八年級數(shù)學下冊11.3用反比例函數(shù)解決問題素材（打包26套）新蘇科版.zip
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“反比例函數(shù)”與“閉眼打轉(zhuǎn)問題”
“反比例函數(shù)”與“閉眼打轉(zhuǎn)問題”，是兩件風馬牛不相及的事情，怎么會扯上關(guān)系？同學們別急！看了下面這段故事，你會感受到反比例函數(shù)的“神奇力量”，你會覺得數(shù)學是那么的“酷”！
? 相傳公元1896年，挪威生理學家古德貝爾對閉眼打轉(zhuǎn)的問題進行了深入的研究。他收集了大量事例后分析說：這一切都是由于人自身兩條腿在作怪！長年累月養(yǎng)成的習慣，使每個人一只腳伸出的步子，要比另一只腳伸出的步子長一段微不足道的距離。而正是這一段很小的步差x，導致了這個人走出一個半徑為y的大圈子！
現(xiàn)在我們來研究一下x與y之間的函數(shù)關(guān)系：
假定某人兩腳踏線間相隔為d。很明顯，當人在打圈子時，兩只腳實際上走出了兩個半徑相差為d的同心圓。設(shè)該人平均步長為。那么，一方面這個人外腳比內(nèi)腳多走路程；另一方面，這段路程又等于這個人走一圈的步數(shù)與步差的乘積，即， 化簡得?
對一般的人，d＝0.1米，＝0.7米，代入得 （米）
這就是所求的迷路人打圈子的半徑公式，它是一個反比例函數(shù)！
假如設(shè)迷路人兩腳差為0.1毫米，那么僅此微小的差異，就足以使他在大約三公里的范圍內(nèi)繞圈子！
看到這里，你是否被神奇的反比例函數(shù)所折服！且慢，我們再來看一個有趣的游戲：
在世界著名的水都威尼斯，有個馬爾克廣場。廣場的一端有一座寬82米的雄偉教堂。教堂的前面是一片開闊地。這片開闊地經(jīng)常吸引著四方游人到這里做一種奇特的游戲：把眼睛蒙上，然后從廣場的一端向另一端教堂走去，看誰能到達教堂的正前面！
奇怪的是，盡管這段距離只有175米，但卻沒有一名游客能幸運地做到這一點！全都走成了弧線，或左或右，偏斜到了一邊！
為什么是這樣呢？我們就先來計算一下，當人們閉起眼睛，從廣場一端中央的M點抵達教堂CD的最小的弧半徑是多少。如下圖，注意到矩形邊（米），（米）。那么上述問題，無疑相當于幾何中的以下命題：
已知：在矩形中（米），為邊的中點，（米），求弧所在圓的半徑。
在解這個問題之前，先介紹一下同學們馬上要學的勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。（為什么有這個美妙的結(jié)論，請同學們預習接下來學習的內(nèi)容）
下面我們一起來解決問題：
如圖，由于是直角三角形，于是由勾股定理有
即
解這個方程，得
這就是說，游人要想成功，他所走的弧線半徑必須不小于 394米。那么就讓我們再計算一下，要達到上述要求，游人的兩腳的步差需要什么限制。根據(jù)公式：，因為，所以（米）=0.35（毫米）
? 這表明游人的兩只腳的步差必須小于0.35毫米，否則是不可能成功的！然而，在閉上眼睛的前提下，使兩腳的步差這么小一般人是辦不到的，這便是在游戲中為什么沒有人能被蒙上眼睛走到教堂前面的道理。
同學們，看到這里你是否覺得數(shù)學真的很有用！那么，讓我們一起努力學習吧。
2
你犯過這樣的錯誤嗎?
反比例函數(shù)是八年級數(shù)學的重要內(nèi)容之一，更是歷年中考的熱點。但初學者由于概念理解上的偏差、研究增減性時不分象限（籠統(tǒng)地說：當時，y隨x的增大而減小，或當時，y隨x的增大而增大）和數(shù)形分離（不會在函數(shù)圖像中發(fā)現(xiàn)并采集相關(guān)信息）等現(xiàn)象，經(jīng)常會出現(xiàn)一些不必要的錯誤，不知你是否也犯過下面的錯誤：
一、忽視反比例函數(shù)成立的條件“k是常數(shù)，且”
例1．若函數(shù)是反比例函數(shù)，則k的值為（ ）
A． B． C．或 D．或
錯解：∵是反比例函數(shù)，
∴，解得，．故選C．
剖析：根據(jù)反比例函數(shù)定義可知，反比例函數(shù)（或）中存在著隱含條件“”．本題的錯誤原因是只考慮到反比例滿足這一條件，而忽視了隱含條件“”．
正解：由題意得，，解得，．
當時，（符合題意）
當時，（不符合題意，舍去）
所以時，是反比例函數(shù)，故選C．
二、數(shù)形分離，顧此失彼
例2．如圖（1），P是反比例函數(shù)的圖像上一點，過P向x軸，y軸引垂線，若S陰影=5，則此函數(shù)圖像的解析式為 ．
錯解：設(shè)P點的坐標為（x0，y0），則，解得．
∴或．
剖析：上述解題過程中沒有考慮到圖像信息而導致錯誤．仔細觀察圖像，不難發(fā)現(xiàn)雙曲線在第二、四象限，所以．
正解：由陰影部分的面積等于5，得，解得．
∵的圖像在第二、四象限，∴，即．
三、實際問題中忽視自變量的取值范圍
例3．甲、乙兩地相距100千米，一輛汽車從甲地開往乙地，把汽車到達乙地所用的時間t（小時）表示汽車速度v（千米/時）的函數(shù)，并畫出圖像。
錯解：由，得。所畫圖像，如圖（2）所示：
剖析：由自變量的實際意義可知，函數(shù)圖像只能在第1象限內(nèi)。解答本題容易忽視自變量這一隱含條件，導致把整個圖像都畫出來。
正解：由，得， 且。
用描點法畫出如圖（3）的圖像所示：
為避免再犯以上錯誤，筆者建議你在學習時關(guān)注以下幾個方面：
1．利用反比例函數(shù)關(guān)系式解決問題時，注意這一限制條件．
2．解與實際問題相關(guān)的圖像題時，要關(guān)注自變量的實際意義，不能擴大或縮小其取值范圍．
3．利用反比例函數(shù)的性質(zhì)比較大小時，如果兩點不在同一個象限時，需要根據(jù)圖像作出合理的判斷，切不可用所謂的“性質(zhì)”比較大?。?
