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2019-2020年高考數學第二輪復習 專題一 常以客觀題形式考查的幾個問題第1講　集合與常用邏輯用語 理 真題試做 1．(xx重慶高考，理7)已知f(x)是定義在R上的偶函數，且以2為周期，則“f(x)為[0,1]上的增函數”是“f(x)為[3,4]上的減函數”的(　　)． A．既不充分也不必要的條件 B．充分而不必要的條件 C．必要而不充分的條件 D．充要條件 2．(xx浙江高考，理1)設集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，則A∩(?RB)＝(　　)． A．(1,4) B．(3,4) C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4) 3．(xx山東高考，理3)設a＞0，且a≠1，則“函數f(x)＝ax在R上是減函數”是“函數g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數”的(　　)． A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 4．(xx天津高考，理11)已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝，且A∩B＝(－1，n)，則m＝__________，n＝__________. 考向分析 本部分內容在高考題中主要以選擇題和填空題的形式出現，集合在高考中主要考查三方面內容：一是考查集合的概念、集合間的關系；二是考查集合的運算和集合語言的運用，常以集合為載體考查不等式、解析幾何等知識；三是以創(chuàng)新題型的形式考查考生分析、解決集合問題的能力．對邏輯用語的考查，主要是對命題真假的判斷、命題的四種形式、充分必要條件的判斷的應用等． 熱點例析 熱點一　集合的概念與運算 【例1】已知A＝{0,1，a}，B＝{a2，b}，且A∩B＝{1}，A∪B＝{0,1,2,4}，則logab＝(　　)． A．－1 B．0 C．1 D．2 規(guī)律方法 解答集合間的運算關系問題的思路：先正確理解各個集合的含義，認清集合元素的屬性、代表的意義，再根據元素的不同屬性采用不同的方法對集合進行化簡求解． 確定(應用)集合間的包含關系或運算結果，常用到以下技巧：①若已知的集合是不等式的解集，用數軸求解；②若已知的集合是點集，用數形結合法求解；③若已知的集合是抽象集合，用Venn圖求解；④注意轉化關系(?RA)∩B＝B?B??RA，A∪B＝B?A?B，?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)等． 變式訓練1 設全集U＝R，集合M＝{x|y＝}，N＝{y|y＝3－2x}，則圖中陰影部分表示的集合是(　　)． A． B． C． D． 熱點二　命題的真假與否定 【例2】給出下列三個結論： ①命題“若α＝β，則cos α＝cos β”的逆否命題； ②命題“x2＝4”是“x＝－2”的充分不必要條件； ③p：a∈{a，b，c}，q：{a}?{a，b，c}，p且q為真命題． 其中正確結論的序號是__________．(填寫所有正確結論的序號) 規(guī)律方法 1．命題真假的判定方法： (1)一般命題p的真假由涉及的相關知識辨別； (2)四種命題的真假的判斷根據：一個命題和它的逆否命題同真假，而與它的其他兩個命題的真假無此規(guī)律； (3)形如p∨q，p∧q，p命題的真假根據真值表判定． 2．命題的否定形式有： 原語句 是 都是 至少有 一個 至多有 一個 ＞ 否定 形式 不是 不都是 一個也 沒有 至少有 兩個 ≤ 熱點三　充分條件、必要條件、充要條件的判定 【例3】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．若p是q的必要而不充分條件，求實數m的取值范圍． 規(guī)律方法 (1)對充分、必要條件的判斷要注意以下幾點： ①要弄清先后順序：“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B，且B不能推出A. ②要善于舉出反例：當從正面判斷或證明一個命題的正確或錯誤不易進行時，可以通過舉出恰當的反例來說明． (2)判斷命題的充要關系有三種方法： ①定義法：1分清條件和結論：分清哪個是條件，哪個是結論；2找推式：判斷“p?q”及“q?p”的真假；3下結論：根據推式及定義下結論． ②等價法：即利用A?B與B?A；B?A與A?B；A?B與B?A的等價關系，對于條件或結論是否定形式的命題，一般運用等價法． ③利用集合間的包含關系判斷：若A?B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A＝B，則A是B的充要條件． 變式訓練2 設p：|4x－3|≤1，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的必要不充分條件，則實數a的取值范圍是(　　)． A． B． C．(－∞，0]∪ D．(－∞，0)∪ 思想滲透 1．補集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困難，可先求A的補集，再由A的補集的補集是A求出A.逆向思維是從已有習慣思維的反方向去思考問題，在正向思維受阻時，逆向思維往往能起到“柳暗花明又一村”的效果，補集思想就是一種常見的逆向思維． 