八年級數(shù)學下冊12.1二次根式素材（打包31套）新蘇科版.zip,年級,數(shù)學,下冊,12.1,二次,根式,素材,打包,31,新蘇科版 如何進行二次根式的混合運算？ 難易度：★★★ 關鍵詞：二次根式、混合運算 答案： （1）二次根式的混合運算是二次根式乘法、除法及加減法運算法則的綜合運用．學習二次根式的混合運算應注意以下幾點：①與有理數(shù)的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的．②在運算中每個根式可以看做是一個＂單項式＂，多個不同類的二次根式的和可以看作＂多項式＂．（2）二次根式的運算結果要化為最簡二次根式．（３）在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍． 【舉一反三】 典例：計算： 思路導引：本題涉及分數(shù)指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、乘方、二次根式化簡四個考點．在計算時，需要針對每個考點分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結果．解答：原式=。 標準答案：3 1 學習二次根式概念“四注意” 一、注意：二次根式的定義 定義：一般地式子（a≥0）叫做二次根式，理解這個概念時，要抓住三個要點： （1）從形式上看而次根式必須有二次根號“”，如是二次根式，而，3顯然就不是二次根式，因此，二次根式是指某種式子的“外在形態(tài)”． （2）被開方數(shù)a可以是數(shù)，也可以是但是，若a是數(shù)，則這個數(shù)必須是非負數(shù)；若a是代數(shù)式，則這個代數(shù)式的取值必須是非負數(shù)，否則沒有意義，故a≥0是為二次根式的前提條件?？傊斫舛胃揭プ蓚€非負性：①被開方數(shù)a是非負數(shù)，即a≥0；②二次根式的值是非負數(shù)，即≥0． （3）二次根式是一種代數(shù)式，二次根式是由于開平方運算得到的，當被開方數(shù)為常數(shù)時，它是一個實數(shù)，能開得盡方的為有理數(shù)，不能開得盡方的為無理數(shù)。當被開方數(shù)中含有字母時，它就是我們以后將要接觸到的無理式，因此，雖說二次根式為代數(shù)式，但其可能為有理式，也可能為無理式，它是代數(shù)式中的一部分． 二、注意：定義是判斷一個式子是否為二次根式的依據(jù)，判斷一個式子是不是二次根式，一定要緊扣定義，看所給的式子是否同時具備二次根式的兩個特征： （1）帶二次根號“”；（2）被開方數(shù)大于等于0，只要同時民主這兩個7，它就是二次根式，否則不滿足其中任何一個特征，它就不是二次根式，例如：（x≥1）等都是二次根式，（x＜0＝就不是二次根式． 三、注意：怎么確定二次根式中被開方數(shù)所含字母的取值范圍 由二次根式的定義可知，當a≥0時，有意義；當a＜0時，沒有意義，故確定被開方數(shù)中字母的取值范圍問題，可根據(jù)形如的式子有意義，或無意義的條件，列出不等式，然后解不等式即可，如：要使在實數(shù)范圍內有意義，必須使3x-1≥0，即x≥． 確定自變量的取值范圍是本節(jié)的重點也是難點，所以一定要高度重視，我們學過的內容不外乎以下幾種類型： 根據(jù)函數(shù)解析式確定自變量取值范圍應從以下幾個方面考慮： ① 整式型：若函數(shù)解析式是整式時，則自變量取值范圍為一切實數(shù)； ② 分式型：若函數(shù)解析式是分式時，則分母不為零； ③ 二次根式型：若函數(shù)解析式是二次根式時，則被開方數(shù)為非負數(shù)； ④ 指數(shù)型：若函數(shù)解析式用零次冪表示時，則應考慮底數(shù)不為零； ⑤ 綜合型：若函數(shù)解析式是整式型、分式型、二次根式型、指數(shù)型的綜合，則自變量取值范圍是它們各自取值范圍的公共部分． 四、注意：二次根式的簡單性質 由二次根式的定義可得（a≥0）是一個非負數(shù)，又因為開平方運算與平方運算是互逆運算，因而有：（a≥0），由此可得二次根式的兩個簡單性質： （1）（a≥0）是一個非負數(shù)； （2）（a≥0）． 如：是3的算術平方根，是3的平方根，而． 2 “二次根式” 　　一、教材分析 　　新教材打破了舊教材從定義出發(fā)，由理論到理論，按部就班的舊格局，創(chuàng)造出從實踐到理論再回到實踐，由淺入深，符合認知結構的新模式．其主要的特點和優(yōu)點有： 　　（一）以四則運算貫穿全章的始末，使教學有明確的主攻方向 　　新教材一改舊教材中概念性質與運算脫節(jié)的陳規(guī)，以運算為主線進行編排．對于概念性質則根據(jù)它們在運算中所起的作用，穿插介紹，有機地與運算結合．這樣，在教學過程中學生能清楚地認識到，為了解決實際問題必須學習根式運算；為了探求根式運算法則就必須研究根式的概念和性質．由于學生的學習目的性明確，一開始就帶著問題以極大的熱情投入學習．從上章算術平方根的概念出發(fā)，很快地掌握了二次根式的意義和基本性質，緊接著把這些基本性質用到二次根式乘除中去，并且解決了實際問題．接著教師又提出新的問題，引導學生研究二次根式的化簡和加減運算．這樣，一環(huán)扣一環(huán)，研究一個個運算，解決一個個實際問題，突破一個個難點，最后成功地完成全章的教學任務． 　?。ǘ┫瘸顺蠹訙p，由易到難，由簡到繁編排教材，符合學生的認知心理 　　舊教材先講二次根式的加減法，后講二次根式的乘除法．因為要掌握加減法，就得先研究根式的化簡，而根式的化簡實際上可以通過根式的乘除來實現(xiàn)，可是乘除法未學，不能超前使用這個工具，只好一個個地從定義出發(fā)來化簡，這樣增加了運算的難度．