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大學(xué)物理 電子教案 大學(xué)物理教研組 編寫(xiě) 李紹新文德華范素芹盧義剛趙純 力學(xué) 剛體力學(xué) 第四章剛體力學(xué) 4 1剛體運(yùn)動(dòng)學(xué) 4 5剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律 返回總目錄 4 2剛體的角動(dòng)量轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 4 3力矩剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 4 4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 4 6進(jìn)動(dòng) 本章教學(xué)要求 了解轉(zhuǎn)動(dòng)慣量概念 理解剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能的概念 理解剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律和剛體在繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情況下的角動(dòng)量守恒定律 了解進(jìn)動(dòng)的概念 本章重點(diǎn) 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律和剛體在繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情況下的角動(dòng)量守恒定律 剛體質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題本章難點(diǎn) 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體角動(dòng)量守恒定律 返回目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 3 1剛體運(yùn)動(dòng)學(xué) 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 剛體在平動(dòng)時(shí) 在任意一段時(shí)間內(nèi) 剛體中所質(zhì)點(diǎn)的位移都是相同的 而且在任何時(shí)刻 各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度也都是相同的 所以剛體內(nèi)任何一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng) 都可代表整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng) 當(dāng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí) 如果剛體內(nèi)任何一條給定的直線 在運(yùn)動(dòng)中始終保持它的方向不變 這種運(yùn)動(dòng)叫平動(dòng) 3 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體上各點(diǎn)都繞同一轉(zhuǎn)軸作不同半徑的圓周運(yùn)動(dòng) 且在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)相同的角度 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 例題4 1一飛輪轉(zhuǎn)速n 1500r min 受到制動(dòng)后均勻地減速 經(jīng)t 50s后靜止 1 求角加速度 和飛輪從制動(dòng)開(kāi)始到靜止所轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù)N 2 求制動(dòng)開(kāi)始后t 25s時(shí)飛輪的加速度 3 設(shè)飛輪的半徑r 1m 求在t 25s時(shí)邊緣上一點(diǎn)的速度和加速度 解 1 設(shè)初角度為 0方向如圖所示 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 量值為 0 2 1500 60 50 rad s 對(duì)于勻變速轉(zhuǎn)動(dòng) 可以應(yīng)用以角量表示的運(yùn)動(dòng)方程 在t 50S時(shí)刻 0 代入方程 0 t得 從開(kāi)始制動(dòng)到靜止 飛輪的角位移 及轉(zhuǎn)數(shù)N分別為 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 2 t 25s時(shí)飛輪的角速度為 從開(kāi)始制動(dòng)到靜止 飛輪的角位移 及轉(zhuǎn)數(shù)N分別為 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 3 t 25s時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)P的速度 的方向與 0相同 的方向垂直于和構(gòu)成的平面 如圖所示相應(yīng)的切向加速度和向心加速度分別為 由 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 邊緣上該點(diǎn)的加速度其中的方向與的方向相反 的方向指向軸心 的大小為 的方向幾乎和相同 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 例題4 2一飛輪在時(shí)間t內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)角度 at bt3 ct4 式中a b c都是常量 求它的角加速度 解 飛輪上某點(diǎn)角位置可用 表示為 at bt3 ct4將此式對(duì)t求導(dǎo)數(shù) 即得飛輪角速度的表達(dá)式為 角加速度是角速度對(duì)t的導(dǎo)數(shù) 因此得 由此可見(jiàn)飛輪作的是變加速轉(zhuǎn)動(dòng) 