八年級數(shù)學(xué)下冊11.2反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)素材（打包20套）新蘇科版.zip,年級,數(shù)學(xué),下冊,11.2,反比例,函數(shù),圖象,性質(zhì),素材,打包,20,新蘇科版 “K”的絕對“權(quán)威性” 在反比例函數(shù)中，別小看反比例函數(shù)y=(k≠0) 的系數(shù)k，它可是絕對的權(quán)威，反比例函數(shù)的性質(zhì)、圖像都是由它說了算. 一、對0的制約 因為在反比例函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=(k≠0)中，k≠0，所以在確定k的值時，應(yīng)注意考慮k≠0. 例1若函數(shù)y=(m－2)xm2－5是反比例函數(shù)，則m的值為（ ） A.±2 B.2 C.－2 D.小于2的實數(shù) 解析：本題中m－2就相當(dāng)于函數(shù)關(guān)系式中的k，因為m－2≠0，m2－5=－1，所以m=－2.故本題應(yīng)選C. 二、決定雙曲線所在的象限 反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖像是雙曲線，當(dāng)k＞0，反比例函數(shù)分部在第一、三象限；當(dāng)k＜0，反比例函數(shù)分部在第二、四象限. 例2如果點A（x1，y1）和點B（x2，y2）是直線y=kx－b上的兩點，且當(dāng)x1＜x2時，y1＜y2，那么函數(shù)y=的圖像大致是（ ） y x O y x O y x O y x O A． B． C． D． 解析：本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)以及反比例函數(shù)的圖形和性質(zhì).因為當(dāng)x1＜x2時，y1＜y2，所以一次函數(shù)y隨x的增大而增大，所以k＞0.根據(jù)反比例函數(shù)的圖形和性質(zhì)，當(dāng)k＞0時，反比例函數(shù)y=的圖像經(jīng)過一、三象限，故本題應(yīng)選B. 三、決定反比例函數(shù)的增減性 反比例函數(shù)y=(k≠0)隨自變量x變化的增減性由k的大小來決定：當(dāng)k＞0時，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當(dāng)k＜0時，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大. 例3在函數(shù)y=的圖像上有三個點的坐標(biāo)分別為（1，y1）、（，y2）、（－2，），函數(shù)值y1、y2、y3的大小關(guān)系是（　?。? A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2 解析：數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的基本方法，作出雙曲線的大致圖像，易知本題應(yīng)選D. 四、決定橫縱坐標(biāo)的乘積 反比例函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=可變形為xy=k.因此，盡管y隨自變量x不斷變化，但兩者的乘積不變，始終等于k. 例4若點(2，6)是反比例函數(shù)y=圖像上的一點，則此函數(shù)圖像一定經(jīng)過（ ） A．(3，－4) B．(3， 4) C．(－3， 4) D．(2，－6) 解析：本題可先求出k的值，再判斷四個選項中只有選項B符合要求點，所以本題應(yīng)選B. 五、決定圖形的面積 過雙曲線y=(k≠0)上任一點分別作兩坐標(biāo)軸的垂線，它們與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為. 例5已知點P在函數(shù)y= (x＞0)的圖像上，PA⊥x軸、PB⊥y軸，垂足分別為A、B，則矩形OAPB的面積為__________． 解析：根據(jù)圖像的性質(zhì)可得，矩形OAPB的面積為8. 2 你認為作反比例函數(shù)圖像時應(yīng)注意哪些問題 與同伴進行交流 1 列表時 選取的自變量的值既要易于計算又要便于描點 盡量多取一些數(shù)值 取互為相反數(shù)的一對一對的數(shù) 多描一些點 這樣既可以方便連線 又可以使圖象精確 2 描點時要嚴格按照表中所列的對應(yīng)值描點 絕對不能把點的位置描錯 3 一定要按自變量從小到大的順序依次畫線 連線時必須用光滑的曲線連接各點 不能用折線連接 4 圖像是延伸的 注意不要畫成有明確端點 5 曲線的發(fā)展趨勢只能靠近坐標(biāo)軸 但不能和坐標(biāo)軸相交 利用反比例函數(shù)的圖像解題 對于一些函數(shù)題，直接求解，困難繁瑣，如果畫出函數(shù)的大致圖像，選取符合條件的某些點，數(shù)形結(jié)合，研究分析，那么不但容易求解，而且直觀簡捷，現(xiàn)舉幾例說明如下： 0 x y 例1．