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第5篇 量子物理基礎 Planck普朗克 Einstein愛因斯坦 Compton康普頓 Davisson戴維孫 Wein維恩 Rutherford盧瑟福 Bohr玻爾 Sommerfeld索末非 lenard勒納德 Thomson湯姆孫 chadwick查德威克 becquerel貝克勒爾 Frank夫蘭克 Hertz赫茲 whbragg布拉格 wlbragg布拉格 bothe玻色 Zeeman塞曼 pauli泡利 Stark斯達克 Stern斯特恩 李政道 楊振林 weinberg溫伯格 wigner魏格納 Willson威爾孫 braun布勞恩 Salam薩拉姆 Born波恩 Heisenberg海森伯 Schrdinger薛定諤 deBroglie德布羅易 Feynman費曼 Dirac狄拉克 Landau郎道 吳健雄 fermi費米 Mayer梅耶 glashow格拉肖 jensen吉孫 丁肇忠 Cooper庫伯 霍金 FirstSolvayConference1911輻射和量子 1927年索耳威第五屆會議主題是電子與光學 1933第七屆索耳威會議原子核的構造和性質 SolvayPhysicsCongress 1921 第17章量子力學基礎 1 量子力學發(fā)展線索 17 0章序 黑體輻射研究 能量子觀念 康普頓實驗 光量子觀念 德布羅易假設 波粒二象性 量子力學體系 2 本章內容結構 1 實物粒子的波粒二象性與不確定關系 2 薛定諤方程的建立及初步應用 3 原子中電子的存在狀況 17 1微觀粒子的波粒二象性 一德布羅易物質波觀念 1 德布羅易物質波觀念的提出 光的波動學說 光的波粒二象性 2 德布羅易物質波觀念的數(shù)學表述 結論 實物粒子不僅具有粒子性 同時也具有波動性實物粒子的波粒二象性是其內稟屬性 實物粒子的波粒二象性數(shù)學表述是通過類比光的波粒二象性得到的 討論 I 德布羅易關系式的物理意義II 對實物粒子 德布羅易關系式的兩個公式互相獨立 III 物質微粒的能量是指其總能量 而不是粒子的動能粒子低速運動時 可用粒子動能代替其總能量求解波長 例 電子的總能量可寫為 推算 物質波波長計算公式 并得到低速近似計算公式 解 由狹義相對論 文獻查閱 文先俊 簡述建立量子力學基本原理的思想方法 高等函授學報 1997 vol 4 p29 33 3 由德布羅易關系得到的若干結論 I宏觀粒子的波長極小 僅顯示出極其微弱的波動性 例 已知 微塵 m1 10 15kg v1 10 2m s 小球 m2 10 3kgv2 10 1m s 電子 m3 9 11 10 31kg v3 5 107m s求 它們各自的德布羅意波長 解 微塵 小球 II由德布羅易關系得到玻爾量子條件 駐波條件 電子回轉一周的周長應為其波長整數(shù)倍 即 討論作用量 稱與mrv有相同量綱的物理量為系統(tǒng)作用量結論 當微觀粒子的作用量與h可相比擬時 該系統(tǒng)稱量子系統(tǒng) 思考題 無限深勢阱中粒子能量量子化 III由德布羅易關系得到氫原子基態(tài)能量 解 氫原子能量 E對r求極值 可得 小結 由德布羅易關系推導出的若干結論與已有理論或實驗結果是一致的 初步檢驗了它的合理性 二德布羅意波的實驗驗證 1 戴維遜 革末實驗 實驗裝置 實驗現(xiàn)象集電器電流強度隨電壓單調增加作周期性變化周期變化滿足布拉格公式 理論分析 對鎳單晶 d 0 91 實驗時 65 V 54V理論波長 1 67 實驗波長 1 65 三實物粒子波粒二象性的物理圖象 1 波包 解釋 2 鬼場 解釋 約束粒子的導波產(chǎn)生機制問題 3 實物粒子波粒二象性的統(tǒng)計解釋例 分析電子的雙縫衍射實驗 并說明玻恩統(tǒng)計解釋的觀點思考 從實驗現(xiàn)象中總結波函數(shù)的物理意義 18 2 不確定關系 一不確定關系的內涵 1 不確定關系的引入 