4．畫函數(shù)的圖像時，要注意自變量不等于0這一隱含條件，不能出現(xiàn)圖像與坐標軸有交點等現(xiàn)象．
2
利用反比例函數(shù)關(guān)系式求值
對于某些與反比例函數(shù)有關(guān)的求值問題，靈活巧用反比例函數(shù)關(guān)系式，可找到很好的解題途徑.
例1（陜西?。┮阎狝（，），B（，）兩點都在圖像上．若＝－3，則的值為______．
分析：用的代數(shù)式表示、用的代數(shù)式表示，將求的值轉(zhuǎn)化為求與有關(guān)的代數(shù)式的值．
解：由A（，），B（，）兩點都在圖像上，
那么＝，＝．
因為＝－3，
所以＝＝－12．
例2 （四川省自貢市）兩個反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖像如圖所示，點、、、…，在反比例函數(shù)的圖像上，它們的橫坐標分別是，，，…，，縱坐標分別是1，3，5，…，共2010個連續(xù)奇數(shù)，過點、、、…，分別作軸的平行線，與的圖像的交點依次是、，、…、，則＝______．
分析：注意到點是反比例函數(shù)上的一點，要求的值，應先確定的值．又是反比例函數(shù)上的點的橫坐標，那么應先確定點的縱坐標．
解：依題意，點、、、…，的縱坐標為從1開始的連續(xù)2010個奇數(shù)．
所以點的縱坐標為2×2010－1＝4019．
因為點（，4019）在反比例函數(shù)的圖像上，
所以，．
因為點在反比例函數(shù)的圖像上，
所以．
例3 （浙江省衢州市）已知是正整數(shù)，是反比例函數(shù)圖像上的一列點，其中＝1，＝2，…，＝，記，，…，，且，則的值是_______．
分析：從消元入手，用的代數(shù)式分別表示，，，…，，這樣，, ，，…也可用的代數(shù)式表示，接下來，只要求的值．
解：由是反比例函數(shù)圖像上的一點，得．
因為＝1，＝2，…，＝10，
所以，，，…，．
所以，，，…．
所以
因為，，
所以，＝2，．
所以．
3
反比例函數(shù)中考題賞析
隨著課程改革的進一步推進,有關(guān)反比例函數(shù)的考題出現(xiàn)了不少新題型,命題者往往給出一些新情境,設(shè)置一些新問題,以考查同學們的應變能力和創(chuàng)新能力.現(xiàn)就中考試題中的有關(guān)反比例函數(shù)的新題型,精選兩例析解如下,供同學們鑒賞：
例1 如圖，，，……在函數(shù)的圖像上，，，，……都是等腰直角三角形，斜邊、、，……都在軸上
(1)求的坐標；
(2)求的值.
分析:通過解直線OP1、A1P2、A2P3、……A9P10所對應的函數(shù)解析式與反比例函數(shù)的聯(lián)列方程組,可以分別求得點P1、P2、P3的坐標,再通過點P1、P2、P3的坐標來探求坐標之間的規(guī)律,從而使問題得以解決.
解:(1)由題意可知直線OP1的解析式為，
解方程組得到點P1的坐標為（2，2），
(2)因為是等腰直角三角形,故可設(shè)直線P1A1的解析式為
由直線過點P1（2，2），代入可得b=4, 從而直線P1A1的解析式為
令可以求得點A1的坐標為（4，0），又可以得到直線A1P2的解析式為，解方程組：得到點P2的坐標為（）
同理可以求得點P3的坐標為（）
由,,……
可以得到, 從而可以得到
=
=.
評注：這道題是由05年江蘇南通的一道中考題演變而來,題設(shè)條件、圖形都一模一樣，可所求結(jié)論增加了難度.江蘇南通的那道題只要求點A2的坐標,而現(xiàn)在這道題不僅要求點的坐標，還要求的值.這可以看出命題者的匠心獨運、用心良苦.當然江蘇南通那道題的解題思路也為現(xiàn)在這道題作了鋪墊.
求函數(shù)圖像交點坐標,可以通過解函數(shù)圖像所對應解析式的聯(lián)立方程組,方程組的解就是函數(shù)圖像交點坐標;當所求和的項比較多時,不必一一求出,可通過觀察分析前幾項,探求它們之間的規(guī)律,可使問題化繁為簡,事半功倍.
例2已知：等腰三角形OAB在直角坐標系中的位置如圖，點A的坐標為（），點B的坐標為（－6，0）.
(1)若三角形OAB關(guān)于y軸的軸對稱圖形是三角形O，
請直接寫出A、B的對稱點的坐標；
(2)若將三角形沿x軸向右平移a個單位，此時點A
恰好落在反比例函數(shù)的圖像上，求a的值；
(3)若三角形繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)度（）.
①當=時點B恰好落在反比例函數(shù)的圖像上，求k的值．
②問點A、B能否同時落在①中的反比例函數(shù)的圖像上，若能，求出的值；若不能，請說明理由.
分析：(1)根據(jù)坐標系中關(guān)于y軸對稱的點縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)，易得點的坐標；(2)根據(jù)圖形沿x軸平移，縱坐標不變，可以求得點A落在反比例函數(shù)的圖像上時所對應的橫坐標，再與平移前的橫坐標相比較，得到平移的單位a的值.
