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2019-2020年蘇教版選修2-3高中數(shù)學(xué)3.2《回歸分析》word導(dǎo)學(xué)案 學(xué)習(xí)目標(biāo) 重點(diǎn)、難點(diǎn) 1．進(jìn)一步掌握回歸直線方程的求解方法； 2．體會(huì)回歸分析的基本思想，能判斷不同模型的擬合程度. 重點(diǎn)：利用所給數(shù)據(jù)求線性回歸直線方程． 難點(diǎn)：函數(shù)模型的選取和確立以及函數(shù)擬合. 1．線性回歸方程 ＝＋x稱為數(shù)據(jù)的回歸直線，此直線方程即為線性回歸方程，其中稱為回歸截距，稱為回歸系數(shù)，稱為回歸值，其中： 預(yù)習(xí)交流1 線性回歸直線方程＝＋x與一次函數(shù)y＝a＋kx有何區(qū)別？ 提示：一次函數(shù)y＝a＋kx是y與x的確定關(guān)系，給x一個(gè)值，y有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，而線性回歸直線方程是y與x的相關(guān)關(guān)系的近似反映，兩個(gè)數(shù)據(jù)x，y組成的點(diǎn)(x，y)可能適合線性回歸直線方程，也可能不適合． 2．相關(guān)系數(shù) 對(duì)于x，y隨機(jī)取到的n對(duì)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)樣本，相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式為：r＝＝，r具有如下性質(zhì)： (1)|r|≤1；(2)|r|越接近于1，x，y的線性程度越高；(3)|r|越接近于0，x，y的線性相關(guān)程度越弱． 預(yù)習(xí)交流2 如何利用r的臨界值判斷兩個(gè)變量的線性相關(guān)關(guān)系？ 提示：(1)提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)H0：變量x，y不具有線性相關(guān)關(guān)系； (2)如果以95%的把握作出推斷，那么可以根據(jù)1－0.95＝0.05與n－2在相關(guān)性檢驗(yàn)的臨界值表中查出一個(gè)r的臨界值r0.05(其中1－0.95＝0.05稱為檢驗(yàn)水平)； (3)計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)r； (4)作出統(tǒng)計(jì)推斷：若|r|＞r0.05，則否定H0，表明有95%的把握認(rèn)為x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系；若|r|≤r0.05，則沒有理由拒絕原來的假設(shè)H0，即就目前數(shù)據(jù)而言，沒有充分理由認(rèn)為y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系． 在預(yù)習(xí)中，還有哪些問題需要你在聽課時(shí)加以關(guān)注？請(qǐng)?jiān)谙铝斜砀裰凶鰝€(gè)備忘吧！ 我的學(xué)困點(diǎn) 我的學(xué)疑點(diǎn) 1．線性回歸方程的求法 某醫(yī)院用光電比色計(jì)檢驗(yàn)?zāi)蚬瘯r(shí)，得尿汞含量(毫克/升)與消光系數(shù)如下表： 汞含量x 2 4 6 8 10 消光系數(shù)y 64 138 205 285 360 (1)作散點(diǎn)圖； (2)如果y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程． 思路分析：求回歸直線方程必須先對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行相關(guān)性判斷，若兩個(gè)變量存在較大的相關(guān)性，則可利用公式求回歸直線方程的系數(shù)；若兩個(gè)變量不具備相關(guān)關(guān)系，則求回歸直線方程將變得毫無意義． 解：(1)散點(diǎn)圖如圖． (2)由散點(diǎn)圖可知，y與x呈相關(guān)關(guān)系，設(shè)回歸直線方程為：＝x＋. 經(jīng)計(jì)算，得＝6，＝210.4，x＝220，xiyi＝7 790. ∴＝＝36.95， ＝210.4－36.956＝－11.3. ∴回歸直線方程為＝36.95x－11.3. 某地植被面積x(公頃)與當(dāng)?shù)貧鉁叵陆档亩葦?shù)y(℃)之間有如下的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)： x(公頃) 20 40 50 60 80 y(℃) 3 4 4 4 5 (1)請(qǐng)用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程＝x＋； (2)根據(jù)(1)中所求線性回歸方程，如果植被面積為200公頃，則下降的氣溫大約是多少℃？ 解：(1)＝＝50， ＝＝4. iyi＝203＋404＋504＋604＋805＝1 060， ＝202＋402＋502＋602＋802＝14 500. 所以＝＝0.03，＝4－0.0350＝2.5. 故y關(guān)于x的線性回歸方程＝0.03x＋2.5. (2)由(1)得：當(dāng)x＝200時(shí)，＝0.03200＋2.5＝8.5. 所以植被面積為200公頃時(shí)，下降的氣溫大約是8.5 ℃. 先作出散點(diǎn)圖可直觀地判斷兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系，線性回歸直線方程一定過樣本中心(，)． 2．相關(guān)系數(shù)及相關(guān)性檢驗(yàn) 現(xiàn)隨機(jī)抽取了我校10名學(xué)生在入學(xué)考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)(x)與入學(xué)后的第一次考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)(y)，數(shù)據(jù)如下表： 學(xué)生號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108 y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71 試問：這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)考試成績(jī)是否具有顯著性線性相關(guān)關(guān)系？ 