在函數(shù)（k＞0）的圖像上有三點A（，）、A（，）、 A（，），已知＜＜0＜，則下列各式中， 正確的是（ ） A．＜0＜ B．＜0＜ C．＜＜ D．＜＜ 析解：由題意畫出（k＞0）的草圖，再根據(jù)＜＜0＜的條件，找出、、，顯然＜＜，故應(yīng)選C． 例2．已知反比例函數(shù)（k＜0）圖像上有兩點A（，）、B（，）且＜，則-的值是（ ） A．正數(shù)　 B．負數(shù) C．非負數(shù) D．不能確定 析解：分三種情形作圖求解 0 x y 0 x y 0 x y （1）若＜＜0如圖1，有＜，-＜0，即-是負數(shù)； （2）若＜0＜如圖1，有＞，-＞0，即-是正數(shù)； （3）若0＜＜如圖1，有＜，-＜0，即-是負數(shù)． 所以，—的值不確定，應(yīng)選D． 例3.如圖是三個反比例函數(shù)，，在x軸上方的圖像，由此觀察得到，，的大小關(guān)系為（ ） y x Ｏ A．＞＞ B．＞＞ C．＞＞ D．＞＞ 析解：由反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)可估算＜0，＞0，＞0，在x軸上任取一值且＞0，為定值，則有，且＜，如圖，∴＞，故選B． 2 反比例函數(shù)y＝（k≠0）比例系數(shù)k與圖像的關(guān)系 性質(zhì)1：設(shè)y＝（k1＞0），y＝（k2＞0），y＝（k3＞0）的圖像如 圖1所示，則有k1＜k2＜k3，即當(dāng)k＞0時，反比例函數(shù)的圖像越靠近y軸，k的值越小，越遠離y軸，k的值越大． 性質(zhì)2：設(shè)y＝（k1＜0），y＝（k2＜0），y＝（k3＜0）的圖像如 圖2所示，則有k1＞k2＞k3，但|k1|＜|k2|＜|k3|，即當(dāng)k＜0時，反比例函數(shù)的圖像越靠近y軸，k的值越大，越遠離y軸，k的值越?。? 1 反比例函數(shù)中k的意義 反比例函數(shù)(k≠0)的比例系數(shù)k的意義，除同學(xué)們熟悉的“當(dāng)k>0時，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內(nèi)y值隨x的增大而減??；當(dāng)k<0時，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內(nèi)y值隨x的增大而增大”外，還有一個非常重要的意義，即過反比例函數(shù)(k≠0)的圖像上任意一點作x軸、y軸的垂線，與兩坐標(biāo)軸所圍成矩形的面積都等于；過反比例函數(shù)(k≠0)圖像上任意一點作x軸(或y軸)的垂線，且連結(jié)坐標(biāo)原點，與坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積都等于. 探究1：若P(x，y)為反比例函數(shù)(k≠0)圖像上的任意一點如圖1所示，過P作PM⊥x軸于M，作PN⊥y軸于N，求矩形PMON的面積. P y x O M N 圖1 分析：S矩形PMON= ∵, ∴ xy=k, ∴ S =. 探究2：若Q(x，y)為反比例函數(shù)(k≠0)圖像上的任意一點如圖2所示，過Q作QA⊥x軸于A(或作QB⊥y軸于B)，連結(jié)QO，則所得三角形的面積為：S△QOA=（或S△QOB=）.（本題由同學(xué)們自己試著說明理由） O B y x A Q 圖2 說明：當(dāng)k>0時，所圍成的矩形的面積為k，三角形的面積為； 當(dāng)k<0時，所圍成的矩形的面積為-k，三角形的面積為.以上結(jié)論與點在反比例函數(shù)圖像上的位置無關(guān). 應(yīng)用舉例： 例1 如圖3，在反比例函數(shù)（x＜0）的圖像上任取一點，過點分別作軸、軸的垂線，垂足分別為M、N，那么四邊形的面積為 　　 ． P y M x 0 N 圖3 解：S四邊形PMON=. M y N x O 圖4 例2 反比例函數(shù)的圖像如圖4所示，點M是該函數(shù)圖像上一點，MN⊥x軸，垂足為N.如果S△MON=2，求這個反比例函數(shù)的解析式． 解：∵S△MON==2, ∴=4, ∴k=±4． 又∵雙曲線在第二、第四象限內(nèi)，∴k＜0， ∴k=-4， ∴所求反比例函數(shù)的解析式為． 2 反比例函數(shù)的關(guān)系式 反比例函數(shù)的關(guān)系式中只含有一個待定系數(shù)，所以求關(guān)系式很方便，只需一個條件就能求出關(guān)系式，從而成為學(xué)習(xí)最基本的要求，也成為中考的必考點，本文對反比例函數(shù)關(guān)系式的求法歸類解析． 一、利用點的坐標(biāo)求關(guān)系式 例1、反比例函數(shù)的圖像過點，試求關(guān)系式． 