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 4 2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理 即 z軸方向的分量式 4 2 1力矩 略去下標(biāo)z 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)平面 力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi) 注 1 在定軸動(dòng)問(wèn)題中 如不加說(shuō)明 所指的力矩是指力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 是轉(zhuǎn)軸到力作用線的距離 稱為力臂 2 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 略去下標(biāo)Z 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) J mr2稱為質(zhì)點(diǎn)對(duì)于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 4 2 2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量 轉(zhuǎn)動(dòng)定律 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 定義 剛體對(duì)于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J為 4 2 2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量 轉(zhuǎn)動(dòng)定律 略去下標(biāo)z 有 上式稱剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 它表明 剛體繞某一定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 它受的合外力矩等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 質(zhì)元的質(zhì)量 質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的量度 質(zhì)量是平動(dòng)中慣性大小的量度 對(duì)比 線動(dòng)量 角動(dòng)量 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 例題4 3求質(zhì)量為m 長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒對(duì)下面三種轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 1 轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的中心并和棒垂直 2 轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的一端并和棒垂直 3 轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒上距中心為h的一點(diǎn)并和棒垂直 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 解如圖所示 在棒上離軸x處 取一長(zhǎng)度元dx 如棒的質(zhì)量線密度為 這長(zhǎng)度元的質(zhì)量為dm dx 1 當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心并和棒垂直時(shí) 我們有 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 因 l m 代入得 2 當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的一端A并和棒垂直時(shí) 我們有 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 3 當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒上距中心為h的B點(diǎn)并和棒垂直時(shí) 我們有 這個(gè)例題表明 同一剛體對(duì)不同位置的轉(zhuǎn)軸 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量并不相同 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 例題4 4求圓盤(pán)對(duì)于通過(guò)中心并與盤(pán)面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 設(shè)圓盤(pán)的半徑為R 質(zhì)量為m 密度均勻 解設(shè)圓盤(pán)的質(zhì)量面密度為 在圓盤(pán)上取一半徑為r 寬度為dr的圓環(huán) 如圖 環(huán)的面積為2 rdr 環(huán)的質(zhì)量dm 2 rdr 可得 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 4 2 4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用 1 分析問(wèn)題 視解題方便選定轉(zhuǎn)軸正向 2 根據(jù)右手螺旋法則 如果某力對(duì)轉(zhuǎn)軸力矩方向與轉(zhuǎn)軸正向一致為正 否則為負(fù) 合外力矩應(yīng)為各力矩的代數(shù)和 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 4 3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能 1 力矩的功 力矩的功 當(dāng)剛體在外力矩作用下繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生角位移時(shí) 就稱力矩對(duì)剛體做功 力對(duì)P點(diǎn)作功 