新教材克服了舊教材的弊端，先介紹乘除法后介紹加減法，而乘除法比加減法容易學，這樣由淺入深，循序漸進地學習，困難不大．在化簡根式時，除了從定義出發(fā)外，還可以運用除法．知識是一種越用越多的財富．運用乘除法來化簡根式，不僅可以復習鞏固乘除法則，而且增加了化簡根式的工具．乘除的基礎打好了，又增添了化簡根式的工具，因而根式加減的困難也就迎刃而解了． 　　二、教學方法 　　如果把教材比做一張藍圖，那么編者就是這幅藍圖的總設計師，而教師便是忠實的施工員．首先，施工員要領會設計師的匠心和設計意圖，忠實地按圖施工．其次，施工員在施工過程中，要發(fā)揮自己的聰明才智，創(chuàng)造性地完成任務．再次，要不斷地發(fā)現(xiàn)新問題，在不影響總體設計的情況下，及時地進行局部調整．同樣的道理，教師在實施教學過程也應注意以下三個問題． 　?。ㄒ唬┏酝附滩? 　　深入鉆研教材，切實領會編者的巧妙構思，挖掘教材的優(yōu)點和特點以及新舊教材的差別，并且在教學中加以實施． 　?。ǘ┚脑O計教案，發(fā)揮自己的主觀能動性 　　根據(jù)學生的實際情況，精心設計，精心安排．在教學中以問題為中心，不斷地提出問題，激發(fā)學生的學習動機；深刻地分析問題，帶領學生尋找解決問題的辦法；及時地總結規(guī)律，把所獲得的新知識并入原有的知識系統(tǒng)；加強變式訓練，糾正學生概念和運算中的錯誤． 　?。ㄈ┘皶r地發(fā)現(xiàn)問題，不斷地調整自己的教學方案 　　本章的主線是運算，為了突出這條主線，故在章頭圖長方形的基礎上適當?shù)卦黾痈降倪\算的實例，作為新課的引入和研究問題的中心．具體的教學方案敘述如下： 　　1．根式的乘法． 　?。?）提出問題． 　　學校決定在每一間教室前面的長方形空地上都種植草皮．按國家教委和國家基建委規(guī)定的標準，中學每間教室的使用面積為54平方米．假定教室是正方形的，那么教室的每條邊長則為米，也就是說長方形空地長為米．如果空地的寬為 米，問鋪滿一塊長方形空地，需要購買多少平方米的草皮？ 　　（注：前一章已經(jīng)學習了無理數(shù)，后一章將學習二次根式．因此以和作為邊長進行計算既能起到承上起下的作用，又能聯(lián)系生活實際．） 　　因為長方形的面積等于長×寬，所以草坪的面積為×． 　　我們查表計算和的值，然后再相乘，雖然可以得到草場的面積，但是計算繁瑣，又不能得到準確值．如果手邊沒有數(shù)學用表和計算器，就無法進行計算．因此，必須另想其他計算辦法．要想不查表又能算出草坪面積的準確值，就必須研究二次根式54和6的乘法法則． 　　（2）分析問題． 　?、儆幸饬x的式子才能進行運算，所以在研究二次根式的運算之前先得研究，當a為何實數(shù)時，二次根式與有意義． 　　我們知道，在實數(shù)范圍內，負數(shù)沒有平方根，要使上式有意義，被開方數(shù)只能是正數(shù)或0，也就是說被開方數(shù)是非負數(shù)．故得， 　　性質1：非負數(shù)的算術平方根是非負數(shù)．即當a≥0時，≥0；當a≥3 時，≥0． 　?、谂c有理數(shù)6的差別就在于多一個根號，如果能找到一種打開根號的運算，那么就有可能借助于有理數(shù)的運算法則來進行二次根式的運算． 　　因為是表示平方等于6的數(shù)，把這句話用式子表示為（）2＝6． 　　可見我們可以用平方的辦法去掉括號． 　　一般地，（a≥0）表示一個平方等于a的非負數(shù)，即（）2＝a（a≥0）． 　　由上式得， 　　性質2：一個非負數(shù)平方根的平方等于它的本身． 　　在本章中，如果沒有特別說明，所有的字母都表示正數(shù)，因而平方和開方都互為逆運算． 　　由性質2得（）2＝54×6 ， ① 由乘方法則得（×）2＝（）2×（）2＝54×6 ， ② 由①、②得（）2＝（×）2， 因為＞0，×＞0，所以＝×， 　　一般地有（a≥0，b≥0）． 　?。?）解決問題． 　　乘法法則：算術平方根的積，等于各個被開方數(shù)積的算術平方根． 　　由乘法法則得：×＝＝＝18． 答：購買18平方米的草苗恰好能鋪滿一塊空地． 　　全校各間教室前面的空地都種上草皮，就使得往日塵土飛揚的黃土地換上綠色的新裝，那無數(shù)支嫩綠和新芽，不斷地吐出氧氣，讓同學們在美麗的校園里，呼吸著新鮮的空氣更加精力充沛地為祖國而學習． 　　注：當問題解決之后，同學們都沉浸在成功的喜悅之中，此時此刻，教師借題發(fā)揮作簡短有力的議論，既能體現(xiàn)數(shù)學的美，激發(fā)學生的學習積極性，又能給學生以生動的思想教育． 　?。?）變式訓練． 　　通過正反面典型實例來加深鞏固二次根式的概念和運算法則的理解和掌握． 　　例1　化簡：． 　　注：利用性質3化簡根式時，應把被開方數(shù)中能開得盡方的因式（或因數(shù)）都開出來． 　　例2　化簡：． 　　注：因為性質3只適用于被開方數(shù)是乘積的情形，不適用于加減的情形． 　　例3　計算 3×2＝（3×2）×（×）＝30． 　　注：這里實際上是將有理數(shù)乘法的交換律和結合律推廣到實數(shù)范圍．因而二次根式相乘時可以在根號外把因式相乘，同時在根號內把被開方數(shù)相乘，二次根式不變． 　　2．根式的除法． 　?。?）提出問題． 　　草坪的長是寬的多少倍呢？要解決這個問題就必須研究二次根式的除法，即÷． 　　（2）分析問題． 仿照乘法法則的推導辦法，由乘方法則和性質得， 因為， ， 　　所以＝． 其中＞0，＞0． 從而＝， 一般地有＝（a≥0，b＞0）．（*） （3）解決問題． 