分析：本題已知點的坐標(biāo)求函數(shù)的關(guān)系式，可設(shè)反比例函數(shù)的關(guān)系式為，把代入求出k，從而求出反比例函數(shù)的關(guān)系式． 解：設(shè)反比例函數(shù)的關(guān)系式為（k≠0）把代入得 ∴k= ∴ 點評：待定系數(shù)法是求函數(shù)關(guān)系式最一般的方法，一般方法是先設(shè)出關(guān)系式，然后將條件代入關(guān)系式，列出方程（或方程組），解出待定系數(shù)，最后再代入所設(shè)關(guān)系式，從而求出關(guān)系式。反比例函數(shù)的關(guān)系式比較簡單，只需一個已知點的坐標(biāo)即可解出． 例2、如圖，正方形的邊長為2，反比例函數(shù)過點，求反比例函數(shù)的關(guān)系式． x y C O A B 圖2 分析：由于正方形的邊長為2，可以得出A的點坐標(biāo)，從面可用上題的方法求出反比例函數(shù)的關(guān)系式． 解：∵正方形的邊長為2， ∴點A的坐標(biāo)（－2，2）， 把點A的坐標(biāo)代入，得k=－4， ∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為： 點評：通過圖形求坐標(biāo)時，一定要寫對坐標(biāo)的符號，這是最容易出錯的地方。 二、利用圖形面積求關(guān)系式 例3、如圖3，直線OA與反比例函數(shù)的圖像在第一象限交于A點，AB⊥x軸于點B，△OAB的面積為2，求反比例函數(shù)的關(guān)系式 . 圖3 分析：本題由于△OAB的面積為2，所以可以設(shè)A點的坐標(biāo)，利用面積公式求出反比例函數(shù)關(guān)系式中的待定系數(shù)k，從而求出反比例函數(shù)的關(guān)系式。 解：設(shè)反比例函數(shù)的關(guān)系式為（k≠0） 所以k=x·y 設(shè)A點的坐標(biāo)為（x，y） ∵△OAB的面積為2 ∴x·y=2 ∴x·y=4 ∴k=4 ∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為： 點評：一般地，像例題中從反比例函數(shù)圖像一點作坐標(biāo)軸的垂線段，所圍矩形的面積為|k|，所圍三角形面積為|k|，要注意若圖像在二四象限內(nèi)，k為負． 三、實際問題中反比例函數(shù)的關(guān)系式 例4、在一個可以改變體積的密閉容器內(nèi)裝有一定質(zhì)量的二氧化碳，當(dāng)改變?nèi)萜鞯捏w積時，氣體的密度也會隨之改變，密度（單位：kg/m3）是體積（單位：m3）的反比例函數(shù)，它的圖像如圖3所示，當(dāng)3時，求氣體的密度． 分析：要求3時氣體的密度，必須求函數(shù)的關(guān)系式由圖像知本題的函數(shù)是反比例函數(shù)，從而可設(shè)，另外從圖像中還可找出一對、的對應(yīng)值，代入可求得關(guān)系式． 解：設(shè) 把v =5，ρ=2代入得 m=10 從而 把v3代入得 ρ=1kg/m3 答：當(dāng)3時，氣體的密度為1kg/m3 點評：實際問題中的反比例函數(shù)的待定系數(shù)一般為正，若有圖像，我們可以根據(jù)其中一對對應(yīng)點的坐標(biāo)求出；若無圖像，我們可以根據(jù)量之間關(guān)系求出關(guān)系式． 3 反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)新題型 反比例函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，也是歷年各地中考的熱點問題之一。近年來，命題者力舉創(chuàng)新，設(shè)計出許多清新優(yōu)美、題型新課程理念的創(chuàng)新型試題，現(xiàn)舉例如下。 一、結(jié)論開放型 例1、請你寫出一個函數(shù)關(guān)系式，使它滿足下列條件： （1）在第二、第四象限的每一個象限內(nèi)隨的增大而增大； （2）函數(shù)圖像在第二、第四象限 （3）由圖像上一點向軸、軸作垂線，所得矩形的面積為3. 這個函數(shù)的解析式為______________________ 分析：這是一個結(jié)論開放型問題，由三個性質(zhì)特別是第三個性質(zhì)知這應(yīng)是反比例函數(shù)特有的性質(zhì)，在函數(shù)圖像上任取一點（、），則，又因為函數(shù)圖像在在第二、第四象限，所以 解： 點評：由于開放型試題答案的多樣性和多層性，因此對訓(xùn)練同學(xué)們?nèi)坏撵`活性和廣闊性方面有較高的價值。本題著重考查學(xué)生的逆向思維能力和發(fā)散思維能力。 二、判斷說理型 例2、如圖，的頂點A（，）是一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像在第一象限的交點，且 （1）根據(jù)這些條件你能求出反比例函數(shù)的關(guān)系式嗎？