(3)分別求得△繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)300,600時,A、B對應點的坐標,再代入反比例函數(shù),求得的值和進行驗證.
解：(1)點的坐標為
(2)將點A的縱坐標代入反比例函數(shù) , 即
得到對應的橫坐標 ,平移前的橫坐標為,平稱后的橫從標為,
所以△沿x軸向右平移了個單位, 即
(3) ①將△繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)300,此時對應點B//的坐標為 ，
將B//的坐標代入反比例函數(shù)，即 解得：
② 能將△繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)600,
，對應點的坐標分別是，
經(jīng)經(jīng)驗：它們都在的圖像上， ∴
評注：這道題涉及到等腰三角形、軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)、點的坐標和反比例函數(shù)等諸多知識點.在坐標系中，關(guān)于軸對稱的點，橫坐標相同,縱坐標互為相反數(shù),關(guān)于軸對稱的點,縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)；圖形在坐標系中沿軸方向平移,縱坐標不變，沿軸方向平移，橫坐標不變；點的坐標滿足函數(shù)關(guān)系式，點就在函數(shù)圖像上，點的坐標不滿足函數(shù)關(guān)系式，點就不在函數(shù)圖像上.
3
反比例函數(shù)中的面積定值
在新課標中考試卷中，常有不少的試題涉及到反比例函數(shù)圖像中的面積問題。眾所周知，反比例函數(shù)的本質(zhì)特征是變量y與變量x的乘積是有關(guān)常數(shù)k（定值），由此不難得到反比例函數(shù)的有關(guān)重要性質(zhì)：
若A點是反比例函數(shù)圖像上的任意一點，且AB垂直
于x軸，垂足為B，AC垂直于y軸，垂足為C（如圖1所示），
則矩形面積＝|k|。
若連接AO ,則有
現(xiàn)舉例說明這些結(jié)論的應用。
例1．（內(nèi)江市中考題）如圖2，反比例函數(shù)圖像上一點A與坐標軸圍成的矩形ABOC的積是8 ，則該反比例函數(shù)的解析式為 .
分析：由圖像在第一、三象限知，反比例函數(shù)中的k＞0，又由上述結(jié)論知|k|＝8，故k＝8，從而反比例函數(shù)的解析式為
例2．（呼和浩特市中考題）如圖3，P是反比例函數(shù)（k＞0）的圖像上的任意一點，過P作x軸的垂線，垂足為M，已知＝2.
（1）求k的值；
（2）若直線y＝x與反比例函數(shù)的圖像在第一象限內(nèi)交于A點，求過點A和點B的直線的解析式。
分析：（1）由＝|k|＝2且k＞0，知k＝4.
（2）解有x＝2，y＝2.又A點在第一象限內(nèi)，故
A點的坐標為（2，2）。設(shè)所求直線的解析式為y＝kx+b，由它過A（2，2）和B（0，2），有所以所求的直線解析式為y＝2x-2.
例3．（成都市中考題）如圖4，已知反比例函數(shù)（k＜0）的圖像經(jīng)過點A（-，m）過點A作ABx軸于點B，且△AOB的面積為。求k和m的值.
分析：由＝|k|＝且k＜0知：k＝。將x＝代入y＝有y＝2，故m＝2.
例4．（福州市中考題）如圖5，已知：正方形OABC的面積為9，點O為坐標原點，點A在軸上，點C在y軸上，點B、P（,）在函數(shù)（>0, >0）的圖像上，過P點分別作軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，并設(shè)矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面積為s.
（1）求B點坐標和的值；
（2）當=時，求點P的坐標；
（3）寫出s關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.
解：（1）依題意，設(shè)B點坐標為（x，y），則有S正方形OABC
=xy=9，得x=y=3，即B（3，3），因為k=xy，所以k=9；
（2）設(shè)PF交AB于G，當m＞3時，由點P（m，n）在y=上，有S矩形OEPF=mn=9，S矩形OAGF=3n，由已知S=9-3n=，所以n=，m=6.故P1（6，）；當m＜3時，同理可求得P2（，6）；
（3）當0＜ m＜3時，因為P（m，n），所以S矩形OECG=3m，所以S=S矩形OEPF-S矩形OEGC，即S=9-3m（0＜ m＜3）；當m≥3時，因為P（m，n），所以S矩形OAGF=3n，又mn=9，n=，所以S=9-3n=9-，即S=9-（m≥3）.