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 因 力矩作功 對(duì)于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情形 因質(zhì)點(diǎn)間無(wú)相對(duì)位移 任何一對(duì)內(nèi)力作功為零 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 4 3 2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能 與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能公式 對(duì)比 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 相當(dāng)于慣性質(zhì)量 角速度取代了線速度 4 3 3 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理 外力矩所做元功為 總外力矩對(duì)剛體所作的功為 則物體在時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)角位移時(shí) 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 總外力矩對(duì)剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 表明 一個(gè)不太大的剛體的重力勢(shì)能與它的質(zhì)量集中在質(zhì)心時(shí)所具有的勢(shì)能一樣 3 剛體的重力勢(shì)能 即 質(zhì)心高度為 對(duì)于一個(gè)不太大的質(zhì)量為的物體 它的重力勢(shì)能應(yīng)是組成剛體的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的重力勢(shì)能之和 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 例題4 7如圖 沖床上配置一質(zhì)量為5000kg的飛輪 r1 0 3m r2 0 2m 今用轉(zhuǎn)速為900r min的電動(dòng)機(jī)借皮帶傳動(dòng)來(lái)驅(qū)動(dòng)飛輪 已知電動(dòng)機(jī)的傳動(dòng)軸直徑為d 10cm 1 求飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 2 若沖床沖斷0 5mm厚的薄鋼片需用沖力9 80 104N 所消耗的能量全部由飛輪提供 問(wèn)沖斷鋼片后飛輪的轉(zhuǎn)速變?yōu)槎啻?返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 解 1 為了求飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 需先求出它的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和轉(zhuǎn)速 因飛輪質(zhì)量大部分分別布在輪緣上 由圖示尺寸并近似用圓筒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式 得 皮帶傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中 電動(dòng)機(jī)的傳動(dòng)軸是主動(dòng)輪 飛輪是從動(dòng)輪 兩輪的轉(zhuǎn)速與輪的直徑成反比 即飛輪的轉(zhuǎn)速為 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 由此得飛輪的角速度 這樣飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能是 2 在沖斷鋼片過(guò)程中 沖力F所作的功為 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 這就是飛輪消耗的能量 此后飛輪的能量變?yōu)?由 求得此時(shí)間的角速度 為 而飛輪的轉(zhuǎn)速變?yōu)?返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 力矩作功 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 例4 6 如圖4 13 繞在定滑輪上輕繩的一端固定于定滑輪邊上 另一端與一質(zhì)量為m 2 00kg的物體相連 已知定滑輪質(zhì)量M 1 00kg 半徑R 0 100m 且軸承光滑 定滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 其初角速度 5 00rad s 方向垂直于紙面向內(nèi) 求 1 定滑輪的角加速度 2 定滑輪角速度變化到 時(shí) 物體上升的高度 解 1 研究定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng) 選向內(nèi)作為轉(zhuǎn)軸正向 重力 軸支撐力對(duì)轉(zhuǎn)軸力矩為零 對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)沒(méi)有影響 繩張力對(duì)轉(zhuǎn)軸力矩為 則根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律 有 選x軸向上 根據(jù)牛頓定律 有T mg ma關(guān)聯(lián)方程 聯(lián)立以上三式解得 2 研究物體m 定滑輪M及地球組成的系統(tǒng) 在物體m上升 定滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中 機(jī)械能守恒 選開(kāi)始m所在處為重力勢(shì)能零點(diǎn) 有 式中 代人數(shù)據(jù) 解得h 0 0159m 1 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理 4 6剛體角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 我們用沖量矩表示力矩對(duì)時(shí)間的積累效果 