已知下列三個方程：①x2＋4ax－4a＋3＝0，②x2＋(a－1)x＋a2＝0，③x2＋2ax－2a＝0中至少有一個方程有實根，求實數a的取值范圍． 解：設已知的三個方程都沒有實根， 則 解得－＜a＜－1. 故所求a的取值范圍是a≥－1或a≤－. 2．特殊值法判斷命題真假的類型： (1)判斷全稱命題為假； (2)判斷特稱命題為真； (3)判斷一個命題不成立． 求解時注意的問題： (1)尋找特例時，應使特例符合已知條件； (2)特例應力求全面，不能以偏概全． 1．(xx浙江溫州一模，理2)設集合A，B，則A?B是A∩B＝A成立的(　　)． A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 2．(xx浙江余杭高級中學二模，理2)設集合A＝{x|x2－1＞0}，B＝{x|log2x＜1}，則A∩B等于(　　)． A．{x|x＜－1} B．{x|0＜x＜2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞1，或x＜－1} 3．(xx浙江杭州二中月考，理2)設集合M＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，N＝{y|y＝3n－1，n∈Z}，若x0∈M，y0∈N，則x0y0與M，N的關系是(　　)． A．x0y0∈M B．x0y0∈N C．x0y0∈M∩N D．x0y0?M∪N 4．“a＝”是“對任意的正數x,2x＋≥1”的(　　)． A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 5．命題“所有能被2整除的整數都是偶數”的否定是(　　)． A．所有不能被2整除的整數都是偶數 B．所有能被2整除的整數都不是偶數 C．存在一個不能被2整除的整數是偶數 D．存在一個能被2整除的整數不是偶數 6．已知a與b均為單位向量，其夾角為θ，有下列四個命題： p1：|a＋b|＞1?θ∈ p2：|a＋b|＞1?θ∈ p3：|a－b|＞1?θ∈ p4：|a－b|＞1?θ∈ 其中的真命題是(　　)． A．p1，p4 B．p1，p3 C．p2，p3 D．p2，p4 參考答案 命題調研明晰考向 真題試做 1．D　解析：若f(x)為[0,1]上的增函數，則f(x)在[－1,0]上為減函數，根據f(x)的周期為2可推出f(x)為[3,4]上的減函數；若f(x)為[3,4]上的減函數，則f(x)在[－1,0]上也為減函數，所以f(x)在[0,1]上為增函數，故選D. 2．B　解析：由已知得，B＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}， 所以?RB＝{x|x＜－1，或x＞3}． 所以A∩(?RB)＝{x|3＜x＜4}． 3．A　解析：由函數f(x)＝ax在R上是減函數可得0＜a＜1，由函數g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數可得a＜2，因為0＜a＜1?a＜2，a＜2D?/0＜a＜1，所以題干中前者為后者的充分不必要條件，故選A. 4．－1　1　解析：A＝{x∈R||x＋2|＜3}，∴|x＋2|＜3. ∴－3＜x＋2＜3，∴－5＜x＜1. 又∵B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)， ∴－1是方程(x－m)(x－2)＝0的根，n是區(qū)間(－5,1)的右端點， ∴m＝－1，n＝1. 精要例析聚焦熱點 熱點例析 【例1】B　解析：∵A∩B＝{1}，∴b＝1或a2＝1(不滿足題意，舍去)，∴b＝1. ∵A∪B＝{0,1,2,4}， ∴a＝2或a＝4(不滿足題意，舍去)，故logab＝log21＝0.選B. 【變式訓練1】B　解析：M＝{x|y＝}＝， N＝{y|y＝3－2x}＝{y|y＜3}． 因圖中陰影部分表示的集合的元素為N中元素除去M中元素，即＜x＜3，故選B. 【例2】①③　解析：對于①，因命題“若α＝β，則cosα＝cosβ”為真命題，所以其逆否命題亦為真命題，①正確；對于②，因由“x2＝4”得x＝2，所以“x2＝4”是“x＝－2”的必要不充分條件，故②錯；對于③，p，q均為真命題，由真值表判定p且q為真命題．故③正確． 【例3】解：由題意知q?p，但pq.即p?q，但qp. ∴或 解得m≥9. 【變式訓練2】A　解析：由|4x－3|≤1，得≤x≤1，p為x＜或x＞1； 由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1，q為x＜a或x＞a＋1. 若p是q的必要不充分條件，應有a≤且a＋1≥1，兩者不能同時取等號， 所以0≤a≤，故選A. 創(chuàng)新模擬預測演練 1．C 2．C　解析：A＝{x|x＞1，或x＜－1}，B＝{x|0＜x＜2}，則A∩B＝{x|1＜x＜2}，故選C. 3．B　解析：依題意可設x0＝3n＋1，y0＝3m－1(n，m∈Z)， 則x0y0＝9nm－3n＋3m－1＝3(3nm－n＋m)－1，而3nm－n＋m∈Z， 故x0y0∈N. 4．A　解析：當a＝時，2x＋＝2x＋≥2＝1；若對任意的正數x,2x＋≥1，即對任意的正數x，不等式a≥x－2x2恒成立，得a≥(x－2x2)max ＝.故選A. 5．D　解析：因原命題是全稱命題，故其否定為特稱命題，故選D. 6．A　解析：由|a＋b|＞1得(a＋b)2＞1，即a2＋b2＋2ab＞1，整理得cos θ＞－，又θ∈[0，π]，解得θ∈； 由|a－b|＞1得(a－b)2＞1，即a2＋b2－2ab＞1，整理得cos θ＜，又θ∈[0，π]，解得θ∈. 綜上可知p1，p4正確，故選A.