練習題
（江蘇省泰州市中考題）如圖6，正比例函數(shù)y＝kx（k＞0）與反比例函數(shù)的圖像相交于A、C兩點，ABx軸于B，CDx軸于D，試說明四邊形ABCD 的面積為常數(shù)。
（參考答案：）
4
反比例函數(shù)圖像信息型應用題例析
函數(shù)圖像是溝通函數(shù)解析式與性質(zhì)之間關(guān)系的一座橋梁，正確認識并利用好圖像是解決函數(shù)問題的關(guān)鍵所在．下面以2道中考題為例加以說明，供同學們復習時參考．
例1、如圖，奧運圣火抵達某市奧林匹克廣場后，沿圖中直角坐標系中的一段反比例函數(shù)圖像傳遞．動點表示火炬位置，火炬從離北京路10米處的點開始傳遞，到離北京路1000米的點時傳遞活動結(jié)束．迎圣火臨時指揮部設(shè)在坐標原點（北京路與奧運路的十字路口），為少先隊員鮮花方陣，
（1）求圖中反比例函數(shù)的關(guān)系式（不需寫出自變量的取值范圍）；
（2）當鮮花方陣的長是寬的4倍時，確定此時火炬的位置（用坐標表示）；
（火炬）
y
M
x
N
A
T
B
O
奧林匹克廣場
北
京
路
鮮花
方陣
（指揮部）
奧運路
（3）設(shè)，用含的代數(shù)式表示火炬到指揮部的距離；當火炬離指揮部最近時，確定此時火炬的位置（用坐標表示）．
解析：（1）設(shè)反比例函數(shù)為．方陣始終保持矩形形狀且面積恒為10000平方米（路線寬度均不計）．所以，．
（2）設(shè)鮮花方陣的寬為米，則寬為4m米，由題意得：4m2=10000，m=50，m=-50（舍取）所以此時火炬的坐標為或．
（3），在中，
．所以當時，最小，此時，又，，，，且．．
例2、為了預防流感，某學校在休息天用藥熏消毒法對教室進行消毒。已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為（a為常數(shù)），如圖所所示，據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：
（1）寫出從藥物釋放開始，y與t之間的兩個函數(shù)關(guān)系式及相應的自變量取之范圍；
（2）據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進入教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過多少小時后，學生才能進入教室？
解析：（1）由點P的坐標（3，）可求出反比例函數(shù)的關(guān)系式為(x＞), 則當y=1時，x=，設(shè)正比例函數(shù)的關(guān)系式為，把點（，1）代入可得k=，即正比例函數(shù)的關(guān)系式為（≥x≥0）；
（2）把y=0.25代入反比例函數(shù)(x＞)，得x=6，所以至少要經(jīng)過6個小時后學生才能進入教室。
練習：1、如圖，某一蓄水池每小時的排水量（m/h）與排完水池中的水所用時間（h）之間的函數(shù)圖像．
（1）寫出此函數(shù)圖像的解析式；
（2）若要用6 h排完水池的水，那么每小時的排水量是多少？
2、某?？萍夹〗M進行野外考察，途中遇到一片十幾米寬的爛泥濕地．為了安全、迅速通過這片濕地，他們沿著前進路線鋪了若干塊木塊，構(gòu)筑成一條臨時近道．木板對地面的壓強是木板面積的反比例函數(shù)，其圖像如下圖所示．
0
200
400
600
4
3
2.5
2
1.5
1
（1）請直接寫出這一函數(shù)表達式和自變量取值范圍；
（2）當木板面積為時，壓強是多少？
（3）如果要求壓強不超過，木板的面積至少
要多大？
答案：
1、（1）根據(jù)函數(shù)圖像可知，它是一個反比例函數(shù)圖像，即設(shè)函數(shù)解析式為，又因為點（12，4）在函數(shù)圖像上，所以4=，解得k=48，函數(shù)解析式是，
（2）當t=6小時時，代入中，得=8，即每小時的排水量是立方米．
分析：這是一道以物理學中力學知識為背景的試題．
2、（1）．
（2）當時，．即壓強是．
（3）由題意知，，所以S≥0.1，即木板面積至少要有．
3
反比例函數(shù)在實際生活中的運用
反比例函數(shù)和其它函數(shù)一樣，在我們的日常生活中有著廣泛的應用.那么如何才能正確在利用反比例函數(shù)的關(guān)系來解決實際問題呢？具體地說應從以下兩個方面入手：
一、正確地探求兩個變量之間的關(guān)系
和利用其它函數(shù)解決實際問題一樣，要利用反比例函數(shù)的關(guān)系解決實際問題，只要求能夠正確地探求兩個變量之間的關(guān)系.探索反比例函數(shù)中的兩個變量之間的關(guān)系同樣和列方程解應用題一樣，即弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，找到能夠表示應用題全部含義的一個相等的關(guān)系，根據(jù)這個相等的數(shù)量關(guān)系式，列出所需的代數(shù)式，從而列出兩個變量之間的關(guān)系式.常見的表示數(shù)量之間的關(guān)系有以下幾種情形：
（1）和、差、倍、分問題，即兩數(shù)和=較大的數(shù)+較小的數(shù)，較大的數(shù)=較小的數(shù)×倍數(shù)±增（或減）數(shù).
（2）行程類問題，即路程=速度×時間.
（3）工程類問題，即工作量=工作效率×工作時間.
（4）濃度類問題，即溶質(zhì)質(zhì)量＝溶液質(zhì)量×濃度.
（5）分配類問題，即調(diào)配前后總量不變，調(diào)配后雙方有新的倍比關(guān)系.
（6）等積類問題，即變形前后的質(zhì)量（或體積）不變.
（7）數(shù)字類問題，即有若個位上數(shù)字為a，十位上的數(shù)字為b，百位上的數(shù)字為c，則這三位數(shù)可表示為100c+10b+a，等等.
（8）經(jīng)濟類問題，即利息＝本金×利率×期數(shù)；本息和＝本金+利息＝本金+本金×利率×期數(shù)；稅后利息＝本金×利率×期數(shù)×（1－利息稅率）；商品的利潤＝商品的售價－商品的進價；商品的利潤率＝×100％.
（9）增長（或降低）率問題，即實際生產(chǎn)數(shù)＝計劃數(shù)×［1+增長率（或－減少率）］，增長率＝×100％.
（10）圖形類問題，即根據(jù)圖形的特征，結(jié)合規(guī)范圖形的周長公式、面積公式、體積公式等等.
二、注意典型習題的訓練和鞏固
為了能幫助同學們正確地利用反比例函數(shù)來解決實際問題，現(xiàn)歸類說明如下：
?。ㄒ唬┰谛谐填悊栴}中的應用
例1 小華的爸爸早晨騎自行車帶小華到15千米的鎮(zhèn)外去趕集，回來時讓小華乘公共汽車，用的時間少了．假設(shè)兩人經(jīng)過的路程一樣，而且自行車和汽車的速度在行駛過程中都不變，爸爸要小華找出從家里到鎮(zhèn)上的時間和乘坐不同交通工具的速度之間的關(guān)系．
簡析 設(shè)小華乘坐交通工具的速度是v千米/時，從家里到鎮(zhèn)上的時間是t小時．因為在勻速運動中，時間＝路程÷速度，所以，從這個關(guān)系式中發(fā)現(xiàn):路程一定時，時間t就是速度v的反比例函數(shù)．即速度增大了，時間變??；速度減小了，時間增大．自變量v的取值是v＞0．
（二）在平面圖形中的應用
例2在□ABCD中,AB=4cm,BC=1cm,E是CD邊上一動點,AE、BC的延長線交于點F,設(shè)DE=x(cm),BF=y(cm).求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.