思路分析：先利用相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式r＝計(jì)算出r，當(dāng)|r|越接近于1時(shí)，兩個(gè)變量越具有很強(qiáng)的線性關(guān)系． 解：由題意得：＝(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8， ＝(84＋64＋…＋57＋71)＝68， ＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116 584， ＝842＋642＋…＋572＋712＝47 384， iyi＝12084＋10864＋…＋10871＝73 796， ∴r＝ ≈0.750 6. ∵0.750 6接近于1，∴兩次數(shù)學(xué)考試成績(jī)有顯著性線性相關(guān)關(guān)系． 煉鋼是一個(gè)氧化降碳的過程，鋼水含碳量的多少直接影響冶煉時(shí)間的長(zhǎng)短，必須掌握鋼水含碳量和冶煉時(shí)間的關(guān)系，如果已測(cè)得爐料熔化完畢時(shí)，鋼水的含碳量x與冶煉時(shí)間y(從爐料熔化完畢到出鋼的時(shí)間)的一列數(shù)據(jù)，如下表所示： x(0.01%) 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121 y/min 100 200 210 185 155 135 170 205 235 125 根據(jù)數(shù)據(jù)分析以下幾個(gè)問題： (1)y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系？ (2)如果y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程． (3)預(yù)測(cè)當(dāng)鋼水含碳量為160個(gè)0.01%時(shí)，應(yīng)冶煉多少分鐘？ 解：(1)列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121 yi 100 200 210 185 155 135 170 205 235 125 xiyi 10 400 36 000 39 900 32 745 22 785 18 090 25 500 39 155 47 940 15 125 ＝159.8，＝172， xi2＝265 448，yi2＝312 350，xiyi＝287 640 于是r＝≈0.990 6. ∵0.990 6非常接近于1， ∴y與x具有顯著的線性相關(guān)關(guān)系． (2)設(shè)所求的線性回歸方程為＝x＋，其中，的值使Q＝(yi－xi－)2的值最小． ＝≈1.267， ＝－≈－30.47， 即所求的線性回歸方程為 ＝1.267x－30.47. (3)當(dāng)x＝160時(shí)，＝1.267160－30.47≈172，即大約冶煉172 min. 如果兩個(gè)變量不具備線性相關(guān)關(guān)系或者線性相關(guān)關(guān)系不顯著，即使求出線性回歸方程也無意義，用于估計(jì)和測(cè)量的結(jié)果也是不可信的． 1．已知x，y的數(shù)據(jù)如表： x 0 1 2 3 y 1 3 5－a 7＋a 則y與x的回歸直線方程＝x＋必過定點(diǎn)__________． 答案： 解析：＝(0＋1＋2＋3)＝. ＝(1＋3＋5－a＋7＋a)＝4， 而＝x＋過(，)． 2．已知x，y的取值如下表所示： x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 從散點(diǎn)圖分析，y與x線性相關(guān)，且＝0.95x＋，則＝__________. 答案：2.6 解析：＝(0＋1＋3＋4)＝2， ＝(2.2＋4.3＋4.8＋6.7)＝4.5. 4．5＝0.952＋， ∴＝2.6. 3．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表 廣告費(fèi)用x(萬元) 4 2 3 5 銷售額y(萬元) 49 26 39 54 根據(jù)上表可得回歸方程＝x＋中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為__________． 答案：65.5萬元 解析：＝3.5，＝4.2， ∵4.2＝9.43.5＋，∴＝9.1. ∴＝9.4x＋9.1. 當(dāng)x＝6時(shí)，＝65.5(萬元)． 4．如下表中給出五組數(shù)據(jù)(x，y)，從中選出四組使其線性相關(guān)最大，且保留第一組(－5，－3)，那么，應(yīng)去掉第__________組. i 1 2 3 4 5 xi －5 －4 －3 －2 4 yi －3 －2 4 －1 6 答案：三 解析：應(yīng)去掉第三組；畫散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn)． 5．一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了4次試驗(yàn)．收集的數(shù)據(jù)如下： 零件個(gè)數(shù)x(個(gè)) 1 2 3 4 加工時(shí)間y(小時(shí)) 2 3 5 8 (1)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程＝x＋； (2)現(xiàn)需生產(chǎn)20件此零件，預(yù)測(cè)需用多長(zhǎng)時(shí)間？ 解：(1)＝＝2.5，＝＝4.5， ＝＝＝2， ＝－＝4.5－22.5＝－0.5， 所以＝2x－0.5. (2)因?yàn)椋?20－0.5＝39.5(小時(shí))， 所以生產(chǎn)20件此零件，預(yù)測(cè)需用39.5小時(shí)． 用精練的語言把你當(dāng)堂掌握的核心知識(shí)的精華部分和基本技能的要領(lǐng)部分寫下來，并進(jìn)行識(shí)記． 知識(shí)精華 技能要領(lǐng)