即沖量矩等于力矩乘以力矩所作用的時(shí)間 上式中的Mdt為沖量矩 設(shè)剛體tl時(shí)刻角速度為 t2時(shí)刻角速度為 則對(duì)上式兩邊積分 有 上式稱剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理 它表明 剛體在一段時(shí)間內(nèi)所受的沖量矩 等于剛體在這段時(shí)間內(nèi)角動(dòng)量的增量 4 23 式是角動(dòng)量定理的微分形式 4 23 2 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律 恒量 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 這就是說(shuō) 剛體 或質(zhì)點(diǎn)系 對(duì)某一定軸所受合外力矩為零 則它對(duì)這一固定軸的角動(dòng)量保持不變 這稱為剛體 或質(zhì)點(diǎn)系 繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律 四 角動(dòng)量守恒定理 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 實(shí)際生活中的一些現(xiàn)象 藝術(shù)美 人體美 物理美相互結(jié)合 高 高 芭蕾舞演員的高難動(dòng)作 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 當(dāng)滑冰 跳水 體操運(yùn)動(dòng)員在空中為了迅速翻轉(zhuǎn)也總是曲體 減小轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 增加角速度 當(dāng)落地時(shí)則總是伸直身體 增大轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 使身體平穩(wěn)落地 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 因此 開(kāi)始不旋轉(zhuǎn)的物體 當(dāng)其一部分旋轉(zhuǎn)時(shí) 必引起另一部分朝另一反方向旋轉(zhuǎn) 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 例題4 11一勻質(zhì)細(xì)棒長(zhǎng)為l 質(zhì)量為m 可繞通過(guò)其端點(diǎn)O的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng) 如圖所示 當(dāng)棒從水平位置自由釋放后 它在豎直位置上與放在地面上的物體相撞 該物體的質(zhì)量也為m 它與地面的摩擦系數(shù)為 相撞后物體沿地面滑行一距離s而停止 求相撞后棒的質(zhì)心C離地面的最大高度h 并說(shuō)明棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件 解 這個(gè)問(wèn)題可分為三個(gè)階段進(jìn)行分析 第一階段是棒自由擺落的過(guò)程 這時(shí)除重力外 其余內(nèi)力與外力都不作功 所以機(jī)械能守恒 我們把棒在豎直位置時(shí)質(zhì)心所在處取為勢(shì)能 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律 零點(diǎn) 用 表示棒這時(shí)的角速度 則 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 機(jī)械能守恒 1 第二階段是碰撞過(guò)程 因碰撞時(shí)間極短 自由的沖力極大 物體雖然受到地面的摩擦力 但可以忽略 這樣 棒與物體相撞時(shí) 它們組成的系統(tǒng)所受的對(duì)轉(zhuǎn)軸O的外力矩為零 所以 這個(gè)系統(tǒng)的對(duì)O軸的角動(dòng)量守恒 我們用v表示物體碰撞后的速度 則 2 式中 棒在碰撞后的角速度 它可正可負(fù) 取正值 表示碰后棒向左擺 反之 表示向右擺 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 第三階段是物體在碰撞后的滑行過(guò)程 物體作勻減速直線運(yùn)動(dòng) 加速度由牛頓第二定律求得為 3 由勻減速直線運(yùn)動(dòng)的公式得 由式 1 2 與 4 聯(lián)合求解 即得 5 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律 1 2 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 亦即l 6 s 當(dāng) 取負(fù)值 則棒向右擺 其條件為 亦即l 6 s 棒的質(zhì)心C上升的最大高度 與第一階段情況相似 也可由機(jī)械能守恒定律求得 把式 5 代入上式 所求結(jié)果為 當(dāng) 取正值 則棒向左擺 其條件為 6 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律 5 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 例題4 12工程上 兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們以相同的轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)動(dòng) 如圖所示 A和B兩飛輪的軸桿在同一中心線上 A輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JA 10kg m2 B的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JB 20kg m2 開(kāi)始時(shí)A輪的轉(zhuǎn)速為600r min B輪靜止 C為摩擦嚙合器 求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速 在嚙合過(guò)程中 兩輪的機(jī)械能有何變化 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 解以飛輪A B和嚙合器C作為一系統(tǒng)來(lái)考慮 