除法法則：兩個算術平方根的商，等于它們的被開方數(shù)商的算術平方根．把長除以寬得： 　?。剑剑?． 　　答：草坪的長恰好是寬的3倍． （4）變式訓練（略）． 　　3．根式的加減法． 　?。?）提出問題． 為了保護草坪，就得用籬笆把四周圍起來．要做到合理用料，就得計算每塊長方形空地的周長是多少米？長比寬大多少米？依題意得 草坪的周長為（2＋2）米， 草坪的長比寬大（－）米． 　　要解決這兩個問題，就必須研究二次根式的加減法． 　?。?）分析問題． 　　回顧整式加減的實質就是“合并同類項”．同類項是字母相同，并且字母的指數(shù)也相同的項．同樣的道理，我們也把被開方數(shù)相同的二次根式稱為同類二次根式，與同類項一樣，同類二次根式也可以進行合并．但是，在整式中同類項一目了然，而同類根式卻不容易認別．例如：和，和． 　　乍看起來被開方數(shù)不同，但它們卻是同類二次根式，因為化簡后被開方數(shù)都相同． 　　 上式化簡后都具有兩個特點： 　　①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（即被開方數(shù)不含分母）； 　　②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)和因式． 　　凡具有以上兩個特點的根式稱為最簡二次根式． 　?。?）解決問題． 　　答：每塊草坪周長為86米，長比寬大26米． 　　從上面可以得出二次根式的加減法則： 　　①最簡二次根式的加減，只要合并同類二次根式； 　?、谌绻o的二次根式不是最簡二次根式，應先化簡，而后合并同類二次根式． （4）變式訓練（略）． 5 二次根號“”的來歷 　　 1220年意大利數(shù)學家斐波那契使用R作為平方根號．十七世紀法國數(shù)學家笛卡爾在他的《幾何學》一書中第一次用“”表示根號．“”是由拉丁文root（方根）的第一個字母“r”變來，上面的短線是括線，相當于括號． 1 《二次根式》典例解析 例1．在下列各式中，m的取值范圍不是全體實數(shù)的是（ ） A． B． C． D． 分析 不論m為任何實數(shù)，A、C、D中被開方數(shù)的值都不是負數(shù). 解答 B 說明 考查二次根式的意義. 只要理解了二次根式的意義，記住在時，式子才有意義，這樣的題目都不在話下. 例2．是二次根式，則x、y應滿足的條件是（ ） A．且 B． C．且 D． 分析 要使有意義，則被開方數(shù)是非負數(shù).應滿足條件是且或，. 解答 D 說明 式子叫做二次根式，a可以是數(shù)，也可以是式子，但a必須是非負數(shù). 例3．判斷下列根式是否二次根式： （1）； （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 解答 （1）∵ ，∴ 不是二次根式. （2）∵，∴是二次根式. （3）∵ ，∴不是二次根式. （4）是三次根式，不是二次根式. （5）∵ 的符號不確定，∴當時，是二次根式，當時， 不是二次根式，∴不一定是二次根式. （6）∵ ，∴是二次根式. （7）∵ ∴不是二次根式. （8）∵ ∴是二次根式. 說明 判定一個式子是否二次根式，主要觀察兩方面：第一，被開方數(shù)是否非負；第二，是否為二次根式. 例4．求使有意義的x的取值范圍. 解答 要使使有意義，則，即；① 要使有意義，則，即.② 所以使 有意義的x的取值范圍是. 說明 本題主要考察二次根式的基本概念，要弄清每一個數(shù)學表達式的含義. 根據(jù)二次根式的意義求解. 例5．在實數(shù)范圍內分解因式： （1） （2） （3） 解答 （1） （2） （3） 說明 解本題的關鍵是對一個非負數(shù)a能寫成一個數(shù)平方形式.即 的逆用.并且原來的因式分解方法和公式仍然適用. 3 《二次根式》典例解析 例1．若x，y為實數(shù)，且，則. 分析 由于含有兩上未知量而只是一個等式，不妨從二次根式概念入手. ∵ ∴ 即得，， 解答 2 說明 回到定義中去是重要解題方法. 例2．求的值. 分析 由于二次根式的被開方數(shù)為非負性，知求值式中的，必為零.問題迎刃而解. 解答 因當時，才有意義. 故原式= 說明 本題關鍵是挖掘隱含條件的條件是什么？ 例3．當x取什么值時，取值最小，并求出這個最小值. 分析 根式中二次根式的雙非負性，即被開方數(shù)非負，二次根式非負，所以只有當時，才有最小值. 解答 因為，解得， 故當時，有最小值，為0. 從而有最小值，最小值為1. 故當時，取值最小，最小值為1. 例4．已知m是的整數(shù)部分，n是的小數(shù)部分，計算的值. 分析 根據(jù)算術平方根的概念，可知即，從而可確定m和n. 解答 ∵，即， ∴ 的整數(shù)部分， 的小數(shù)部分. ∴ 說明 一部分學生總是想求13的算術平方根，在不允許查表的情況下，盡管可知 的整數(shù)部分是3，但不易知道的小數(shù)部分，從而陷入誤區(qū).而忽視了由可求出的小數(shù)部分n. 2 二次根式大小比較的常用方法 　　二次根式的化簡具有極強的技巧性，而在不求近似值的情況下比較兩個無理數(shù)（即二次根式）的大小同樣具有很強的技巧性，對初中生來說是一個難點，但掌握一些常見的方法對它的學習有很大的幫助和促進作用． 　　1．根式變形法． 　　【例1】比較3與5的大?。? 　　【解】將兩個二次根式作變形得3＝＝，＝5＝； ∵75＞45；∴＞，即3＜5． 【解后評注】本解法依據(jù)是：當a＞0，b＞0時，①a＞b，則＞； ②若a＜b，則＜． 　　2．平方法． 【例2】比較3與2的大?。? 【解】（3）2＝18，（2）2＝12． 　　∵18＞12；∴3＞2． 