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第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析 本章提要信號分解為正交函數(shù)傅里葉級數(shù)和傅里葉級數(shù)的形式傅里葉變換和傅里葉變換的性質(zhì)周期信號和非周期信號的頻譜分析周期信號的傅里葉變換LTI系統(tǒng)的頻域分析抽樣定理序列的傅里葉分析 一 信號正交與正交函數(shù)集 1 定義 定義在 t1 t2 區(qū)間的兩個函數(shù) 1 t 和 2 t 若滿足 則稱 1 t 和 2 t 在區(qū)間 t1 t2 內(nèi)正交 2 正交函數(shù)集 若n個函數(shù) 1 t 和 2 t n t 構(gòu)成一個函數(shù)集 當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間 t1 t2 內(nèi)滿足 則稱此函數(shù)集為在區(qū)間 t1 t2 上的正交函數(shù)集 3 完備正交函數(shù)集 如果在正交函數(shù)集 1 t 2 t n t 之外 不存在任何函數(shù) t 0 滿足 則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集 例如 三角函數(shù)集 1 cos n t sin n t n 1 2 和虛指數(shù)函數(shù)集 ejn t n 0 1 2 是兩組典型的在區(qū)間 t0 t0 T T 2 上的完備正交函數(shù)集 二 信號的正交分解 設(shè)有n個函數(shù) 1 t 2 t n t 在區(qū)間 t1 t2 構(gòu)成一個正交函數(shù)空間 將任一函數(shù)f t 用這n個正交函數(shù)的線性組合來近似 可表示為f t C1 1 C2 2 Cn n問題 如何選擇各系數(shù)Cj使f t 與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間 t1 t2 內(nèi)為最小 通常使誤差的方均值 稱為均方誤差 最小 均方誤差為 為使上式最小 系數(shù)Cj變化時(shí) 有 展開上式中的被積函數(shù) 并求導(dǎo) 上式中只有兩項(xiàng)不為0 寫為 即 所以系數(shù) 誤差 C1 在用正交函數(shù)去近似f t 時(shí) 所取得項(xiàng)數(shù)越多 即n越大 則均方誤差越小 當(dāng)n 時(shí) 為完備正交函數(shù)集 均方誤差為零 此時(shí)有 即 函數(shù)f t 可分解為無窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和 上式稱為 Parseval 巴塞瓦爾定理 公式 表明 在區(qū)間 t1 t2 f t 所含能量恒等于f t 在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和 當(dāng)n 時(shí) 4 2周期信號的傅里葉級數(shù) 一 傅里葉級數(shù)的三角形式設(shè)周期信號f t 其周期為T 角頻率 2 T 它可分解為如下三角級數(shù) 稱為f t 的傅里葉級數(shù) 系數(shù)an bn稱為傅里葉系數(shù) 可見 an是n的偶函數(shù) bn是n的奇函數(shù) 將上式同頻率項(xiàng)合并 可寫為 式中 A0 a0 可見An是n的偶函數(shù) n是n的奇函數(shù) an Ancos n bn Ansin n n 1 2 上式表明 周期信號可分解為直流和許多余弦分量 其中 A0 2為直流分量 A1cos t 1 稱為基波或一次諧波 其角頻率與原周期信號相同 A2cos 2 t 2 稱為二次諧波 其頻率是基波的2倍 一般而言 Ancos n t n 稱為n次諧波 例4 1試將下圖所示的方波信號f t 展開為傅里葉級數(shù) 解 傅里葉系數(shù) an bn為 2 f 二 奇 偶函數(shù)的傅里葉級數(shù) 1 f t 為偶函數(shù) 對稱縱坐標(biāo) bn 0 展開為余弦級數(shù) 2 f t 為奇函數(shù) 對稱于原點(diǎn)an 0 展開為正弦級數(shù) 3 f t 為奇諧函數(shù) f t f t T 2 此時(shí)其傅里葉級數(shù)中只含奇次諧波分量 而不含偶次諧波分量即a0 a2 b2 b4 0 三 傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式三角形式的傅里葉級數(shù) 含義比較明確 但運(yùn)算常感不便 因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù) 可從三角形式推出 利用cosx ejx e jx 2 上式中第三項(xiàng)的n用 n代換 A n An An是n的偶函數(shù) n n n是n的奇函數(shù) 則上式寫為 令 令復(fù)數(shù) 稱其為復(fù)傅里葉系數(shù) 簡稱傅里葉系數(shù) 表明 任意周期信號f t 可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號之和 Fn是頻率為n 的分量的系數(shù) F0 A0 2 本節(jié)小結(jié) 1 正交函數(shù)集和完備正交函數(shù)集的概念 2 周期為T的信號f t 展開為傅里葉級數(shù) 1 三角形式 或 2 指數(shù)形式 式中 A0 a0 3 奇 偶的傅里葉級數(shù) 1 f t 為偶函數(shù)時(shí) bn 0 f t 展開為三角形式的傅里葉級數(shù)只含有余弦分量 2 f t 為奇函數(shù)時(shí) an 0 f t 展開為三角形式的傅里葉級數(shù)只含有正弦分量 3 f t 為奇諧函數(shù)時(shí) f t 展開為三角形式的傅里葉級數(shù)只含有奇次諧波分量