如果能，請你求出來；如果不能，請你說明理由； （2）能求出一次函數(shù)的關(guān)系式嗎？ 分析：（1）根據(jù)A在的圖像上，且，可求得，所以，從而確定反比例函數(shù)關(guān)系式 （2）要確定的關(guān)系式，需要知道A點的坐標(biāo)，但點A無論在反比例函數(shù)圖像的哪個位置，均能保證，所以A點不確定，即一次函數(shù)關(guān)系式不確定。 解：（1）∵A在的圖像上，且，∴，∴，∵，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為 （2）不能求出一次函數(shù)的關(guān)系式，A點的坐標(biāo)不能唯一確定。 點評：這是一道判斷說理型開放題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)關(guān)系式應(yīng)是我們掌握的重點，同時求反比例函數(shù)關(guān)系式的方法有多種，要靈活運用。 三、規(guī)律探索型 例3、如圖，已知點A在的圖像上，過點A作軸的垂線，垂足為B，當(dāng)點A在其圖像上移動時，的面積將發(fā)生怎樣的變化？對于其他反比例函數(shù)是否也有同樣的現(xiàn)象？怎樣理解？ 解析：的面積不變。設(shè)頂點A（、），則。又∵點A在反比例函數(shù)圖形上，∴，即，∴，即的面積與點A的位置無關(guān)。 對于其他反比例函數(shù)也有相同的現(xiàn)象， 理由是：觀察反比例函數(shù)的特征，從其憨厚素圖像上任意一點向軸（軸）作垂線，垂足、原點和該點組成三角形的面積均為，而無論為正負， 點評：本題探索經(jīng)歷了從特殊到一般的探索過程，通過計算特殊情況，推廣得到一般情況，都得到所組成的三角形的面積為這個定值，此方法可以拓展到求相應(yīng)矩形的面積。 2 反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)錯解“診所” 處理反比例函數(shù)問題時最容易出現(xiàn)的錯誤主要有兩點： 一是忽略定義y=中的k≠0這個條件； 二是在研究反比例函數(shù)的增減性時不分象限，將雙曲線不同分支上的點混在一起． 例1．若y=（k-3）x為反比例函數(shù)，則k= ． 錯解：因為是反比例函數(shù)，則k-10=-1，所以． 會診：反比例函數(shù)的定義是：一般地，形如y=（ k≠0的常數(shù)）的函數(shù)叫反比例函數(shù)．忽略“k≠0”這個條件． 正解：由k-10=-1，解得；又因為k-3≠0，所以k=-3． 例2．判斷正誤：反比例函數(shù)y=-中，y隨著x的增大而增大． 錯解：正確． 會診：反比例函數(shù)y=（ k≠0的常數(shù)）的性質(zhì)是，當(dāng)k＜0時在每一象限內(nèi)，y隨著x的增大而增大．忽略了在“每一象限內(nèi)”這一條件．只有當(dāng)x＞0或x＜0時y隨著x的增大而增大． 正解：錯誤． 例3．在函數(shù)y=-（a≠0的常數(shù)）的圖像上有三個點（-2，b）、（-1，c）、（3，d），則函數(shù)值的大小關(guān)系是（ ） A．b＜c＜d B．d＜c＜b C．c＜d＜b D．d＜b＜c。 錯解：因為-a＜0，所以 y隨著x的增大而增大．又因為-2＜-1＜3， b＜c＜d． 所以選擇A． 會診：此題的錯誤是分析反比例函數(shù)的增減性時不分象限，將雙曲線不同分支上的點混在一起．本題的（-2，b）、（-1，c）兩點在雙曲線的第二象限的分支上，由-2＜-1，得0＜b＜c；而點（3，d）在雙曲線的第四象限的分支上，d＞0．所以它們的大小關(guān)系是d＜b＜c． 正解：選擇D． 例4．已知反比例函數(shù)y=的圖像上兩點A（a，b）、B（c，d）．當(dāng)a＜0＜c時，有b＜d，則m的取值范圍是（ ） A．m＜0 B．m＞0 C．m＜1/2 D．m＞1/2 錯解：因為當(dāng)a＜0＜c時，有b＜d，即y隨著x的增大而增大．所以1-2m＜0，得m＞1/2 ，因此選擇D． 會診：此題的錯誤是將雙曲線不同分支上的點混在一起，來分析反比例函數(shù)的增減性．因為a＜0＜c，所以A、B兩點分別位于二個象限內(nèi)，點A在第二或三象限的分支上，則點B在第四或一象限的分支上．又因為b＜d，點B只能在第一象限的分支上，則點A在第三象限的分支上．所以1-2m＞0，解得m＜1/2． 正解：選擇C． 2 反比例函數(shù)解析式的確定 確定反比例函數(shù)的解析式是研究反比例函數(shù)的重要內(nèi)容，由于反比例函數(shù)的表達式y(tǒng)＝（k為常數(shù)，k≠0）的結(jié)構(gòu)比較簡單，只有一個待定系數(shù)k，即確定了k，也就確定了反比例函數(shù)的關(guān)系式.現(xiàn)說明如下，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考. 