【解后評注】本法的依據(jù)是：當a＞0，b＞0 時，如果a2＞b2，則a＞b，如果a2＜b2，則a＜b． 另外根式的無理數(shù)大小的比較往往可采用：分母有理化法、分子有理化法、等式的基本性質法、作差比較法、求商比較法等多種方法，來求解．有時還需各種方法配合使用，其中根式變形法，平方法是最基本的，對于具體的問題要作具體分析，以求用最佳的方法解出正確的結果． 1 二次根式定義解讀 我們知道：一般地，形如的式子叫做二次根式，而也表示的算術平方根，所以可得. 這里要注意的是兩個非負數(shù)：是非負數(shù)，被開方數(shù)是非負數(shù)，那么它們在實際問題中有什么作用呢？ 1. 條件的作用：列不等式，可求被開方數(shù)中，字母的取值范圍. 例1 當有意義時，的取值范圍是 . 析解：此式中含有二次根式，被開方數(shù)為非負數(shù)，得 含有分式，分母不為零，得, 的取值應使以上二式都成立， ∴據(jù)題意得 解得：且. 例2 有意義，則的取值范圍是 . 解：法一 據(jù)題意得：, , 當取任意實數(shù)時，上式都成立，∴的取值范圍是全體實數(shù). 法二：∵ ∴, 即取任意實數(shù)，被開方數(shù)都是正數(shù)，原式都有意義，∴的取值范圍是全體實數(shù). 點評：此題看似簡單，學生卻極易出錯，錯誤原因往往是對法一中的不會處理，不知道解到此步，應得結論，卻接著往下解，從而得出荒謬的結論. 【小結】數(shù)學表達式中的條件，往往是列方程或列不等式的依據(jù)，從而求出所含字母的取值范圍. 2. 的作用：表示非負數(shù)，往往與也表示非負數(shù)的絕對值、偶次冪同時出現(xiàn)于同一題目中. 例3 若與互為相反數(shù)，則= . 解：據(jù)題意得， +=, ∴ , ∴, ∵, ∴, . 例4 若，求的取值范圍？ 解：∵， ∴, 解得：. 2 二次根式概念的學習 式子（a0）叫做二次根式，這個概念是初中數(shù)學中的重要概念之一，要學好這個概念必須注意以下幾個問題: 1. a0是為二次根式的決定條件. 因為在實數(shù)范圍內,負數(shù)不能進行開 平方運算, 即當a<0時, 在實數(shù)范圍內無意義. 2. (a0)表示a的算術平方根, 它是一個非負數(shù), 即. 3. 二次根式(a)中a可以表示數(shù)、單項式、多項式乃至符合條件的一切代數(shù)式. 熟悉、掌握并正確、靈活應用這個概念是學習《二次根式》一章的重點. 下面看幾個例子. 例1. 下列各式哪些是二次根式? 哪些不是? 為什么? (1) (2) (3) (4) 分析: 二次根式的第一個特征是根號的根指數(shù)必須是2; 第二個特征是必須能保證被開方數(shù)不小于零. 解: (1) –19 < 0 , 不是二次根式 (2) 中根指數(shù)是3, 不是二次根式. (3) 不論x 取什么實數(shù),都有> 0 , 是二次根式. (4) 當 – 6a0 , 即a時, 是二次根式. 當 – 6a < 0, 即a>0 時, 不是二次根式. 例2. x是什么值時,下列各式在實數(shù)范圍內有意義? (1) (2) (3) 解: (1) 要使 在實數(shù)范圍內有意義,應有 - x 即x0. 又在實數(shù)范圍內,不論x取什么值恒有x. 故x 從而 x=0. 即當x=0時, 在實數(shù)范圍內有意義. (2) 要使 在實數(shù)范圍內有意義,應有 從而x=0. 即當x=0時, 在實數(shù)范圍內有意義. (3) 要使 在實數(shù)范圍內有意義,應有x. 在實數(shù)范圍內,不論x取什么值,恒有x, 不論x為何值, 在實數(shù)范圍內都有意義. 例3. 已知 + 求的值. 解: , 有意義, 且. 又 + =0. 例4. 計算. 解: 由原式知和均有意義, 又 當a=1時, 分母 1-x=0, 原式無意義, 故 x = -1. 原式= 練習: 1. 如果是二次根式,那么a、b應滿足( ) A. a>0, b>0. B. a,b同號. C. a>0, b0. D. 2. 式子中x的取值范圍是 . 3. 已知. 求的值. 參考答案： 1、 D 2、 3、 3 《二次根式》疑難解析 疑難分析 1．二次根式的定義:一般地,式子叫做二次根式,可以從以下幾個方面理解： （1）中的a可以是一個非負數(shù)，也可以是代數(shù)式，這個代數(shù)式的值必須是非負數(shù)，否則無意義，可以利用這一性質求被開方數(shù)的取值范圍； （2）式子既是二次根式，又表示非負數(shù)a的算術平方根，因此也是非負數(shù)，即. 2．二次根式的基本性質: ，該公式也可以倒過來,即,也就是說,可以利用它把任何一個非負數(shù)或式子寫成一個數(shù)或式子的平方的形式. 3．積的算術平方根，等于積中各因式的算術平方根的積. 4．商的算術平方根，等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根. 例題選講 例1 函數(shù)的自變量x的取值范圍是 . 解：變量x的取值范圍,須使(即被開方熟大于或者等于零)且(即分母不等于零),即且x≠-1. 所以應填且x≠-1. 評注：①考慮二次根式有意義；②考慮分式有意義，只有同時有意義，才能求出自變量的取值范圍. 例2 已知x＞2,則的結果是( ). (A)x-2 (B)x+2 (C)-x-2 (D)2-x 解： 選(A) ∵= , ∵x＞2,∴=x-2 故應選(A) 評注：解此類題,被開方數(shù)能化成完全平方式的.可根據(jù)進行化簡. 例3 已知a＞b,化簡二次根式的結果是( ) (A) (B) (C) (D) 解：選(D). 