2）；
亦即 c＝．
趙爽的這個證明可謂別具匠心．他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數(shù)式之間的恒等關系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典范．以后的數(shù)學家大多繼承了這一風格并且代有發(fā)展．例如稍后一點的劉徽在證明勾股定理時也是用的以形證數(shù)的方法，只是具體的分合移補略有不同．劉徽的證明原也有一幅圖，可惜圖已失傳，只留下一段文字：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不動也，合成弦方之冪，開方除之，即弦也”后人根據(jù)這段文字補了一張圖（見下圖）．
只要把圖中朱方（a2 ）的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，則剛好拼好一個以弦為邊長的正方形（c2）．由此便可證得a2＋b2＝c2或c＝．
“形數(shù)統(tǒng)一”是中國傳統(tǒng)數(shù)學的一個基本思想方法，它與西方以歐幾里德為代表的幾何學獨立于數(shù)量關系而單純研究空間形式的風格完全不同．然而，“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法又是數(shù)學發(fā)展的一個很重要的條件，正如當代中國數(shù)學家吳文俊所說：“在中國的傳統(tǒng)數(shù)學中，數(shù)量關系與空間形式往往是形影不離并肩地發(fā)展著的……十七世紀笛卡兒解析幾何的發(fā)明，正是中國這種傳統(tǒng)思想與方法在幾百年停頓后的重現(xiàn)與繼續(xù)”．
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年級
數(shù)學
下冊
12.1
二次
根式
素材
打包
31
新蘇科版
- 資源描述：
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