一、利用反比例函數(shù)的定義 例1 已知函數(shù)y＝2(a+1)x2a+5是反比例函數(shù)，試求出a的值，并寫出函數(shù)關(guān)系式. 分析　由反比例函數(shù)的定義自變量的指數(shù)是－1，從而列式求解. 解　依題意，得2a+5＝－1，且a+1≠0，解得a＝－3， 所以此反比例函數(shù)的解析式為y＝－. 說明　利用反比例函數(shù)的定義確定解析式時除了要掌握其一般外，還要注意掌握由一般式得到的另一種表達方式y(tǒng)＝kx－1（k為常數(shù)，k≠0），從而列式求解. 二、利用圖像過已知點求解 例2 已知反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(，－2)，則此函數(shù)關(guān)系式是＿＿＿. 分析　設(shè)出此反比例函數(shù)的解析式，再利用待定系數(shù)法求出比例系數(shù)即可. 解　設(shè)此函數(shù)關(guān)系式是y＝.因為反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(，－2)， 所以－2＝，解得k＝－1，所以此函數(shù)關(guān)系式是y＝－. 說明　待定系數(shù)法在確定函數(shù)關(guān)系式時經(jīng)常要用到，同學(xué)們一定要通過具體例子體會. 三、從圖像中獲取信息 例3　若雙曲線y＝的部分圖像如圖所示，那么反比例函數(shù)的解析式是＿＿＿. y x 分析　要確定其解析式，只要求出比例系數(shù)k即可，而圖像中可知，雙曲線經(jīng)過點(1，2)，于是利用待定系數(shù)法即求. 解　因為雙曲線經(jīng)過點(1，2)，所以有2＝，解得k＝2， 所以反比例函數(shù)的解析式是y＝. 說明　求解此類問題時除了要能運用待定系數(shù)法法外，還要發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的作用. 四、利用反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義 例4　一個反比例函數(shù)在第三象限的圖像如圖，若點P是圖像上任意一點，PA⊥x軸于A，O是原點，若△PAO的面積是，試求這個反比例函數(shù)的解析式. P x y O A 分析　若設(shè)點P(x，y)，則由△PAO的面積是，可求得xy，從而求得這個反比例函數(shù)的解析式. 解　設(shè)點P(x，y)，因為△PAO的面積是，所以＝，所以xy＝±， 而反比例函數(shù)的圖像在第三象限，所以xy＞0，所以xy＝， 即這個反比例函數(shù)的解析式為y＝. 說明　在本題的求解過程中除了要考慮利用△PAO的面積等于外，還要注意雙曲線的分布情況，從而準(zhǔn)確地確定k的符號，以避免錯誤的出現(xiàn). 五、利用一次函數(shù) 例5 若一次函數(shù)y＝2x+3的圖像與反比例函數(shù)y＝的圖像有一個交點是(－2，m)， 試求反比例函數(shù)的解析式. 分析　由于點(－2，m)是一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像的交點，所以可先代入一次函數(shù)的解析式求出m后，再代入反比例函數(shù)的解析式求得比例系數(shù)k. 解　因為點(－2，m)在一次函數(shù)y＝2x+3的圖像上，所以有m＝2×(－2)+3， 解得m＝－1，所以交點是(－2，－1)， 此時點(－2，－1)也在反比例函數(shù)y＝的圖像上，所以有－1＝，解得k＝2. 所以反比例函數(shù)的解析式是y＝. 說明　在研究反比例函數(shù)時，一次函數(shù)好象是其的孿生兄弟，總是成對出現(xiàn)，求解時一定要注意發(fā)揮一次函數(shù)的作用. 六、利用問題中的等量關(guān)系 例6　若梯形的下底長為x，上底長為下底長的，高為y，面積為60，則y與x的函數(shù)關(guān)系是＿＿＿.（不考慮x的取值范圍） 分析　要求本題中y與x的函數(shù)關(guān)系，只需利用梯形的面積公式這一等量關(guān)系，將這兩個變量表示出來，并化簡即得. 解　由梯形的面積分式，得(x+x)×y＝60，化簡，得y＝， 所以y與x的函數(shù)關(guān)系是y＝. 說明　從實際問題中求解函數(shù)關(guān)系式與列方程解應(yīng)用題基本相似，其關(guān)鍵是要能找到一個等量關(guān)系. 3 反比例系數(shù)K的幾何意義的探究與應(yīng)用 x y P 圖甲 Q R O 大家知道，根據(jù)反比例函數(shù)的意義可知：兩個變量x與y的乘積是一個常數(shù)k(k≠0).因而過雙曲線上任意一點P（x，y）作x軸、y軸的垂線，兩垂線與坐標(biāo)軸圍成的矩形PQRO的面積（如圖甲）為：OR·PR =|x|·y=|xy|=|k|，進一步可得到Rt△PRO的面積為|k|. 