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8.1　空間幾何體的表面積和體積 【真題典例】 挖命題 【考情探究】 考點 內(nèi)容解讀 5年考情 預(yù)測熱度 考題示例 考向 關(guān)聯(lián)考點 1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征,并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu) 2016天津,11 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 三視圖 ★★★ 2015天津,10 2014天津,10 2.空間幾何體的表面積和體積 理解球、柱體、錐體、臺體的表面積和體積的計算公式(不要求記憶公式) 2018天津,11 空間幾何體的表面積和體積 正方體的性質(zhì) ★★★ 分析解讀　　1.理解多面體、棱柱、棱錐、棱臺的概念,牢記它們的幾何特征;2.理解圓柱、圓錐、圓臺、球等幾何體的形成過程,正確把握軸截面、中截面的含義及掌握將圓柱、圓錐、圓臺的空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的方法;3.理解柱、錐、臺、球(無側(cè)面積)的側(cè)面積、表面積和體積的概念;4.結(jié)合模型,在理解的基礎(chǔ)上熟練掌握柱、錐、臺、球的表面積公式和體積公式;5.備考時關(guān)注以柱、錐與球的接、切問題為命題背景,突出空間幾何體的線面位置關(guān)系的試題;6.高考對本節(jié)內(nèi)容的考查以計算幾何體的表面積和體積為主,分值約為5分,屬于中檔題. 破考點 【考點集訓(xùn)】 考點一　空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 1.下列結(jié)論正確的是(　　) A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐 B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐　　　　C.棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等,則此棱錐可能是六棱錐 D.圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是母線 答案　D　 考點二　空間幾何體的表面積和體積 2.(2015北京,5,5分)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的表面積是(　　) A.2+5　　　　B.4+5　　　　C.2+25　　　　D.5 答案　C　 3.(2015安徽改編,19,13分)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60.求三棱錐P-ABC的體積. 解析　由AB=1,AC=2,∠BAC=60, 可得S△ABC=12ABACsin60=32. 由PA⊥平面ABC,可知PA是三棱錐P-ABC的高,又PA=1, 所以三棱錐P-ABC的體積 V=13S△ABCPA=36. 煉技法 【方法集訓(xùn)】 方法1　空間幾何體表面積與體積的求解方法 1.(2016課標(biāo)Ⅱ文,4,5分)體積為8的正方體的頂點都在同一球面上,則該球的表面積為(　　) A.12π　　　　B.323π　　　　C.8π　　　　D.4π 答案　A　 2.(2016北京,6,5分)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為(　　) A.16　　　　B.13　　　　C.12　　　　D.1 答案　A　 3.(2015課標(biāo)Ⅰ,6,5分)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有(　　) A.14斛　　　　B.22斛　　　　C.36斛　　　　D.66斛 答案　B　 4.(2018江蘇,10,5分)如圖所示,正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為　　　　. 答案　43 5.(2014山東文,13,5分)一個六棱錐的體積為23,其底面是邊長為2的正六邊形,側(cè)棱長都相等,則該六棱錐的側(cè)面積為　　　　. 答案　12 方法2　與球有關(guān)的切、接問題的求解方法 6.(2015課標(biāo)Ⅱ,10,5分)已知A,B是球O的球面上兩點,∠AOB=90,C為該球面上的動點.若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為(　　) A.36π　　　　B.64π　　　　C.144π　　　　D.256π 答案　C　 7.(2017課標(biāo)Ⅱ,15,5分)長方體的長,寬,高分別為3,2,1,其頂點都在球O的球面上,則球O的表面積為　　　　. 答案　14π 8.(2017天津,11,5分)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上,若這個正方體的表面積為18,則這個球的體積為　　　　. 答案　92π 過專題 【五年高考】 A組　自主命題天津卷題組 1.(2016天津,11,5分)已知一個四棱錐的底面是平行四邊形,該四棱錐的三視圖如圖所示(單位:m),則該四棱錐的體積為　　　　m3. 答案　2 2.(2015天津,10,5分)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為　　　　m3. 答案　83π 3.(2014天津,10,5分)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為　　　　m3. 答案　20π3 4.(2018天津,11,5分)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,除面ABCD外,該正方體其余各面的中心分別為點E,F,G,H,M(如圖),則四棱錐M-EFGH的體積為　　　　. 答案　112 B組　統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組 1.(2017課標(biāo)Ⅲ,8,5分)已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上,則該圓柱的體積為(　　) A.π　　　　B.3π4　　　　C.π2　　　　D.π4 答案　B　 2.(2014課標(biāo)Ⅱ,7,5分)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2,側(cè)棱長為3,D為BC中點,則三棱錐A-B1DC1的體積為(　　) A.3　　　　B.32　　　　C.1　　　　D.32 答案　C　 3.(2014大綱全國,8,5分)正四棱錐的頂點都在同一球面上.若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球的表面積為(　　) A.81π4　　　　B.16π　　　　C.9π　　　　D.27π4 答案　A　 4.(2014陜西,5,5分)已知底面邊長為1,側(cè)棱長為2的正四棱柱的各頂點均在同一個球面上,則該球的體積為(　　) A.32π3　　　　B.4π　　　　C.2π　　　　D.4π3 答案　D　 5.(2018課標(biāo)Ⅱ,16,5分)已知圓錐的頂點為S,母線SA,SB所成角的余弦值為78,SA與圓錐底面所成角為45.