簡析 四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD∥CF,即，所以，則，此時自變量x的取值范圍是0< x<4.
（三）在立體圖形中的應用
例3一個長方體的體積是100立方厘米，它的長是y厘米，寬是5厘米，高是x厘米．
（1）寫出用高表示長的函數(shù)關(guān)系式；
（2）寫出自變量x的取值范圍；
簡析 （1）因為100＝5xy,所以．（2）由于長方體的棱長是正值，所以x＞0．
?。ㄋ模┰谖锢韺W上的應用
例4一定質(zhì)量的氧氣,它的密度ρ(kg/m3)是它的體積V( m3) 的反比例函數(shù), 當V=10m3時, ρ=1.43kg/m3. （1）求ρ與V的函數(shù)關(guān)系式；（2）求當V=2m3時求氧氣的密度ρ.
簡析?。?）設(shè)ρ= ,當V=10m3時, ρ=1.43kg/m3,所以1.43= ,即k=14.3,所以ρ與V的函數(shù)關(guān)系式是ρ=；（2）當V=2m3時, ρ==7.15(kg/m3),所以當V=2m3時,氧氣的密度為7.15(kg/m3).
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例5 你吃過拉面嗎？實際上在做拉面的過程中就滲透著數(shù)學知識：一定體積的面團做成拉面，面條的總長度y(m)是面條的粗細(橫截面積)s(mm2)的反比例函數(shù)，其圖像如圖所示.
（1）寫出y與s的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求當面條粗1.6mm2時，面條的總長度是多少米？
簡析（1）依題意，結(jié)合圖像，不妨設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y＝（k≠0，s≥0），由于圖像經(jīng)過點（4，32），則有32＝，所以k＝128，即y與s的函數(shù)關(guān)系式為y＝（s≥0），（2）當面條粗s＝1.6mm2時，面條的總長度是y＝80(mm)＝0.8(m).
3
反比例函數(shù)在物理上的應用
新課程標準指出：使學生學會用數(shù)學的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實社會，去解決其他學科中的問題，這充分體現(xiàn)了數(shù)學在各科中的“工具性”的作用，符合新課程改革的理念，課改實驗區(qū)的命題在考查“反比例函數(shù)”的知識點時就大量的融合了“物理”學科的相關(guān)問題，本文采楫幾例加以剖析，與讀者共賞．
例1、一定質(zhì)量的氧氣，它的密度ρ(kg/m3)是它的體積V (m3)的反比例函數(shù)，當V=10 m3時，ρ=1.43 kg/m3．
（1）求ρ、V之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求當V=2 m3時氧氣的密度ρ．
分析： 根據(jù)物理學上密度與質(zhì)量及體積之間的關(guān)系，可知當質(zhì)量一定時，密度與體積成反比，因而可設(shè)出密度與質(zhì)量的反比例關(guān)系式，然后將V=10，ρ=1.43代入即可求出反比例系數(shù)．
解：（1）設(shè)ρ=，將V=10 m3，ρ=1.43 kg/m3代入ρ=中，得1.43= ，所以k=14.3，所以ρ與V的函數(shù)關(guān)系式為ρ= ．
（2）當V=2 m3時ρ==7.15(kg/m3)．
評注 在解決跨學科問題時，首先應弄清問題中的數(shù)量在所涉及學科中的意義，然后將這些數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)學知識，建立數(shù)學模型來解決．本題考查待定系數(shù)法，求反比例函數(shù)的解析式，及函數(shù)值的求法．
例2 、某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓p(kpa)是氣體體積V(m3)的反比例函數(shù)，其圖像如圖1所示．當氣球內(nèi)氣壓大于140kPa時，氣球?qū)⒈?，為了安全起見，氣球體積應為（ ）
50
100
150
200
0.5
1
1.5
2
O
A(0.8,120)
P/kPa
V/m3
圖1
A、不大于 B、不小于
C、不大于 D、不小于
分析：根據(jù)函數(shù)的圖像過點A(0，8，120)，結(jié)合待定系數(shù)法容易求出氣球內(nèi)氣體的氣壓p(kpa)與氣體體積V(m3)之間反比例函數(shù)關(guān)系為p=，因為氣球內(nèi)氣壓大于140kPa時，氣球?qū)⒈?，為了安全起見，必須使氣壓不高?40kPa，即，所以，故選B．
例3、近視鏡的度數(shù)y (度)與鏡片焦距x (m)成反比例．已知400度近視鏡鏡片的焦距為0.25m，求y與x的函數(shù)表達式．
分析：眼睛是心靈的窗戶，保護視力是每個同學不容忽視的大問題，本題巧妙地將介紹近視鏡的相關(guān)知識與反比例知識、物理知識融合在一起，既考察了知識技能，又有人情關(guān)懷，令人拍案叫絕．設(shè)設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y =(k≠0)，將x=0.25，y=400代入得k=100，所以設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y =．
例4蓄電池的電壓為定值，使用此電源時，電流I(A)與電阻R(Ω)之間的函數(shù)關(guān)系式（如圖2），（1）蓄電池的電壓是多少？你能寫出這個函數(shù)的表達式嗎？
（2）完成下表，并回答：如果以此蓄電池為電源的用電器限制電流不得超過12A，那么用電器的可變電阻應控制在什么范圍內(nèi)？
R(Ω)
I(A)
(8，6)
16
3
圖2
分析 根據(jù)蓄電池的電壓為定值，可知電流與電阻成反比，觀察圖像又知電流與電阻的一對對應值，因而可用待定系數(shù)法求解．
解：（1）設(shè)蓄電池的電壓為U，由電學公式得U=IR，觀察圖像，當R=8時，I=6， 因而U=6×8= 48．故函數(shù)的表達式為：I=
（2）表格由讀者完成．根據(jù)電流與電阻成反比的關(guān)系，當用電器限制電流不得超過12A（即I≤12A）時，則用電器的可變電阻應不少于= 4（Ω）(即R≥4Ω)．
評注 本題創(chuàng)設(shè)了一個圖像信息與表格融合在一起的且跨學科問題情景，既要掌握電壓與電流、電阻的關(guān)系，又要學會觀察圖像提取有效信息——將圖像上點的坐標轉(zhuǎn)化為I與R的一對對應值，從而為待定系數(shù)法解決問題提供了已知條件．特別是（2）中數(shù)學用語“不超過”轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號應會準確表示，這樣求電阻的范圍才不至于搞翻．
2
反比例函數(shù)學習要點
眾所周知，反比例函數(shù)在現(xiàn)實生活中的應用極為廣泛，所以反比例函數(shù)是函數(shù)知識中的重要的內(nèi)容之一，那么如何才能學好這一知識呢？筆者認為應注意抓好以下幾個要點：
一、注意正確理解反比例函數(shù)的概念
①定義：一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）叫做反比例函數(shù)，其中自變量x的取值范圍是x≠0的一切實數(shù)，y的取值范圍是y≠0的一切實數(shù).