由此我們可得出比例系數(shù)|k|的幾何意義為：過雙曲線上任意一點P（x，y）作x軸、y軸的垂線，兩垂線與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積.靈活運用此性質(zhì)可以幫助我們快速簡捷解決與反比例函數(shù)的圖像和面積有關(guān)的許多問題. 例1如圖1，已知雙曲線(x＞0)經(jīng)過矩形OABC邊AB的中點F，交BC于點E，且四邊形OEBF的面積為2，則k＝______________。 A B C E O F x y 圖1 分析：由反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，結(jié)合圖3可知：△OCE、△OAF的面積均為k，若設(shè)F點的縱坐標(biāo)為b,則點F的橫坐標(biāo)為故點B的坐標(biāo)為（，2b）（因為F是AB的中點），所以矩形OABC的面積為×2b=2k，根據(jù)四邊形OEBF的面積為2，可得2k-k-k=2，所以k=2. A x y B O C D 圖2 P E 例2如圖2，在y=(x>0)的圖像上有三點A，B，P，過這三點分別向x軸引垂線，交x軸于C、D、E，連接OA，OB，OP，記△OAC，△OBD，△OPE的面積分別為S1，S2，S3則有( ). A、S1=S2=S3 B、S1S2>S3 D、S2>S1>S3 分析：由反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，結(jié)合圖2可得，S1=S2=S3=|k|=，故選A. 例3正比例函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=的圖像相交于A，C兩點，AB垂直x軸于B，CD垂直x軸于D(如圖3)，則四邊形ABCD的面積為( ). 圖3 A B C D O x y A、1 B、 C、2 D、 分析：因為雙曲線是關(guān)于原點成中心對稱的圖形，因而OA=OC，OB=OD，故四邊形ABCD是平行四邊形，所以= 4，由反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，可知=|k|=×1=， 所以= 4= 4×=2，故選C. 例4兩個反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖像如圖所示，點P在的圖像上，PC⊥x軸于點C，交的圖像于點A，PD⊥y軸于點D，交的圖像于點B，當(dāng)點P在的圖像上運動時，以下結(jié)論： 圖 ①△ODB與△OCA的面積相等； ②四邊形PAOB的面積不會發(fā)生變化；③PA與PB始終相等； ④當(dāng)點A是PC的中點時，點B一定是PD的中點． 其中一定正確的是 ①②④ （把你認為正確結(jié)論的序號都填上，少填或錯填不給分）． 分析：觀察圖像點A、B均在反比例函數(shù)的圖像上，由比例系數(shù)k的幾何意義可知①Rt△BDO的面積=Rt△ACO的面積=|k|.=0.5；②當(dāng)點P在的圖像上運動時，四邊形PCOD面積始終為k，而Rt△BDO的面積與Rt△ACO的面積也保持0.5不變，因此四邊形PAOB的面積=四邊形PCOD面積－Rt△BDO的面積－Rt△ACO的面積=k－1保持不變. ④連接OP，則，當(dāng)點A是PC的中點時，則∴=，由三角形面積公式易得BD=PD，即點B一定是PD的中點，故其中一定正確的是 ①②④.（事實上結(jié)論③我們可以通過畫圖容易發(fā)現(xiàn)是不正確的，見紅線） 例5如圖4，已知A、B兩點是反比例函數(shù)y= （x> O）的圖像上任意兩點，過A、B兩點分別作y軸垂線，垂足分別為C、D.連結(jié)AB、AO、BO．試探究：梯形ABDC的面積與△ABO的面積有怎樣的關(guān)系？ 分析：本題側(cè)重考查面積“割補”與“轉(zhuǎn)化”的思維策略. 設(shè)AO、BD相交于E，由圖可以發(fā)現(xiàn)梯形ABCD與△ABO重疊部分為△ABE，故比較梯形ABDC與△ABO的面積關(guān)系，就是比較梯形AEDC與△OBE的面積關(guān)系．又△BOD與△AOC的重疊部分為△ODE．因而只需探索△BOD與△AOC的面積之間關(guān)系即可.由由反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，可知 S△BOD=S△AOC=|k|=×2=1,所以△OBE的面積與四邊形AEDC的面積相等，所以梯形ABDC的面積與△ABO的面積相等. 3 如何使用反比例函數(shù)圖象判斷k？ 難易度：★★★★ 關(guān)鍵詞：反比例函數(shù)圖象-判斷k的正負 答案： 反比例函數(shù)y= （k≠0）的圖象是雙曲線，當(dāng)k＞0時，它的兩個分支分別位于第一、三象限；當(dāng)k＜0時，它的兩個分支分別位于第二、四象限．