由于粒子的波粒二象性 描述粒子經(jīng)典軌道運動的參量 已經(jīng)不能描述量子粒子的運動狀況描述量子粒子運動時 繼續(xù)沿用軌道參量 但它們不再具有經(jīng)典物理中的軌道物理圖像 2 不確定關系的特例說明 以單電子單縫衍射中 電子坐標與動量的不確定關系為例 忽略次極大時 電子在x方向動量范圍 電子在x方向動量不確定度 有 3 不確定關系 典型特例表示方法 討論不確定關系是微觀粒子的內稟屬性 是波粒二象性的結果任何一對廣義動量與廣義坐標之乘積都滿足不確定關系不確定關系的本質含義是 任何一對廣義動量與廣義坐標在理論上不可能同時具有確定值不確定關系只有在量子系統(tǒng)中才明顯表現(xiàn)出來利用不確定關系估算物理參量時應注意的問題 二不確定關系的應用舉例 例 小球質量m 10 3kg 速度v 0 1m s 位置不確定度 x 10 6m求 1 小球的作用量 2 小球動量 速度不確定度 解 1 作用量 2 由可得 對作用量遠大于h的經(jīng)典物理系統(tǒng) 廣義動量與廣義坐標是可以被同時精確測定 1 不確定關系適用的條件 例 電子的質量me 9 1 10 31kg 氫原子的半徑為10 10m數(shù)量級求 1 電子的作用量 2 測量電子速度時的不確定度 解 1 作用量 2 由可得 作用量與h相當?shù)牧孔酉到y(tǒng) 不確定關系將起很重要作用 此時 不能再用經(jīng)典理論討論物理系統(tǒng)的運動規(guī)律 例 顯象管中電子運動速度為107m s數(shù)量級 電子束橫截面尺寸為10 4m數(shù)量級求 1 顯象管中電子的作用量 2 電子橫向速度的不確定度 解 1 作用量 2 由可得 不能單純以物理對象是否十分 微小 來判定該系統(tǒng)屬于經(jīng)典或量子系統(tǒng) 而必須依據(jù)其作用量是否與h相當來判定 2 不確定關系在估算物理量中的應用 例 用不確定關系 估算氫原子中可能有的最低能量 解 不計原子核運動時 氫原子的能量就是原子中電子的能量 取 因 將上式代入能量表達式 求極值 例 利用不確定關系估算譜線的自然寬度 取 t 10 8s 解 能級寬度 原子中電子的能級有一個寬度電子壽命 電子在每一個能級上停留的時間譜線的自然寬度 電子在能級間躍遷時的頻率寬度 18 3 波函數(shù) 一波函數(shù)的引入 1 用波函數(shù)描述微觀粒子運動規(guī)律觀念的提出 2 波函數(shù)引入的思路 從波動性角度描述微觀粒子運動 自由粒子運動規(guī)律以平面波描述 束縛粒子運動規(guī)律通過動力學方程給出 與經(jīng)典波動對應 討論引入波函數(shù)概念是微觀粒子波粒二象性的必然結果波函數(shù)引入的思路同時給出了波動量子力學數(shù)學體系的建立思路 3 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋例 分析電子的雙縫衍射實驗 并說明玻恩統(tǒng)計解釋的觀點 波函數(shù)模之平方代表粒子取得某一物理量值的幾率量子力學中波函數(shù)不代表任何實在形式的物質波 4 幾率波的數(shù)學表述 討論波函數(shù)可乘以任意常數(shù)而不影響其幾率相對強弱的分布波函數(shù)應該滿足歸一化條件 自由粒子平面波函數(shù)例外 數(shù)學表述 歸一化波函數(shù)可以寫為 幾率密度 三量子力學中波函數(shù)的基本特征 1 波函數(shù)必須是復數(shù)波函數(shù)形式 思考題 2 波函數(shù)可以相差一個相位因子 例 設 1 2為體系的兩個可能狀態(tài) 作如下三種線性疊加 B和C 3 量子力學中波函數(shù)應該滿足標準條件 波函數(shù)的標準條件是 單值 連續(xù) 有限 4 量子力學中波函數(shù)應當滿足態(tài)疊加原理 態(tài)疊加原理如果 1 2分別是粒子存在的一個可能狀態(tài) 那么 它們的線性疊加 1 2 