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前一章通過(guò)將連續(xù)時(shí)間信號(hào)分解為單位沖激信號(hào) 然后求解單位沖激信號(hào)激勵(lì)下的響應(yīng) 再利用疊加原理求解總響應(yīng) 卷積 分析過(guò)程中 信號(hào)始終在時(shí)間域 稱為時(shí)域分析法 第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析 信號(hào)分析就是要研究信號(hào)如何表示為各分量的疊加 并從信號(hào)的組成情況去考察信號(hào)的特性 數(shù)學(xué)上 任意一函數(shù)都可表示為一個(gè)完備正交函數(shù)集中無(wú)限多個(gè)相互正交的函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù) 第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析 傅里葉 Fourier 級(jí)數(shù)是大家熟悉的正交函數(shù)集 只要符合一定的條件 任意一信號(hào)都可通過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)為一系列不同頻率的正弦分量即頻率函數(shù) 也就是說(shuō)信號(hào)分析可以從時(shí)域變換到頻域分析即頻域分析法 第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析 頻域分析 傅里葉變換 自變量為j 變換域分析 復(fù)頻域分析 拉氏變換 自變量為S j Z域分析 Z變換 自變量為z 第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析 3 1信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù) 一 正交向量 矢量 向量 A1和A2參加如下運(yùn)算 是它們的差 如下式 表示和互相接近的程度 當(dāng) 完全重合 則隨夾角增大 減小 互相垂直的兩個(gè)向量組成一個(gè)正交向量集 當(dāng) 和相互垂直 3 1信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù) 一 正交向量 矢量 3 1信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù) 一 正交向量 二維平面上 向量A1與A2正交 A1 A2 0 A1 A2 為平面上的完備正交集 于是任一向量A C1A1 C2A2 三維空間上 A1 A2 A3兩兩正交 A1 A2 A3 為三維空間上的完備正交集 于是任一向量A C1A1 C2A2 C3A3 3 1信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù) 一 正交向量 n維空間上 n維正交向量集 A1 A2 An 有 A C1A1 C2A2 Cn n 3 1信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù) 一 正交向量 令則誤差能量最小 誤差能量 二 信號(hào)的正交分解與正交函數(shù)集 3 1信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù) 若 則不包含的分量 則稱正交 正交的條件 二 信號(hào)的正交分解與正交函數(shù)集 3 1信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù) 二 信號(hào)的正交分解與正交函數(shù)集 1 正交函數(shù)定義 任意兩個(gè)實(shí)函數(shù)f1 t 與f2 t 在 t1 t2 內(nèi)正交 f1 t f2 t fn t 在 t1 t2 內(nèi)為正交函數(shù)集 特別地 當(dāng)ki 1時(shí)稱為歸一化正交函數(shù)集 3 1信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù) 復(fù)變函數(shù)f1 t f2 t fn t 在 t1 t2 內(nèi)為正交復(fù)變函數(shù)集 二 信號(hào)的正交分解與正交函數(shù)集 3 1信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù) 定義 正交函數(shù)集 f1 t f2 t fn t 是完備的 找不到另外一個(gè)非零函數(shù)與該函數(shù)集中每一個(gè)函數(shù)都正交 完備的正交函數(shù)集 二 信號(hào)的正交分解與正交函數(shù)集 3 1信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù) 信號(hào)的正交展開(kāi) 稱為傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù) 定理3 1設(shè) f1 t f2 t fn t 在 t1 t2 內(nèi)是某一類信號(hào)的完備正交函數(shù)集 則這一類信號(hào)中的任一個(gè)信號(hào)f t 均可表示為 式中加權(quán)系數(shù)Ci 二 信號(hào)的正交分解與正交函數(shù)集 3 1信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù) 