②一般形式：（k≠0），也可以寫成y＝kx－1.
③反比例函數(shù)（k≠0），y與x成反比例關(guān)系.
二、知道“反比例關(guān)系”與“反比例函數(shù)”的區(qū)別與聯(lián)系
反比例關(guān)系是小學里研究的概念，即如果xy＝k（k是常數(shù)，k≠0），那么x與y這兩個量成反比例關(guān)系，這里的x、y既可以代表單獨一個字母，也可以代表一個單項式或多項式.如：y+4與x－3成反比例，則y+4＝（k是常數(shù)，k≠0）.但成反比例的關(guān)系式，不一定是反比例函數(shù)，而反比例函數(shù)中的兩個量一定成反比例.
三、熟練掌握反比例函數(shù)的圖像的形狀和反比例函數(shù)所具有的性質(zhì)
①反比例函數(shù)的圖像是關(guān)于坐標軸對稱的兩支雙曲線.
②當ｋ＞0時，雙曲線的兩個分支分別在第一、第三象限內(nèi)，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當k＜0時，雙曲線的兩個分支分別在第二、第四象限內(nèi)，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.
這里應特別注意“在每一象限內(nèi)”不可丟掉.因為當k＞0時，整個圖像并非y隨x的增大而減??；只是在每一象限內(nèi)的分支上才是y隨x的增大而減小.
③反比例函數(shù)（k≠0）的圖像與坐標軸沒有交點，如圖1，
圖1
（k＞0）
O
x
y
O
x
y
（k＜0）
四、能正確地畫出反比例函數(shù)的圖像
畫反比例函數(shù)的圖像和畫一次函數(shù)的圖像大致相同，即描點法：
①列表：自變量的取值應以原點O為中心，沿O的兩邊取三對（或三對以上）互為相反數(shù)的值，如±1，±2，±3等，填y值時，只需計算右側(cè)的函數(shù)值，如當x＝1，2，3的函數(shù)值，那么x＝－1，－2，－3的函數(shù)值是與之對應的相反數(shù).
②描點：由于雙曲線是兩條關(guān)于原點對稱的曲線，所以畫其圖像時，可先畫出一個分支，再對稱地畫出另一個分支.
③連線：按照從左到右的順序，用平滑的曲線連結(jié)各點.
值得注意的是，由于x、y都不為0，所以畫出的雙曲線的兩個分支分別體現(xiàn)出無限接近坐標軸，但永遠不會和坐標軸相交.
五、會確定反比例函數(shù)的關(guān)系式
由于反比例函數(shù)的關(guān)系式（k≠0）中只有一個待定系數(shù)k，確定了k的值，也就確定了反比例函數(shù)的關(guān)系式，因此，只需給出一組x、y的對應值或圖像上一點的坐標代入，求出k即可確定反比例函數(shù)的關(guān)系式.
如：已知反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點（－3，4），則可以把點（－3，4）代入反比例函數(shù)的關(guān)系式，求出k＝－12，所以該函數(shù)的關(guān)系式是.
六、知道反比例函數(shù)（k≠0）中的比例系數(shù)k的幾何意義
如圖2，設(shè)點P（x，y）是反比例函數(shù)（k≠0）圖像上一點，過點P作x軸、y軸的垂線，垂足分別為M、N，所得的矩形PMON的面積S＝PM·PN＝，因此，k的幾何意義是：過雙曲線上任意一點作x軸、y軸的垂線，所得矩形的面積為.
O
圖2
x
P
y
M
N
如，點P（x，y）是反比例函數(shù)圖像上一點，過點P作x軸的垂線，垂足為A，連結(jié)OA，則△AOP的面積為×6＝3.
2
反比例函數(shù)性質(zhì)的應用舉例
一、 用于確定字母的取值范圍
【例1】 已知反比例函數(shù)的圖像位于第一、三象限內(nèi)，則m的取值范圍是 .
分析：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)：當圖像位于第一、三象限時，k﹥0，則m-1﹥0.
解：因為反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、三象限，所以比例系數(shù)m-1﹥0，得m﹥1.
點評：在運用反比例函數(shù)的性質(zhì)確定字母的取值范圍時，關(guān)鍵是熟悉雙曲線所在象限與比例系數(shù)k之間的關(guān)系.