評注：理解并熟練運用,化簡二次根式時,要判斷或討論根號內字母的符號,然后進行化簡. 此題也可以根據(jù)二次根式化簡的法則,采取觀察、分析符號兩個步驟，運用排除法解答： （1）觀察被開方數(shù)：由于被開方數(shù)中只有平方因式可以從根號內移到根號外，根號內的符號并不發(fā)生變化，觀察原根式內的符號易知根號內不可能去掉負號，故可排除(B)、(C)； （2）分析根號外的正負性：由知ab＜0,而a＞b,故a＞0,觀察原來根號外為省略的“+”號，應保持正數(shù)性，故根號外必為a，綜合可得. 例4 若x、y為實數(shù)，且，求. 解: 由x的取值范圍可知: ∴x=2，y=. 評注：本題實際是通過題目中的隱含條件：，，，即x的取值范圍，求出x和y的值. 例5 把中根號的(a-1)移到根號內得( ) (A) (B) (C) (D) 解: 根據(jù)二次根式的定義,被開方數(shù)≥0,即a-1＞0 ∵=. 故選(A) 評注：根號外面的因式移到根號內,運用根式化簡的逆向思維,即,所以應選判斷(a-1)的正負,若為正,則把這個數(shù)寫成它的平方移到根號內. 3 二次根式的性質是什么？ 難易度：★★★ 關鍵詞：二次根式 答案： 二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，否則二次根式無意義．當二次根式在分母上時還要考慮分母不等于零，此時被開方數(shù)大于0． 【舉一反三】 典例、下列式子中，x的取值范圍為x≠3的是（　?。〢、x-3 B、 ?C、 D、 思路導引：本題主要考查了整式、分式和二次根式的定義．要考慮分式的分母不能為0；二次根式的被開方數(shù)非負分別根據(jù)整式、分式和二次根式的定義，求x的取值范圍判斷即可．下列選項的x取值范圍分別是A、任何實數(shù)；B、∵x-3≠0，∴x≠3；C、∵x+3≠0，∴x≠-3；D、∵x-3≥0，∴x≥3．故選B． 標準答案：B 1 二次根式的概念學習要點 二次根式是一種特殊的代數(shù)式，它在實際生活以及其它科學技術中都有著廣泛的應用，為了幫助同學們學好這一知識點，現(xiàn)提醒同學們學習時應注意領會以下幾個要點： 一、正確理解二次根式的定義 同學們已經(jīng)接觸到的像、、…、（a≥0）等式子，這些式子是什么樣的一個式子呢？我們把式子（a≥0）叫做二次根式.由此，對于（a≥0）的討論應注意下面的問題： （1）式子只有在條件a≥0時才叫二次根式.而式子就不是二次根式，但式子卻又是二次根式. （2）（a≥0）實際上就是非負數(shù)a的算術平方根. （3）是二次根式，雖然＝3，但3不是二次根式.因此二次根式指的是某種式子的“外部形態(tài)”.如，當a為實數(shù)時， 、、、都是二次根式，而、都不一定是二次根式.這是因為a是實數(shù)時，并不能保證a+10、a2－1是非負數(shù)，即a+10、a2－1可以是負數(shù)，如當a＜－10時，a+10＜0；又如當0＜a＜1時，a2－1＜0，因此，、不一定是二次根式. 二、能運用二次根式的定義確定有關二次根式的字母取值范圍 由于式子（a≥0）叫做二次根式，它實際上是一個非負的實數(shù)的算術平方根的表達式.所以式子中的被開方數(shù)或被開方式必須大于或等于零，即式子是一個非負數(shù). 如，當x≥3時，式子在實數(shù)范圍內有意義.這是因為由二次根式的定義可知被開方式x－3≥0，即x≥3，就是說當x≥3時，式子在實數(shù)范圍內有意義.這類問題實質上是當x是什么數(shù)時，x－3是非負數(shù)，式子有意義. 三、能運用二次根式的定義解題 我們知道，二次根式的結果是一個非負數(shù)，在初中階段，常見的非負數(shù)有三個：a2≥0，≥0，≥0.利用“幾個非負數(shù)的和為零，則這幾個非負數(shù)都為零”的性質解題，在各類考試中屢見不鮮. 例1　已知y＝++6，則＝ . 簡析　根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是一個非負數(shù)，可得3－x≥0且x－3≥0，即x≤3且x≥3，所以x只能等于3，所以y＝6.故＝＝2. 例2　已知+y2+4y+4+＝0，求的值. 簡析　本題可變形為+(y+2)2+＝0，因為是三個非負數(shù)的和為0，所以x－3＝0，y+2＝0，z－1＝0，即x＝3，y＝－2，z＝1，故＝＝3. 下面兩道題目供同學們自己練習： 1、已知實數(shù)a滿足+＝a，求a－20072的值. 2、設等式+＝－在實數(shù)范圍內成立，其中a、x、y是兩兩不同的實數(shù)，求的值. 3、若實數(shù)x、y、a滿足+＝+，試問長度分別為x、y、a的三條線段能否組成一個三角形？如果能，請求出該三角形的面積；如果不能，請說明理由. 　　 參考答案 1，由a－2008≥0，得a≥2008.故已知式可化為a－2007+＝a，所以＝2007，兩邊平方并整理，得a－20072＝2008. 2，由a(x－a)≥0及x－a≥0得a≥0；由a(y－a)≥0及a－y≥0得a≤0，故a＝0，從而已知式化為＝，x＝－y≠0，故原式＝＝. 3，由x+y－8≥0，8－x－y≥0，得x+y≥8，x+y≤8.所以8≤x+y≤8，x+y＝8.這時，已知等式即為+＝0.因為≥0，≥0， 所以＝0，＝0.從而3x－y－a＝0，x－2y+a+3＝0.這兩個等式相加，得4x－3y＝－3.聯(lián)立x+y＝8和4x－3y＝－3，得解得這時a＝3x－y＝4.因為x、y、a中的任意兩者的值大小第三者的值，所以長度分別為x、y、a的三條線段能組成一個三角形.