定理3 2在式 3 9 條件下 有 即 f t 的能量等于各個(gè)分量的能量之和 能量守恒 亦稱之為帕塞瓦爾 Parseval 定理 二 信號(hào)的正交分解與正交函數(shù)集 3 1信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù) 1 三角函數(shù)集 1 cosn t sinm t n 1 2 m 1 2 在區(qū)間 t0 t0 T 內(nèi)是一個(gè)完備正交函數(shù)集 其正交性的證明 三 常見(jiàn)的完備的正交函數(shù)集 3 1信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù) 2 虛指數(shù)函數(shù)集 ejn t n 0 1 2 在 t0 t0 T 內(nèi)一個(gè)完備正交函數(shù)集 其正交性的證明 三角函數(shù)集與虛指數(shù)函數(shù)集是兩個(gè)最重要的完備正交函數(shù)集 3 1信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù) 三 常見(jiàn)的完備的正交函數(shù)集 四 周期信號(hào)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù) 傅里葉分析方法是信號(hào)與系統(tǒng)分析中最基本 最重要的分析方法 它不僅求解簡(jiǎn)單而且與實(shí)際信號(hào)的物理特性有本質(zhì)的對(duì)應(yīng)關(guān)系 如聲音的強(qiáng)弱 色彩的明暗都直接與其頻率分量有關(guān) 3 1信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù) 一 三角形式的傅里葉級(jí)數(shù) 設(shè)任意周期信號(hào)f t f t kT k為整數(shù) 滿足下列條件 荻里赫利條件 1 在一個(gè)周期內(nèi) 函數(shù)是絕對(duì)可積的 2 在一個(gè)周期內(nèi) 函數(shù)的極值數(shù)目有限 3 在一個(gè)周期內(nèi) 函數(shù)是連續(xù)的或者有限個(gè)一類間斷點(diǎn) 左右極限存在但不等 四 周期信號(hào)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù) 3 1信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù) 進(jìn)行分解可得 傅里葉系數(shù) 四 周期信號(hào)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù) 3 1信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù) 同頻率的兩項(xiàng)可以合并 n次諧波分量 其角頻率為基波頻率的n倍 直流分量 零次諧波 即f t 在一個(gè)周期內(nèi)的平均值 基波分量 一次諧波 其角頻率與f t 的相同 為 其中 四 周期信號(hào)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù) 3 1信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù) 將周期信號(hào)f t 在虛指數(shù)函數(shù)集 ejn t n 0 1 2 3 上展開(kāi)就得到指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù) 信號(hào)分析時(shí)往往用此形式 二 指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù) 級(jí)數(shù)正 系數(shù)負(fù) 注意此系數(shù)為復(fù)數(shù) 其中 傅里葉系數(shù) 四 周期信號(hào)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù) 3 1信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù) 三角形式傅里葉級(jí)數(shù)通過(guò)歐拉公式展開(kāi) 三角形式與指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系 四 周期信號(hào)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù) 3 1信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù) 與三角形式傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系 與指數(shù)形式對(duì)照 四 周期信號(hào)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù) 3 1信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù) 1 偶函數(shù) f t f t 五 周期信號(hào)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系 3 