二、用于比較函數(shù)值的大小
【例2】若點A（-2，y1），B(-1，y2)，C(3，y3)在反比例函數(shù)的圖像上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是 .
分析：由k﹤0可知，雙曲線位于第二、四象限，且在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，因為A、B在第二象限，且-1﹥-2，故y2﹥y1﹥0，由C在第四象限，則y3﹤0.
解：y2﹥y1﹥0﹥y3.
點評：由于雙曲線的兩個分支在兩個不同的象限內(nèi)，因此函數(shù)隨的增減性就不能連續(xù)的看，一定要強調(diào)“在同一象限內(nèi)”，否則，籠統(tǒng)說k﹤0時，y隨x的增大而增大，就會誤認為3最大，則y3最大，出現(xiàn)失誤.
三、用于確定函數(shù)解析式
【例3】如圖，是反比例函數(shù)圖像在第二象限上的一點，且矩形的面積為9，則反比例函數(shù)的表達式是 .
分析：設(shè)反比例函數(shù)解析式為，點P坐標為（a,b），矩形的面積 又因為,所以 ，由圖像可知k﹤0,所以k=-9.
解：.
點評：解本題的關(guān)鍵是牢記：過雙曲線上任意一點作x軸、y軸的垂線段與坐標軸圍成的矩形的面積均為.
四、 用于確定與一次函數(shù)圖像交點的個數(shù)
【例4】當k﹥0時，雙曲線與直線的交點的個數(shù)是 個.
分析：當k﹥0時，雙曲線的兩個分支分別位于第一、三象限，而直線在第二、四象限，所以雙曲線與直線沒有公共點，即交點個數(shù)為0.
解：0個.
點評：當k﹥0時，雙曲線與直線無交點；反之，當k﹤0時，雙曲線與直線有兩個交點.
2
反比例函數(shù)
一、教學內(nèi)容：反比例函數(shù)
教學目標：
1. 理解反比例函數(shù)、圖像及其主要性質(zhì)，能根據(jù)所給信息確定反比例函數(shù)表達式，畫出反比例函數(shù)的圖像，并利用它們解決簡單的實際問題。
2. 初步了解數(shù)學在實際生活中的應用，增強應用意識，體會數(shù)學的重要性。
二、重點、難點：
重點：
1.能根據(jù)所給信息確定反比例函數(shù)表達式，畫出反比例函數(shù)的圖像，并利用它們解決簡單的實際問題。
2、反比例函數(shù)的圖像特點及性質(zhì)的探究
3、通過觀察圖像，歸納總結(jié)反比例函數(shù)圖像
難點：
1、理解反比例函數(shù)的概念
2、畫反比例函數(shù)的圖像，并從圖像中獲取信息
3、從反比例函數(shù)的圖像中歸納總結(jié)反比例函數(shù)的主要性質(zhì)
4.反比例函數(shù)的應用。
三、知識要點
1、經(jīng)歷抽象反比例函數(shù)概念的過程，并能類推歸納出反比例函數(shù)的表達式
2、一般地，如果兩個變量x，y之間的關(guān)系可以表示成y=（k為常數(shù)，k不等于0）的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù).從y=中可知，x作為分母，所以不能為零
3、畫反比例函數(shù)圖像時要注意以下幾點
a 列表時自變量的取值應取絕對值相等而符號相反的一對數(shù)值，這樣既可以簡化計算，又便于標點
b 列表、描點時，要盡量多取一些數(shù)值，多描一些點，這樣方便連線
c 在連線時要用“光滑的曲線”，不能用折線
4、反比例函數(shù)的性質(zhì)
反比例函數(shù)
k的取值范圍
圖像
性質(zhì)
①的取值范圍是，的取值范圍是
②函數(shù)圖像的兩個分支分別在第一、三象限，在每一個象限內(nèi)隨的增大而減小
①的取值范圍是，的取值范圍是
②函數(shù)圖像的兩個分支分別在第二、四象限，在每一個象限內(nèi)隨的增大而增大
注意：1）反比例函數(shù)是軸對稱圖形和中心對稱圖形；
2）雙曲線的兩個分支都與軸、軸無限接近，但永遠不能與坐標軸相交；
3）在利用圖像性質(zhì)比較函數(shù)值的大小時，前提應是“在同一象限”內(nèi)。
5、反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義
如圖，過雙曲線上任意一點P作軸，軸的垂線PM，PN，所得矩形的面積為
∵ ∴ ∴，
即過雙曲線上任一點作軸，軸的垂線，所得矩形的面積為
注意：①若已知矩形的面積為，應根據(jù)雙曲線的位置確定k值的符號。
②在一個反比例函數(shù)圖像上任取兩點P，Q，分別過P，Q作x軸、y軸的平行線，與坐標軸圍成的矩形面積為S1，S2，則有S1＝S2。
四、典例解析
考點一：反比例函數(shù)的定義
例1、用電器的輸出功率P與通過的電流I，用電器的電阻R之間的關(guān)系是，下面說法正確的是（ ）
A. P為定值，I與R成反比例
B. P為定值，與R成反比例
C. P為定值，I與R成正比例
D. P為定值，與R成正比例
本題的答案是：B
例2、為何值時， 是反比例函數(shù)？
解：
常見的錯誤：
1）不會把反比例函數(shù)的一般形式寫成形式；
2）忽略了這個條件。
考點二：反比例函數(shù)的圖像
例3、若三點都在函數(shù)的圖像上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（ ）
A. B. C. D.
答案為A
例4、觀察下面函數(shù)和的圖像，請大家對比著探索它們的異同點.