因為x2+a2＝y(tǒng)2，所以長度分別為x、y、a的三條線段能組成一個直角三角形，且兩條直角邊的長度分別為3、4.所以該三角形的面積值＝3×4÷2＝6. 3 ?什么是二次根式? 難易度：★★★ 關鍵詞：二次根式 答案： “一般形如（a≥0）的代數(shù)式叫做二次根式。當a≥0時，表示a的算術平方根。 【舉一反三】 典例：已知n是一個正整數(shù)，是整數(shù)，則n的最小值是（　?。? A、3?? ?B、5 ???C、15?? ?D、25 思路導引：解答此題的關鍵是能夠正確的對進行開方化簡．先將中能開方的因數(shù)開方，然后再判斷n的最小正整數(shù)值． ∵=，若是整數(shù)，則也是整數(shù)；∴n的最小正整數(shù)值是15；故選C． 標準答案：C 1 什么是同類二次根式？ 難易度：★★★ 關鍵詞：同類二次根式 答案： 化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同．這樣的二次根式叫做同類二次根式． 【舉一反三】 典例：若a、b都是實數(shù)，且 ，求ab的值 思路導引：因為，根據(jù)題意，左右對照可知，a=3，b=2，故可求ab的值．∵∴∴a=3，b=2，∴ab=9． 標準答案：ab=9． 1 什么是最簡二次根式？最簡二次根式必須滿足什么條件？ 難易度：★★★ 關鍵詞：最簡二次根式、條件 答案： 滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式。 （1）被開方數(shù)不含分母； （2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式． 【舉一反三】 典例：下列根式中不是最簡二次根式的是（　　）A、 ?B、 C D、 思路導引：判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式中的兩個條件（被開方數(shù)不含分母，也不含能開的盡方的因數(shù)或因式）．是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．因為= =，因此不是最簡二次根式．故選B． 標準答案：B 1 例析融入幾何圖形中的二次根式 在近幾年的各類考試中，融入幾何圖形中的二次根式問題倍受命題者的青睞與關注，這類題往往背景鮮活，構思新穎，形式多變，給人耳目一新的感覺，它從注重考察同學們對二次根式的性質及計算發(fā)展到注重二次根式的蘊釀、構建、空間想象能力與動手操作能力的實踐操作題，到直接運用二次根式的說理計算題，發(fā)展到基于二次根式應用進行探究的綜合題，考查的著眼點日趨靈活，能力立意的意圖日漸明顯. 這對于識別和理解幾何圖形的能力、空間思維能力和綜合解決問題的能力都提出了比以往更高的要求.現(xiàn)結合幾例二次根式的構建與應用進行剖析與說明，希望能給大家?guī)硪欢ǖ膯⑹九c幫助. 一、融入網(wǎng)格中的二次根式 圖1 例1：如圖1，方格紙中小正方形的邊長為1，△ABC的三個頂點都在小正方形的格點上，小明在觀察探究時發(fā)現(xiàn)： ①△ABC的形狀是等腰三角形； ②△ABC的周長是； ③△ABC的面積是5； ④點C到AB邊的距離是； ⑤直線EF是線段BC的垂直平分線； 你認為小明觀察的結論正確的序號有 . 思路點撥與解析：結合圖形，借助勾股定理可計算出△ABC的三邊長分別為 ，，，故①正確，②錯誤，△ABC的面積由間接計算得到; =4，故③錯誤，利用三角形的等積法：，即，解得h=,故④正確，根據(jù)垂直平分線的定義并結合圖象可知EF是線段BC的垂直平分線；故選①④⑤. 點評：在近幾年的各類考試中，選擇填空題和網(wǎng)格背景題深受命題者的關注與青睞.當網(wǎng)格作為背景時，相關格點之間便容易形成特殊的圖形如正方形，直角三角形，勾股定理等知識，具有較強的直觀性、操作性，較好地實現(xiàn)了數(shù)學基本知識、空間觀念與多種數(shù)學思維能力的綜合與運用，尤其是勾股定理、數(shù)形結合等思想方法的運用達到了極點,具有極大的學習創(chuàng)造性和挑戰(zhàn)性. 圖2 二、融入立體圖形中的二次根式 例2：如圖2，已知正方體紙盒的表面積為12cm2， （1） 求正方體的棱長； （2） 剪去蓋子后，插入一根長為5cm的細木棒，則細木棒露在外面的最短長度是多少？ （3） 一只螞蟻在紙盒的表面由A爬到B，求螞蟻行走的最短路線. 思路點撥與解析：(1)正方體有六個表面，每個面的面積為2 cm2，則棱長為cm；（2）如圖3，插入細木棒后，看不見的部分恰好是正方體的對角線CE，cm，cm，則露出外面部分為（）cm; （3）如圖3，要計算立體圖形上兩點之間距離最短問題，需要轉化為平面圖形解決，將EB所在面繞DE順時針旋轉90，使所在平面與與AD所在平面恰好為同一平面，即計算之間的距離：； 圖3 點評：有關正方體類的試題在近幾年頻繁登場亮相，不斷受到命題者的青睞與關注，而同學們時常對此束手無策，無能為力，其實，只要我們把握正方體的本質特征及轉化思想，建立一定的空間觀念并適當動手操作，將其側面展開，準確把握立體圖形與平面圖形之間的內在關系，熟練地將實際問題轉化為數(shù)學問題，便能做到胸有成竹，心中有法. 2 古代數(shù)學的高峰 　　到了唐代，隨著社會經(jīng)濟的高度發(fā)達，對解決實際計算問題的算術也提出了更高的要求，促進了算術的發(fā)展，為了加快計算速度，出現(xiàn)了不用紙和筆的珠算，算盤在宋代以后逐漸推廣應用，成為當時世界上最先進的計算工具，沿用至今． 　　宋元兩代，古代中國數(shù)學達到了一個新的水平．