若△SAB的面積為515,則該圓錐的側(cè)面積為　　　　. 答案　402π 6.(2015江蘇,9,5分)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個.若將它們重新制作成總體積與高均保持不變,但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個,則新的底面半徑為　　　　. 答案　7 7.(2018課標(biāo)Ⅰ,18,12分)如圖,在平行四邊形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90.以AC為折痕將△ACM折起,使點M到達點D的位置,且AB⊥DA. (1)證明:平面ACD⊥平面ABC; (2)Q為線段AD上一點,P為線段BC上一點,且BP=DQ=23DA,求三棱錐Q-ABP的體積. 解析　(1)證明:由已知可得,∠BAC=90,BA⊥AC. 又BA⊥AD,所以AB⊥平面ACD. 又AB?平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC. (2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=32. 又BP=DQ=23DA,所以BP=22. 如圖,作QE⊥AC,垂足為E,則QE??13DC. 由已知及(1)可得DC⊥平面ABC, 所以QE⊥平面ABC,QE=1. 因此,三棱錐Q-ABP的體積為 13S△ABPQE=1312322sin451=1. 規(guī)律總結(jié)　證明空間線面位置關(guān)系的一般步驟: (1)審清題意:分析條件,挖掘題目中平行與垂直的關(guān)系; (2)明確方向:確定問題的方向,選擇證明平行或垂直的方法,必要時添加輔助線; (3)給出證明:利用平行、垂直關(guān)系的判定或性質(zhì)給出問題的證明; (4)反思回顧:查看關(guān)鍵點、易漏點,檢查使用定理時定理成立的條件是否遺漏,符號表達是否準(zhǔn)確. 解題關(guān)鍵　(1)利用平行關(guān)系將∠ACM=90轉(zhuǎn)化為∠BAC=90是求證第(1)問的關(guān)鍵; (2)利用翻折的性質(zhì)將∠ACM=90轉(zhuǎn)化為∠ACD=90,進而利用面面垂直的性質(zhì)定理及線面垂直的性質(zhì)定理得出三棱錐Q-ABP的高是求解第(2)問的關(guān)鍵. 8.(2017課標(biāo)Ⅱ文,18,12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,∠BAD=∠ABC=90. (1)證明:直線BC∥平面PAD; (2)若△PCD的面積為27,求四棱錐P-ABCD的體積. 解析　本題考查線面平行的判定和體積的計算. (1)證明:在平面ABCD內(nèi), 因為∠BAD=∠ABC=90,所以BC∥AD, 又BC?平面PAD,AD?平面PAD,故BC∥平面PAD. (2)取AD的中點M,連接PM,CM. 由AB=BC=12AD及BC∥AD,∠ABC=90得四邊形ABCM為正方形,則CM⊥AD. 因為側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PM⊥AD,PM⊥底面ABCD. 因為CM?底面ABCD,所以PM⊥CM. 設(shè)BC=x,則CM=x,CD=2x,PM=3x,PC=PD=2x. 取CD的中點N,連接PN, 則PN⊥CD,所以PN=142x. 因為△PCD的面積為27,所以122x142x=27, 解得x=-2(舍去)或x=2.于是AB=BC=2,AD=4,PM=23. 所以四棱錐P-ABCD的體積V=132(2+4)223=43. 9.(2016課標(biāo)Ⅱ文,19,12分)如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O,點E,F分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點H.將△DEF沿EF折到△DEF的位置. (1)證明:AC⊥HD; (2)若AB=5,AC=6,AE=54,OD=22,求五棱錐D-ABCFE的體積. 解析　(1)證明:由已知得AC⊥BD,AD=CD. 又由AE=CF得AEAD=CFCD,故AC∥EF.(2分) 由此得EF⊥HD,EF⊥HD,所以AC⊥HD.(4分) (2)由EF∥AC得OHDO=AEAD=14.(5分) 由AB=5,AC=6得DO=BO=AB2-AO2=4. 所以O(shè)H=1,DH=DH=3. 于是OD2+OH2=(22)2+12=9=DH2,故OD⊥OH. 由(1)知AC⊥HD,又AC⊥BD,BD∩HD=H,所以AC⊥平面BHD,于是AC⊥OD. 又由OD⊥OH,AC∩OH=O,所以O(shè)D⊥平面ABC.(8分) 又由EFAC=DHDO得EF=92. 五邊形ABCFE的面積S=1268-12923=694.(10分) 所以五棱錐D-ABCFE的體積V=1369422=2322.(12分) C組　教師專用題組 1.(2014湖北,8,5分)《算數(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍,其中記載有求“囷蓋”的術(shù):置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高h,計算其體積V的近似公式V≈136L2h.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么,近似公式V≈275L2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的π近似取為(　　) A.227　　　　B.258　　　　C.15750　　　　D.355113 答案　B　 2.(2013課標(biāo)Ⅰ文,15,5分)已知H是球O的直徑AB上一點,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H為垂足,α截球O所得截面的面積為π,則球O的表面積為　　　　. 答案　9π2 3.(2013江蘇,8,5分)如圖,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分別是AB,AC,AA1的中點,設(shè)三棱錐F-ADE的體積為V1,三棱柱A1B1C1-ABC的體積為V2,則V1∶V2=　　　　. 答案　124 4.(2016江蘇,17,14分)現(xiàn)需要設(shè)計一個倉庫,它由上下兩部分組成,上部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1,下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍. (1)若AB=6m,PO1=2m,則倉庫的容積是多少? (2)若正四棱錐的側(cè)棱長為6m,則當(dāng)PO1為多少時,倉庫的容積最大? 解析　(1)由PO1=2m知O1O=4PO1=8m. 因為A1B1=AB=6m,所以正四棱錐P-A1B1C1D1的體積 V錐=13A1B12PO1=13622=24(m3); 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積 V柱=AB2O1O=628=288(m3). 所以倉庫的容積V=V錐+V柱=24+288=312(m3). (2)設(shè)A1B1=a(m),PO1=h(m),則00,V是單調(diào)增函數(shù); 當(dāng)23

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