反比例函數(shù)上的點的橫縱坐標(biāo)的積為k值． 【舉一反三】 典題：反比例函數(shù)y= 的圖象如圖所示，則k的值可能是（） A、-1??? B、 ????C、1??? D、2 思路導(dǎo)引：用到的知識點為：反比例函數(shù)圖象在第一象限，比例系數(shù)大于0；比例系數(shù)等于在它上面的點的橫縱坐標(biāo)的積．根據(jù)函數(shù)所在象限和反比例函數(shù)上的點的橫縱坐標(biāo)的積小于1判斷． 標(biāo)準(zhǔn)答案： 解：∵反比例函數(shù)在第一象限， ∴k＞0， ∵當(dāng)圖象上的點的橫坐標(biāo)為1時，縱坐標(biāo)小于1， ∴k＜1， 故選B． 1 如何使用反比例函數(shù)圖象的對稱性解題？ 難易度：★★★★ 關(guān)鍵詞：反比例函數(shù)圖象-對稱性． 答案： 反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸 y=x ，y=-x（即第一三，二四象限角平分線），對稱中心是坐標(biāo)原點（其特點為：點A（a，b）關(guān)于原點對稱點的坐標(biāo)為（-a，-b））. ? 【舉一反三】 典題：如圖，正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù)y=（m、n是非零常數(shù)）的圖象交于A、B兩點．若點A的坐標(biāo)為（1，2），則點B的坐標(biāo)是（） A、（-2，-4）??? B、（-2，-1）??? C、（-1，-2）??? D、（-4，-2） 思路導(dǎo)引：本題考查了反比例函數(shù)圖象的對稱性．函數(shù)知識的考查是每年中考必考知識，解決這類題目關(guān)鍵是平時要多積累規(guī)律．此題由題意可知A、B兩點關(guān)于原點對稱，則根據(jù)對稱性即可得到B點坐標(biāo)． 標(biāo)準(zhǔn)答案： 解：∵正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù)y= 的兩交點A、B關(guān)于原點對稱， ∴點A（1，2）關(guān)于原點對稱點的坐標(biāo)為（-1，-2）． 故選C． 1 如何使用反比例函數(shù)性質(zhì)求字母的取值？ 難易度：★★★★ 關(guān)鍵詞：反比例函數(shù)性質(zhì) -求字母的取值 答案： 靈活運用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，通過合理計算解題。 【舉一反三】 典題： 反比例函數(shù)y= 經(jīng)過點（1，2）． （1）求k的值； （2）若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點P（a，a-1），求a的值． 思路導(dǎo)引：本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，是比較典型的題目．（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征，把點（1，2）代入反比例函數(shù)y= 即可求k．（2）把點P（a，a-1）的坐標(biāo)代入得y= ，然后解方程則可． 標(biāo)準(zhǔn)答案： 解：（1）∵y= 的圖象經(jīng)過（1，2）， ∴k=xy=1×2=2． （2）由（1）得：y= ； ∵圖象經(jīng)過P（a，a-1）， ∴ a-1=． ∴a2-a-2=0，解得：a1=2，a2=-1． 1 如何使用反比例函數(shù)的增減性解題？ 難易度：★★★★ 關(guān)鍵詞：反比例函數(shù)的性質(zhì)-函數(shù)的增減性 答案： 當(dāng)k>0時，圖象分別位于第一、三象限，同一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當(dāng)k<0時，圖象分別位于二、四象限，同一個象限內(nèi),y隨x的增大而增大。 【舉一反三】 典題：若函數(shù)y=的圖象在其象限內(nèi)y的值隨x值的增大而增大，則m的取值范圍是（? ） A、m＞-2??? B、m＜-2??? C、m＞2??? D、m＜2 思路導(dǎo)引：本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)k＜0，y隨x的增大而增大．根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，可得m+2＜0，從而得出m的取值范圍． 標(biāo)準(zhǔn)答案： 解：∵函數(shù)y=的圖象在其象限內(nèi)y的值隨x值的增大而增大， ∴m+2＜0， 解得m＜-2． 故選B． 1 如何使用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義解題？ 