也是粒子的一個可能狀態(tài) 當粒子處于 1和 2的線性疊加態(tài)時 微觀粒子同時處于 1和 2態(tài)各粒子出現(xiàn)的幾率為 例 設一維空間運動粒子的波函數(shù)可以表述為 其中 A為任意常數(shù) E b為確定常數(shù)求 歸一化波函數(shù) 幾率密度 解 由歸一化條件 歸一化常數(shù) 歸一化波函數(shù) 幾率密度 最大幾率密度點 17 4 非相對論薛定諤方程 一建立薛定諤方程的限制條件 1 動力學微分方程的解必須是線性的2 微分方程中的系數(shù)不應包含狀態(tài)參量 二非相對論的薛定諤方程 1 一維自由粒子非相對論的薛定諤方程 一維自由粒子非相對論的波函數(shù)為 非相對論的薛定諤方程 2 非相對論的薛定諤方程的一般形式及討論 將自由粒子薛定諤方程中能量推廣為粒子的總能量 就可得到一般粒子的薛定諤方程 引入算符 則薛定諤方程可以寫為 一般形式下的薛定諤方程 討論薛定諤方程反映量子微觀粒子體系的運動規(guī)律如果量子微觀粒子體系的勢函數(shù)不含時間變量t 對應的薛定諤方程可以寫為定態(tài)薛定諤方程 其中 三定態(tài)薛定諤方程的應用舉例 1 一維無限深勢阱問題 例 求解一維無限深方勢阱問題 解 束縛態(tài) 量子粒子在保守力場下被限制在一定空間范圍內的狀態(tài) 稱為束縛態(tài) 泛定方程的通解為 代入邊界條件 于是歸一化波函數(shù)為 本征能量 討論一維無限深勢阱的波函數(shù)實際上為駐波解一維無限深勢阱中的微觀粒子并不在勢阱中各點均勻出現(xiàn) 一維無限深勢阱中微觀粒子的能量只能取分離值 且與n相關 稱這些分離能量值為能量的本征值微觀粒子的最低能量稱為它的基態(tài)能量 一維無限深勢阱中粒子的基態(tài)能量不為零 稱為零點能 例 設質量為m的粒子處在寬度為a的一維無限深方勢阱中求 1 粒子在0 x a 4區(qū)間中出現(xiàn)的幾率 并對n 1和n 的情況算出概率值 2 在哪些量子態(tài)上 a 4處概率最大 解 1 粒子在0 x a 4區(qū)間中出現(xiàn)的幾率 已知粒子定態(tài)波函數(shù) 概率密度 粒子出現(xiàn)在0 x a 4區(qū)間中出現(xiàn)的幾率 n 1時 n 時 2 在哪些量子態(tài)上 a 4處概率最大 k 0 1 2 時 幾率取得極大 此時 n 2 6 10 2 一維方形勢壘與隧道效應問題 2 一維線形諧振子問題 A 泛定方程及化簡 勢函數(shù) S eq 令 S eq 1 定解問題 B 定解問題 2 定解問題求解 A 漸近解 B 本證值問題 波函數(shù) 歸一常數(shù) 本證值 本證能量 2 討論 A 零點能問題B 在其它領域中的應用 例 一維方形勢壘與隧道效應問題 勢能曲線寫為 解 1 定解問題 2 定解問題求解 A 在情況下 令 將上面各式乘以時間因子 考慮邊界條件 有 考慮到幾率密度 入射波的幾率密度 透射波的幾率密度 反射波的幾率密度 定義透射系數(shù) 反射系數(shù) B 當E 0時 k2為虛數(shù) 令k3為實數(shù) 前面的計算仍成立 經(jīng)計算 得 其中 討論 于是 k1 k3具有相同數(shù)量級 時 于是 透射系數(shù)隨勢壘寬度的增加而減小 ii 任意勢壘的透射系數(shù) iii 常見的隧道效應現(xiàn)象及應用 a 全反射的透射光b 導線接頭處的電流c STM隧道掃描顯微鏡 任意形狀的勢壘 18 5量子力學對氫原子的描述 一氫原子的定態(tài)薛定諤方程與求解 1 氫原子的定態(tài)薛定諤方程 在球坐標系下 薛定諤方程為 分離變量運算 可得到如下三個方程 其中 ml為待定系數(shù) 2 氫原子的定態(tài)薛定諤方程的解 1 徑向波函數(shù)與能量量子化 徑向本征函數(shù) 其中 a0是玻爾第一軌道半徑 是締合拉蓋爾多項式 能量本征值 其中 討論 A 關于能量本征值 