在嚙合過(guò)程中 系統(tǒng)受到軸向的正壓力和嚙合器間的切向摩擦力 前者對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零 后者對(duì)轉(zhuǎn)軸有力矩 但為系統(tǒng)的內(nèi)力矩 系統(tǒng)沒(méi)有受到其他外力矩 所以系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒 按角動(dòng)量守恒定律可得 為兩輪嚙合后共同轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度 于是 以各量的數(shù)值代入得 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 或共同轉(zhuǎn)速為 在嚙合過(guò)程中 摩擦力矩作功 所以機(jī)械能不守恒 部分機(jī)械能將轉(zhuǎn)化為熱量 損失的機(jī)械能為 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 例題4 13恒星晚期在一定條件下 會(huì)發(fā)生超新星爆發(fā) 這時(shí)星體中有大量物質(zhì)噴入星際空間 同時(shí)星的內(nèi)核卻向內(nèi)坍縮 成為體積很小的中子星 中子星是一種異常致密的星體 一湯匙中子星物體就有幾億噸質(zhì)量 設(shè)某恒星繞自轉(zhuǎn)軸每45天轉(zhuǎn)一周 它的內(nèi)核半徑R0約為2 107m 坍縮成半徑R僅為6 103m的中子星 試求中子星的角速度 坍縮前后的星體內(nèi)核均看作是勻質(zhì)圓球 解在星際空間中 恒星不會(huì)受到顯著的外力矩 因此恒星的角動(dòng)量應(yīng)該守恒 則它的內(nèi)核在坍縮前后的角動(dòng)量J0 0和J 應(yīng)相等 因 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 代入J0 0 J 中 整理后得 由于中子星的致密性和極快的自轉(zhuǎn)角速度 在星體周圍形成極強(qiáng)的磁場(chǎng) 并沿著磁軸的方向發(fā)出很強(qiáng)的無(wú)線電波 光或X射線 當(dāng)這個(gè)輻射束掃過(guò)地球時(shí) 就能檢測(cè)到脈沖信號(hào) 由此 中子星又叫脈沖星 目前已探測(cè)到的脈沖星超過(guò)300個(gè) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 例題4 14圖中的宇宙飛船對(duì)其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J 2 103kg m2 它以 0 2rad s的角速度繞中心軸旋轉(zhuǎn) 宇航員用兩個(gè)切向的控制噴管使飛船停止旋轉(zhuǎn) 每個(gè)噴管的位置與軸線距離都是r 1 5m 兩噴管的噴氣流量恒定 共是 2kg s 廢氣的噴射速率 相對(duì)于飛船周邊 u 50m s 并且恒定 問(wèn)噴管應(yīng)噴射多長(zhǎng)時(shí)間才能使飛船停止旋轉(zhuǎn) 解把飛船和排出的廢氣看作一個(gè)系統(tǒng) 廢氣質(zhì)量為m 可以認(rèn)為廢氣質(zhì)量遠(yuǎn)小于飛船的質(zhì)量 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 所以原來(lái)系統(tǒng)對(duì)于飛船中心軸的角動(dòng)量近似地等于飛船自身的角動(dòng)量 即 在噴氣過(guò)程中 以dm表示dt時(shí)間內(nèi)噴出的氣體 這些氣體對(duì)中心軸的角動(dòng)量為dm r u v 方向與飛船的角動(dòng)量相同 因u 50m s遠(yuǎn)大于飛船的速率v r 所以此角動(dòng)量近似地等于dm ru 在整個(gè)噴氣過(guò)程中噴出廢氣的總的角動(dòng)量Lg應(yīng)為 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 當(dāng)宇宙飛船停止旋轉(zhuǎn)時(shí) 其角動(dòng)量為零 系統(tǒng)這時(shí)的總角動(dòng)量L1就是全部排出的廢氣的總角動(dòng)量 即為 在整個(gè)噴射過(guò)程中 系統(tǒng)所受的對(duì)于飛船中心軸的外力矩為零 所以系統(tǒng)對(duì)于此軸的角動(dòng)量守恒 即L0 L1 由此得 即 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 于是所需的時(shí)間為 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 例1一長(zhǎng)為l 質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿 可繞光滑軸O在鉛直面內(nèi)擺動(dòng) 當(dāng)桿靜止時(shí) 一顆質(zhì)量為m0的子彈水平射入與軸相距為a處的桿內(nèi) 并留在桿中 使桿能偏轉(zhuǎn)到q 300 求子彈的初速v0 解 分兩個(gè)階段進(jìn)行考慮 其中 1 子彈射入細(xì)桿 使細(xì)桿獲得初速度 因這一過(guò)程進(jìn)行得很快 細(xì)桿發(fā)生偏轉(zhuǎn)極小 可認(rèn)為桿仍處于豎直狀態(tài) 子彈和細(xì)桿組成待分析的系統(tǒng) 無(wú)外力矩 滿足角動(dòng)量守恒條件 子彈射入細(xì)桿前 后的一瞬間 系統(tǒng)角動(dòng)量分別為 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 2 子彈隨桿一起繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng) 以子彈 細(xì)桿及地球構(gòu)成一系統(tǒng) 只有保守內(nèi)力作功 機(jī)械能守恒 選取細(xì)桿處于豎直位置時(shí)子彈的位置為重力勢(shì)能零點(diǎn) 系統(tǒng)在始末狀態(tài)的機(jī)械能為 由角動(dòng)量守恒 得 1 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 由機(jī)械能守恒 E E0 代入q 300 得 