難易度：★★★★ 關(guān)鍵詞：反比例函數(shù)的性質(zhì)-系數(shù)k的幾何意義 答案： (1)在一個反比例函數(shù)圖象上任取兩點P，Q，過點P，Q分別作x軸，y軸的平行線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S1，S2，則S1=S2=|K|。(2)圖象上任意一點的橫縱坐標(biāo)之積為k． 【舉一反三】 典題：如圖，反比例函數(shù)y= 的圖象經(jīng)過點A（4，b），過點A作AB⊥x軸于點B，△ AOB的面積為2． （1）求k和b的值； （2）若一次函數(shù)y=ax-3的圖象經(jīng)過點A，求這個一次函數(shù)的解析式． 思路導(dǎo)引：本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)y= 中k的幾何意義．這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．（1）由△AOB的面積為2，根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義，可知k的值，得出反比例函數(shù)的解析式，然后把x=4代入，即可求出b的值；（2）把點A的坐標(biāo)代入y=ax-3，即可求出這個一次函數(shù)的解析式． 標(biāo)準(zhǔn)答案： 解：（1）∵反比例函數(shù)y= 的圖象經(jīng)過點A，AB⊥x軸于點B，△AOB的面積為2， ∴k=4． ∴反比例函數(shù)的解析式為y= ． 當(dāng)x=4時，b=1． （2）∵A（4，1）在一次函數(shù)y=ax-3的圖象上， ∴1=4a-3， ∴a=1． ∴這個一次函數(shù)的解析式為y=x-3． 1 如何使用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式？ 難易度：★★★★ 關(guān)鍵詞：反比例函數(shù)解析式 -待定系數(shù)法 答案： 用待定系數(shù)法時，把已知點代入確定反比例函數(shù)的比例系數(shù)k是關(guān)鍵．再求出函數(shù)解析式． 【舉一反三】 典題：下列函數(shù)中，圖象經(jīng)過點的反比例函數(shù)解析式是（??? ）． （A）??????? ??? （B）????????????? （C）???????? ?（D） 思路導(dǎo)引：用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的比例系數(shù)k，求出函數(shù)解析式．觀察圖象，函數(shù)經(jīng)過一定點，將此點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式y(tǒng)= （k≠0）即可求得k的值． 標(biāo)準(zhǔn)答案： 解：設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y= （k≠0），由圖象可知，函數(shù)經(jīng)過點P（1，-1）， ∴-1= ?，得k=-1， ∴反比例函數(shù)解析式為y= ． 故選B． 1 如何比較值或值大??？ 難易度：★★★★ 關(guān)鍵詞：反比例函數(shù)圖象 –比較大小 答案： 反比例函數(shù)圖象上點的特征，凡是在反比例函數(shù)圖象上的點，橫縱坐標(biāo)的乘積是一個定值=k．當(dāng)k＞0時，圖象分別位于第一、三象限，橫縱坐標(biāo)同號；當(dāng)k＜0時，圖象分別位于第二、四象限，橫縱坐標(biāo)異號． 【舉一反三】 典題：已知點（-1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函數(shù)y= 的圖象上．下列結(jié)論中正確的是（） A、y1＞y2＞y3??? B、y1＞y3＞y2??? C、y3＞y1＞y2??? D、y2＞y3＞y1 思路導(dǎo)引：本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：當(dāng)k＞0時，圖象分別位于第一、三象限，橫縱坐標(biāo)同號；當(dāng)k＜0時，圖象分別位于第二、四象限，橫縱坐標(biāo)異號．先判斷出函數(shù)反比例函數(shù)y= 的圖象所在的象限，再根據(jù)圖象在每一象限的增減性及每一象限坐標(biāo)的特點進行判斷即可． 標(biāo)準(zhǔn)答案： 解：∵k2≥0，∴-k2≤0，-k2-1＜0， ∴反比例函數(shù)y= 的圖象在二、四象限， ∵點（-1，y1）的橫坐標(biāo)為-1＜0，∴此點在第二象限，y1＞0； ∵（2，y2），（3，y3）的橫坐標(biāo)3＞2＞0，∴兩點均在第四象限y2＜0，y3＜0， ∵在第四象限內(nèi)y隨x的增大而增大， ∴0＞y3＞y2， ∴y1＞y3＞y2． 故選B． 1