涌現(xiàn)出了以秦九韶、李冶、楊輝和朱世杰等人為代表的一批數(shù)學大家和數(shù)量可觀的數(shù)學著作，這些成果在當時處于世界領先的水平． 秦九韶與《數(shù)學九章》 　　秦九韶（1202－1261年），南宋末年生于四川安岳，曾在湖北、江蘇等地做官，雖仕途坎坷，在數(shù)學研究上卻是成就卓著．其代表著作是《數(shù)學九章》，秦九韶在這本書中提出了“大衍求一術”和“正負開方術”（即以增乘開方法求高次方程正根的方法），是非凡的數(shù)學創(chuàng)造． 　　19世紀20年代初，英國人霍納和意大利數(shù)學界為“霍納方法”——一種解任意高次方程的巧妙方法的發(fā)明權而爭得不可開交，直到他們了解到有個叫秦九韶的中國人，早在570多年前就發(fā)現(xiàn)了這種方法時，這場爭論才顯得毫無意義了． 　　秦九韶還有許多數(shù)學創(chuàng)造．他是世界上最早提出“十進小數(shù)”概念和表示法的人，這一成果比荷蘭人斯蒂文要早三個世紀．他還獨立地推導出已知三邊求三角形面積的公式，與古希臘有名的海倫公式暗合．秦九韶是中世紀世界上最偉大的數(shù)學家之一，而《數(shù)書九章》則標志著中國古代數(shù)學的一個高峰． 李冶與“天元術” 　　李冶（1192－1279年），河北正定人，是生活在金元之際的數(shù)學家，一生淡泊名利，長期過著隱居生活，潛心著述講學，1248年他完成了《測圓海鏡》，主要講述根據(jù)給定直角三角形的邊長求內切圓和旁切圓的直徑的問題，他在此書中提出了“天元術”．所謂天元術就是根據(jù)問題的已知條件列出方程和解方程的方法．“天元”相當于未知數(shù)X．天元術的出現(xiàn)標志著我國傳統(tǒng)數(shù)字中符號代數(shù)學的誕生．傳說有個叫“洞淵老人”的世外高人教給他九個公式，都是關于直角三角形和圓的關系的．回到住處后，李冶反復地琢磨這些公式，覺得還可以大大發(fā)揮，于是他借助“天元術”這個剛剛發(fā)現(xiàn)的數(shù)學工具，推演出了五百多個公式，后來都寫進了《測圓海鏡》這部不朽的數(shù)學著作中．1259年李冶又寫成《益古演段》，力圖向讀者通俗地解釋天元術． 　　蒙古滅宋之后，由于一位故友的大力舉薦，李冶推脫不過，出山為官，被任命為翰林學士；但他就職還不到一年就以年老多病堅決告退了．關于此事，他曾在筆記中寫道：“翰林學士要看皇帝的眼色寫書，史館的工作人員也要受宰相監(jiān)督，他們都不能根據(jù)自己的見解去評判歷史．有人以為進翰林院和史館是件光宗耀祖的事，我想有見地的人是不會這樣看了.” 　　李冶晚年一直在封龍山下過著隱居生活，雖然沒有高頭大馬、山珍海味，但卻淡泊充實、悠然自得，許多人慕名前來向他學習“天元術”．1279年，李冶逝世，享年87歲，后來，李冶被人們尊為宋元數(shù)學四大家之一，他刻苦治學的精神和鄙薄名利的品德一直為后人所稱頌． 楊輝與《楊輝算法》 　　楊輝是南宋末年著名的數(shù)學家，留下了十分豐富的數(shù)學著作，其中有《詳解九章算法》《日用算法》《乘除通變本末》《田畝比類乘除捷法》《續(xù)古摘奇算法》，其中后三種統(tǒng)稱《楊輝算法》，他的主要貢獻在于改進計算技術，提高乘除法的運算速度．他主張以加減代替乘除，以歸除代商除，并創(chuàng)造了一套乘除演算的便捷方法．楊輝發(fā)明了用“垛積術”為高階等差級數(shù)求和的方法，他還首創(chuàng)了“縱橫圖”研究． “縱橫圖”又叫“九宮圖”，記載于《大戴禮記》（西漢學者戴德編纂的一部記載古代各種禮儀制度的文集），南北朝時代北周的數(shù)學家甄鸞在《數(shù)術記遺》一書對這種圖做過解釋：“‘九宮者，二、四為肩，六、八為足，左三右七，戴九履一，五居中央．’”但沒有進一步的研究．“2、9、4；7、5、3；6、1、8”這九個數(shù)字依次寫成縱橫三行，每一縱行、每一橫行和兩條對角線上的三個數(shù)字的和都等于15．據(jù)說楊輝在臺州府任地方官時，有一天聽見學童邊走邊念“二、九、四；七、五、三；六、一、八”這些數(shù)字而受到了啟發(fā)．楊輝發(fā)現(xiàn)了這些數(shù)字排列的規(guī)律．但對于這個九宮圖是如何造出來的也百思不得其解．所以九宮圖一直被視為神秘的東西，實際上這種圖還可以做出很多，有興趣的讀者不妨試一試． 朱世杰與《四元寶鑒》 　　朱世杰，河北人，元代數(shù)學家，其生平不詳．在宋元對峙的時候，由于南北交通阻絕，學術交流十分困難．元朝統(tǒng)一中國之后，朱世杰周游各地，以教授數(shù)學為生，同時也注意學習當?shù)氐臄?shù)學知識．朱世杰在長期的游歷和講學生活中，對南北兩派的數(shù)學成果兼收并蓄，成為當時最有名的數(shù)學家．楊輝的著作在民間也廣為流傳．他所寫的《算學啟蒙》和《四元玉鑒》分別于公元13世紀末和14世紀初年在揚州刊?。? 　　《算學啟蒙》從四則運算開始一直講到高次開方、天元術等內容，由淺入深，是一部很好的數(shù)學啟蒙教材．這本書出版以后，不但在國內受到歡迎，還傳到朝鮮、日本等國．17世紀中后期，這本書的國內刻本已經(jīng)失傳了，幸虧清代學者羅士琳在北京的舊書店中找到了這本書的一個朝鮮刻本，才使它流傳下來，這可以說是中外文化交流史上的一段佳話． 　　朱世杰更重要的著作是《四元寶鑒》，全書共分二十四卷，二百八十八門，書中特別討論了很多高深的問題，如高次方程組、高階等差級數(shù)的求和等，給出的解決方法如三次內插法等也十分精彩．歐洲，到了十七世紀，才由英國數(shù)學家格里高利和牛頓首先研究了內插方法，他們的工作要比朱世杰的《四元寶鑒》晚得多．正因為如此，朱世杰和他的著作《四元寶鑒》享有巨大的國際聲譽．近代日、法、英、美、比等國都有學者向本國介紹《四元寶鑒》．