相同點：a、圖像都是由兩條曲線組成
b、它們都不與坐標軸相交
c、它們都不過原點
不同點：它們所在的象限不同，的兩條曲線在第一和第三象限，的兩條曲線在第二和第四象限，大家再仔細觀察一下每個函數(shù)圖像是否為對稱圖形，軸對稱圖形，中心對稱圖形？
由此看來，反比例函數(shù)的圖像是兩條雙曲線，它們要么在第一、三象限，要么在第二、四象限，究竟什么時候在第一、三象限，什么時候在第二、四象限，大家能確定嗎？
可以，當k大于0時，圖像的兩條曲線在第一、三象限內(nèi)，當k小于0時，兩條曲線分別位于第二、四象限。
考點三：反比例函數(shù)的性質(zhì)
例5、已知反比例函數(shù)，分別根據(jù)以下條件求出的取值范圍。
（1）函數(shù)圖像位于第一、三象限內(nèi)；
（2）在每一個象限內(nèi)，隨的增大而增大。
解：（1）∵雙曲線在第一、三象限內(nèi)，∴
（2）∵在每一個象限內(nèi)隨的增大而增大 ∴
例6、如圖，反比例函數(shù)圖像上任取兩點P、Q，過點P分別作x軸，y軸的平行線與坐標軸圍成的矩形面積為，過點Q分別作x軸，y軸的平行線，與坐標軸圍成的矩形面積為。
（1）與有什么關(guān)系？為什么？
（2）將反比例函數(shù)的圖像繞原點旋轉(zhuǎn)180度后，能與原來的圖像重合嗎？
解：（1）①P、Q兩點在同一條曲線上：
設(shè)P（），過P點分別作x軸、y軸的平行線，與兩坐標軸圍成的矩形面積為，則
因為（）在反比例函數(shù)的圖像上，所以
即所以
同理可知 所以=
②P、Q分別在不同的曲線上：
解法同1
同理可知 =
因此只要是在同一個反比例函數(shù)圖像上任取兩點P、Q，不管P、Q是在同一條曲線上，還是在不同的曲線上，過P、Q分別作x軸，y軸的平行線與坐標軸圍成的矩形面積、都有=
（2）若將反比例函數(shù)的圖像繞原點旋轉(zhuǎn)180度后，能與原來的圖像重合. 因為反比例函數(shù)既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。
考點五：反比例函數(shù)的實際應用
例7、小明將一篇24000字的社會調(diào)查報告錄入電腦，打印成文.
（1）如果小明以每分鐘120字的速度錄入，他需要多長時間才能完成錄入任務？
（2）錄入文字的速度v（字/min）與完成錄入的時間t（min）有怎樣的函數(shù)關(guān)系．
（3）小明希望能在3h內(nèi)完成錄入任務，那么他每分鐘至少應錄入多少個字？
分析：題中的等量關(guān)系為：總字數(shù)=錄入文字的速度×錄入時間
解：（1）24000÷120=200（分鐘） 所以他需要用200分鐘才能完成錄入工作。
（2）函數(shù)關(guān)系式是： （3）3h=180min
由于錄入的字要為整數(shù)，所以他每分鐘至少要錄入134個字。
例8、蓄電池的電壓為定值，使用此電源時，電流I（A）與電阻R（）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示。
（1）蓄電池的電壓是多少？你能寫出這一函數(shù)的表達式嗎？
（2）完成下表，并回答問題：如果以此蓄電池為電源的用電器限制電流不得超過10A，那么用電器的可變電阻應控制在什么范圍內(nèi)？
3
4
5
6
7
8
9
10
4
解：（1）設(shè)函數(shù)表達式為， ∵在圖像上，
∴ ∴ 蓄電池的電壓是36伏。
（2）
3
4
5
6
7
8
9
10
12
9
7. 2
6
4. 5
4
3. 6
電流不超過10A，即I最大為10A，代入關(guān)系式中得R=3.6，為最小電阻，所用電器的可變電阻應控制在這個范圍內(nèi).
例9、反比例函數(shù)的圖像上有一點P（m，n）其坐標是關(guān)于t的一元二次方程的兩根，且P到原點的距離為，求該反比例函數(shù)的解析式.
分析：要求反比例函數(shù)的解析式，就是要求出k，為此我們需要列出一個關(guān)于k的方程.
解：∵ m，n是關(guān)于t的方程的兩根 ∴ m+n=3，mn=k，
又 PO= ∴
∴ ∴ 9－2k=13.
∴ k=－2 當 k=－2時，△=9+8＞0，
∴ k=－2符合條件， ∴反比例函數(shù)的解析式為：
考點六：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的應用
例10、如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于A、B兩點。
（1）根據(jù)圖像，寫出B點的坐標；（2）求出兩函數(shù)的解析式；
（3）根據(jù)圖像回答：當為何值時，一次函數(shù)的函數(shù)值大于反比例函數(shù)的值。
解：（1）由圖像可得B（4，3）
（2）把反比例函數(shù)上的點代入函數(shù)的關(guān)系式得
∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為
由圖可知一次函數(shù)與坐標軸的交點為（0，1）和（－2，0）
把這兩點代入一次函數(shù)關(guān)系式+b得：
解得：
∴一次函數(shù)的關(guān)系式為：
（3）由圖像可知，當時，一次函數(shù)的函數(shù)值大于反比例函數(shù)的函數(shù)值。
例11、如圖，平行于直線的直線不經(jīng)過第四象限，且與函數(shù)的圖像交于點A，過點A作AB⊥軸于點B，AC⊥軸于點C，四邊形ABOC的周長是8，求直線的解析式。
解：∵點A在函數(shù)的圖像上，
∴設(shè)A點的橫坐標為，由點A的縱坐標為，即A點的坐標為
∵AB⊥軸于點B，AC⊥軸于點C，∠BOC=90°
∴四邊形ABOC是矩形，∵四邊形ABOC的周長是8，
∴ 即
解得
當
∴A點坐標為（1，3）或（3，1）（由題意可知）
∴A點坐標為（1，3）
設(shè)直線的解析式為 把A點代入得
3=1+bb=2 ∴直線的解析式為
8
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