將上式與聯(lián)立 并代入J值 得 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 例2A B兩圓盤(pán)繞各自的中心軸轉(zhuǎn)動(dòng) 角速度分別為 wA 50rad s 1 wB 200rad s 1 已知A圓盤(pán)半徑RA 0 2m 質(zhì)量mA 2kg B圓盤(pán)的半徑RB 0 1m 質(zhì)量mB 4kg 試求兩圓盤(pán)對(duì)心銜接后的角速度w 解 以兩圓盤(pán)為系統(tǒng) 盡管在銜接過(guò)程中有重力 軸對(duì)圓盤(pán)支持力及軸向正壓力 但他們均不產(chǎn)生力矩 圓盤(pán)間切向摩擦力屬于內(nèi)力 因此系統(tǒng)角動(dòng)量守恒 得到 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 例 質(zhì)量為M 半徑為R的轉(zhuǎn)盤(pán) 可繞通過(guò)中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng) 開(kāi)始質(zhì)量為m的人相對(duì)轉(zhuǎn)盤(pán)靜止在離轉(zhuǎn)軸中心R 2處 開(kāi)始系統(tǒng)以角速度旋轉(zhuǎn) 然后人相對(duì)于轉(zhuǎn)盤(pán)以速度v垂直于R方向走動(dòng) 與原轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反 求轉(zhuǎn)盤(pán)相對(duì)于地的角速度 已知 求 解 以M m為研究對(duì)象 故角動(dòng)量守恒 以地面為參照 建立轉(zhuǎn)軸的正方向 向下 如圖 M m 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 開(kāi)始人和盤(pán)繞軸角動(dòng)量為 M m 人和轉(zhuǎn)臺(tái)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為 t時(shí)刻人相對(duì)地的角速度為 上式的投影為為 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) M m 根據(jù)題意 人相對(duì)盤(pán)的角速度為 t時(shí)刻系統(tǒng)的角動(dòng)量為 由系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒 可得 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) M m 3 式代入 2 式 可得 上式代入 4 式 可得 可得 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 4 5回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng) 常平架由支在框架L上的內(nèi)外兩個(gè)圓環(huán)組成 外環(huán)能繞光滑支點(diǎn) 所決定的軸自由轉(zhuǎn)動(dòng) 內(nèi)環(huán)能繞與外環(huán)相連的光滑支點(diǎn) 所決定的軸相對(duì)于外環(huán)自由轉(zhuǎn)動(dòng) 陀螺儀D是一個(gè)厚重的 對(duì)稱的轉(zhuǎn)子 其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量非常大 陀螺儀的軸通過(guò)內(nèi)環(huán)上兩個(gè)光滑支點(diǎn) 因此它可繞 軸相對(duì)于內(nèi)環(huán)自由轉(zhuǎn)動(dòng) 通過(guò)陀螺儀的重心 這樣 陀螺儀就不會(huì)受重力的力矩作用 且能在空間任意取向 一旦當(dāng)陀螺儀繞其對(duì)稱軸高速旋轉(zhuǎn) 其轉(zhuǎn)速甚至可以高達(dá)每秒鐘上千圈 之后 不管我們?nèi)绾我苿?dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)常平架 都不能使陀螺儀的轉(zhuǎn)軸 在空間的取向發(fā)生變化 即陀螺儀總是指向空間某一確定方向而保持其角動(dòng)量守恒 三軸相互垂直 而且都 進(jìn)動(dòng) 高速旋轉(zhuǎn)的物體 其自轉(zhuǎn)軸繞另一個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的現(xiàn)象 4 5 2進(jìn)動(dòng) 杠桿陀螺儀 進(jìn)動(dòng)原因 剛體受重力矩 dt時(shí)間內(nèi)角動(dòng)量增量 因 所以自轉(zhuǎn)軸發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng) 產(chǎn)生進(jìn)動(dòng) 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) 玩具陀螺的回轉(zhuǎn)效應(yīng) 用角動(dòng)量定理研究進(jìn)動(dòng) 由角動(dòng)量定理 所以 進(jìn)動(dòng)角速度 返回本章目錄 下一頁(yè) 上一頁(yè) C 技術(shù)上利用進(jìn)動(dòng)的一個(gè)實(shí)例是炮彈在空中的飛行 圖4 23 炮彈在飛行時(shí) 要受到空氣阻力的作用 阻力 阻力的作用 阻力 的方向總與炮彈質(zhì)心的速度 方向相反 但其合力不一定通過(guò)質(zhì)心 阻力對(duì)質(zhì)心的力矩就會(huì)使炮彈在空中翻轉(zhuǎn) 這樣 當(dāng)炮彈射中目標(biāo)時(shí) 就有可能是彈尾先觸目標(biāo)而不引爆 從而喪失威力 為了避免這種事故 就在炮筒內(nèi)壁上刻出螺旋線 這種螺旋線叫來(lái)復(fù)線 當(dāng)炮彈由于發(fā)射藥的爆炸被強(qiáng)力推出炮筒時(shí) 還同時(shí)繞自己的對(duì)稱軸高速旋轉(zhuǎn) 由于這種旋轉(zhuǎn) 它在飛行中受到的空氣阻力的力矩將不能使它翻轉(zhuǎn) 而只是使它繞著質(zhì)心前進(jìn)的方向進(jìn)動(dòng) 這樣 它的軸線將會(huì)始終只與前進(jìn)的方向有不大的偏離 而彈頭就總是大致指向前方了 的方向總與炮彈質(zhì)心的速度