1信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù) 例如 周期三角函數(shù)是偶函數(shù) 2 奇函數(shù) f t f t 五 周期信號(hào)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系 3 1信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù) Fn為虛數(shù) 例如周期鋸齒波是奇函數(shù) E 2 E 2 T1 2 T1 2 f t t 0 3 奇諧 波 半波對(duì)稱 函數(shù) 3 奇諧 波 半波對(duì)稱 函數(shù) 五 周期信號(hào)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系 3 1信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù) 4 偶諧 波 半周期 函數(shù) 五 周期信號(hào)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系 3 1信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù) 以指數(shù)形式討論 推導(dǎo)過(guò)程不作要求 只要記住結(jié)論 設(shè) 六 傅里葉系數(shù)的性質(zhì) 3 1信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù) 例 利用傅立葉級(jí)數(shù)的對(duì)稱性判斷所含有的頻率分量 周期偶函數(shù) 奇諧函數(shù) 只含基波和奇次諧波的余弦分量 周期奇函數(shù) 奇諧函數(shù) 只含基波和奇次諧波的正弦分量 含有直流分量和正弦分量 只含有正弦分量 含有直流分量和余弦分量 例 利用傅立葉級(jí)數(shù)的對(duì)稱性判斷所含有的頻率分量 例 求周期信號(hào)的三角型傅里葉級(jí)數(shù)與指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù) 去掉該直流分量后為奇 奇諧函數(shù)f1 t 故只含奇次諧波的sinn t分量 3 1信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù) 3 1信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù) 3 1信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù) 解 可利用傅里葉性質(zhì)3求解 例 求圖示周期鋸齒波信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù) 3 1信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù) 如果要確定某一諧波分量 或 只需確定和某一頻率對(duì)應(yīng)的諧波幅值和相位 3 2周期信號(hào)的頻譜 一 周期信號(hào)的頻譜 頻譜 幅度譜 以頻率 角頻率 為橫坐標(biāo) 以各諧波的振幅An或 Fn 為縱坐標(biāo)畫(huà)出的線圖 離散 為幅度頻譜 簡(jiǎn)稱幅度譜 相位譜 以頻率 角頻率 為橫坐標(biāo) 以各諧波的初相角為縱坐標(biāo)畫(huà)出的線圖 離散 為相位頻譜 簡(jiǎn)稱相位譜 3 2周期信號(hào)的頻譜 一 周期信號(hào)的頻譜 3 2周期信號(hào)的頻譜 二 周期矩形脈沖的頻譜 T 4時(shí) T 4 A 1時(shí) 3 2周期信號(hào)的頻譜 一 周期矩形脈沖的頻譜 由雙邊頻譜 單邊頻譜 3 2周期信號(hào)的頻譜 二 周期矩形脈沖的頻譜 矩形脈沖的頻譜特點(diǎn) 1 各譜線高度與脈沖高度A及寬度 成正比 與周期T成反比 且受抽樣函數(shù)包絡(luò)線牽制 由上可知周期矩形脈沖的頻譜有下列特點(diǎn) 3 2周期信號(hào)的頻譜 二 周期矩形脈沖的頻譜 2 周期矩形脈沖的零分量頻率為n 2 m 即 n 2m m 1 2 3 2周期信號(hào)的頻譜 二 周期矩形脈沖的頻譜 3 信號(hào)能量主要集中在第一個(gè)零分量頻率之內(nèi) 矩形信號(hào)的有效頻譜寬度B 2 Bf 1 3 2周期信號(hào)的頻譜 二 周期矩形脈沖的頻譜 4 若 而T不變 譜線間隔 2 T不變 譜線高度 B 2m m 1 2 占有頻帶內(nèi)所含譜線個(gè)數(shù)T 增多 即譜線分量增多 3 2周期信號(hào)的頻譜 二 周期矩形脈沖的頻譜 5 若T 而 不變 譜線間隔 2 T 譜線變密 且譜線高度 B 2m m 1 2 不變 占有頻帶內(nèi)所含譜線個(gè)數(shù)T 增多 即譜線分量增多 若T 則間隔 0 連續(xù)頻譜 3 2周期信號(hào)的頻譜 二 周期矩形脈沖的頻譜 三 任意周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn) 1 離散性 頻譜是譜線 稱為離散頻譜或線譜 2 諧波性 各分量頻率都是基波頻率的整數(shù)倍 譜線間隔均勻 3 收斂性 譜線幅度隨n 而衰減到零 3 2周期信號(hào)的頻譜 四 周期信號(hào)的功率譜 功率 頻 譜 Fn 2 n 的關(guān)系 也是一離散譜 周期信號(hào)在時(shí)域的平均功率等于頻域中的直流功率分量和各次諧波平均功率分量之和 3 2周期信號(hào)的頻譜