量子力學得到的氫原子能量本征值與玻爾理論給出的相同 徑向波函數(shù)表明 對同一個n 有n個電子的不同運動狀態(tài)簡并態(tài) 對物理量 如果不同微觀粒子運動狀態(tài)對應相同的 值 稱這些運動狀態(tài)是物理量 的簡并態(tài)簡并度 m個不同微觀粒子運動狀態(tài)對應相同的 值 稱物理量 是m度簡并的主能量量子數(shù)n 主量子數(shù) 能量量子數(shù) B 量子數(shù)與物理模型 相同量子數(shù)n的所有軌道 n個 組成同一電子殼層 相同n 不同l的每一個軌道稱為一個電子亞殼層 2 角向波函數(shù)與角動量量子化 將已得量子數(shù)取值代入分離變量式的第一和第二式并求解 可以得到如下結論 m為空間量子數(shù) 或稱磁量子數(shù) 討論 量子力學中角動量的數(shù)學表達式與玻爾理論得到的不同 角動量量子數(shù)的取值范圍也不相同角動量量子數(shù)分別取1 2 3 4 5 6 7 時 分別稱微觀粒子處于s p d f g h i 等電子狀態(tài)角動量為矢量 滿足平行四邊形合成法則 3 角動量的空間量子化 解分離變量式中的第一式 容易得到以下結論 討論 角動量z方向的量子化角動量z方向 磁場方向稱為z方向空間量子化現(xiàn)象 3 斯特恩 O stern 革拉赫W Gerlach 實驗 1 stern Gerlach實驗 i 實驗裝置 ii 實驗現(xiàn)象 2 實驗現(xiàn)象解釋與自旋量子數(shù) i 量子力學中的角動量合成法則 角動量l1與角動量l2合成的總角動量記為J 則 例 設l1 1 l2 3 計算合成的角動量值 解 首先計算合成角動量量子數(shù)j的取值范圍 于是 合成角動量值為 ii stern Gerlach實驗現(xiàn)象解釋與自旋量子數(shù) 設處于l量子態(tài)上的電子有自旋角動量S 則其總角動量J為 對基態(tài)銀原子 已知l 0 于是 依據(jù)氫原子理論 角動量在磁場中會發(fā)生空間取向量子化 且 磁量子數(shù)ml的取值范圍 應用于基態(tài)銀原子 有共有2s 1種可能取值 因實驗發(fā)現(xiàn)共有2條銀原子斑紋 即 討論 電子自旋角動量 電子自旋角動量的z分量 二原子中電子運動狀態(tài)描述 18 6Pauli不相容原理與元素周期表 一能量最低原理 原子中電子總是首先填充在能量最低的軌道上穩(wěn)定態(tài)的原子體系 其總能量最低 二原子實與能級交錯現(xiàn)象 1 原子實 原子實 原子核與內層電子組成的系統(tǒng) 2 軌道貫穿與能級交錯 i 價電子軌道貫穿理論 ii 外層電子排布的能級交錯現(xiàn)象 能級交錯現(xiàn)象 能級交錯現(xiàn)象只發(fā)生在外層電子排序未滿情況 三Pauli不相容原理與殼層電子數(shù) 1 玻色子與費米子 玻色子 s 2k 1 2的粒子費米子 s k的粒子 2 Pauli不相容原理 不可能有兩個或兩個以上的費米子處于同一個狀態(tài) 3 殼層電子數(shù) 描述電子狀態(tài)的量子數(shù)n l ml msn 1 2 ml l l 1 0 ll n 0 1 n 1ms 1 2 1 2 相同n l ml殼層容許最多電子數(shù) 2相同n l殼層容許最多電子數(shù) 2 2l 1 相同n殼層容許最多電子數(shù) 結論每一主殼層最多可容納的電子數(shù)為2n2個每增加一個主殼層 元素周期增加1 故各周期元素數(shù)目為2 8 8 18 四元素性質的周期變化與元素周期表 元素物理性質的周期變化元素化學性質的周期變化 18 7量子力學的基本公設 波函數(shù)假設任何微觀粒子都具有波粒二象性 其行為都可用波函數(shù)描寫量子力學中的算符都是厄米算符量子力學中所有粒子運動規(guī)律都可以用薛定諤方程求解粒子的全同性原理粒子不可識別玻色子波函數(shù)滿足交換對稱性費米子波函數(shù)滿足交換反對稱性