美國已故著名科學史家薩頓說朱世杰“是中華民族的，他所生活的時代的，同時也是貫穿古今的一位最杰出的數(shù)學家……《四元寶鑒》是中國數(shù)學著作中最重要的，同時也是中世紀最杰出的數(shù)學著作之一．”這個評價是恰如其分的．宋元時期中國的數(shù)學成就舉世矚目，但是自明代以后，中國傳統(tǒng)數(shù)學只是在計算技術的普及與數(shù)學應用的廣泛性上有所進步，在符號化和形式化的方面進展緩慢，整體水平開始落后于歐洲． 阿基米德 　　阿基米德是整個歷史上最偉大的數(shù)學家之一，后人對阿基米德給以極高的評價，常把他和牛頓、高斯并列為有史以來三個貢獻最大的數(shù)學家．他大約在公元前287年出身于西西里島上的希臘城市敘拉古，早年曾在當時希臘的學術中心亞歷山大跟隨歐幾里得的門徒學習，并在那里結識許多同行好友，如科農(nóng)（Conon of Samos）、多西修斯（Dositheus）、埃拉托塞尼等等．回到敘拉古以后仍然和他們保持密切的聯(lián)系，因此阿基米德也算是亞歷山大里亞學派的成員，他的許多學術成果就是通過和亞歷山大的學者通信往來保存下來的． 　　公元前212年羅馬軍隊攻入敘拉古，并闖入阿基米德的住宅，看見一位老人在地上埋頭作幾何圖形，士兵將圖踩壞．阿基米德怒斥士兵：“不要弄壞我的圖！”士兵拔出短劍，刺死了這位曠世絕倫的大科學家，阿基米德竟死在愚蠢無知的羅馬士兵手里．他的生平?jīng)]有詳細記載，但關于他的許多故事卻廣為流傳．據(jù)說他確立了力學的杠桿定理之后，曾發(fā)出豪言壯語：“給我一個立足點，我就可以移動這個地球！”，被譽為“力學之父”. 　　另一個著名的故事是：敘拉古的亥厄洛王叫金匠造一頂純金的皇冠，因懷疑里面摻有銀子，便請阿基米德鑒定一下．當他進入浴盆洗澡時，水漫溢到盆外，于是悟得不同質料的物體，雖然重量相同，但因體積不同，排去的水也必不相等．根據(jù)這一道理，就可以判斷皇冠是否摻假．阿基米德高興得跳起來，赤身奔回家中，口中大呼：“尤里卡！尤里卡！”（希臘語enrhka，意思是“我找到了”）他將這一流體靜力學的基本原理，即物體在液體中的減輕的重量，等于排去液體的重量，總結在他的名著《論浮體》（On Floating Bodies）中，后來以“阿基米德原理”著稱于世． 　　《論浮體》更是古代第一部流體靜力學著作，是第一次將數(shù)學用于流體靜力學，阿基米德亦因此被尊為流體靜力學的創(chuàng)始人．阿基米德的著作是數(shù)學闡述的典范，寫得完整、簡練，顯示出巨大的創(chuàng)造性、計算技能和證明的嚴謹性．他對數(shù)學的最大貢獻，也許是某些積分學方法的早期萌芽．現(xiàn)存的阿基米德著作中，有三本是講平面幾何的，它們是：《圓的量度》（Measurement of a Circle）計算圓內接與外切96邊形的周長，求得圓周率π：＜π＜．《拋物線的求積》（Quadrature of the Parabola），確定拋物線與任一弦所圍弓形的面積．《論螺線》（On Spirals）利用一組內接和一組外接的扇形，確定“阿基米德螺線”第一圈與始線所包圍的面積． 　　現(xiàn)存的阿基米德著作中，有兩部是講立體幾何的，即《論球和圓柱》（On the Sphere and Cylinder）及《論劈錐曲面體和球體》（On Conoids and Spheroids）前者包括了許多重大的成就．他從幾個定義和公理出發(fā)，推出關于球與圓柱面積體積等五十多個命題．用幾何方法解決相當于三次方程x2（a-x）＝b2c的問題．后者研究幾種圓錐曲線的旋轉體，以及這些立體被平面截取部份的體積．在引理中給出公式12＋22＋32＋…＋n2＝n（n＋1）（2n＋1）．《數(shù)沙術》（The Sand Reckoner）是現(xiàn)存論術算術的隨筆，設計一種可以表示任何大數(shù)目的方法，糾正有的人認為沙子是不可數(shù)的，即使可數(shù)也無法用算術符號表示的錯誤看法．尚存關于應用數(shù)學的有《論平板的平衡》（On plane equilibrium）和《論浮體》.他還設計了一個“群牛問題”，導致二次不定方程x2－4729494y2＝1．此外，他還發(fā)現(xiàn)13種半正多面體，用邊表示三角形面積的“海倫公式”和七邊形的作圖法．現(xiàn)已公認海倫公式是阿基米德發(fā)現(xiàn)的，但這個名稱已成為習慣用法． 　　在數(shù)學史方面，現(xiàn)代最驚人的發(fā)現(xiàn)之一是丹麥語言學家海伯格（Heiberg）于1906年在土耳其君士坦丁堡發(fā)現(xiàn)的阿基米德的長期失傳的著作，后以《阿基米德方法》（Method）為名刊行于世． 　　《阿基米德方法》的中心思想是：要計算一個未知量，先將它分成許許多多的微小量，再用另一組微小量來和它比較（通常是建立一個杠桿，找一個合適的支點，使前后兩組微小量取得平衡），而后者的總體該是較易計算的．于是通過比較，即可求出未知量來．這實質上就是積分法的基本思想．阿基米德的睿智，業(yè)已伸展到17世紀中葉的無窮小分析領域里去了．阿基米德運用這種富有啟發(fā)性的方法，獲得大量的輝煌成果，為后人開辟了一個廣闊的領域．歷史上有的數(shù)學家勇于開辟新的園地，而缺乏縝密的推理；有的數(shù)學家偏重于邏輯證明，而對新領域的開拓卻徘徊不前．阿基米德則兼有二者之長，他常常通過實踐直觀地洞察到事物的本質，然后運用邏輯方法使經(jīng)驗上升為理論（如浮力問題），再用理論去指導實際工作（如發(fā)明機械）．沒有一位古代的科學家，像阿基米德那樣將熟練的計算技巧和嚴格證明融為一體，將抽象的理論和工程技術的具體應用緊密結合起來． 4