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二項式定理 一、選擇題（本大題共12小題，共60分） 1. (1+1x2)(1+x)6展開式中x2的系數(shù)為( ) A. 15 B. 20 C. 30 D. 35 （正確答案）C 解：(1+1x2)(1+x)6展開式中： 若(1+1x2)=(1+x-2)提供常數(shù)項1，則(1+x)6提供含有x2的項，可得展開式中x2的系數(shù)： 若(1+1x2)提供x-2項，則(1+x)6提供含有x4的項，可得展開式中x2的系數(shù)： 由(1+x)6通項公式可得C6rxr． 可知r=2時，可得展開式中x2的系數(shù)為C62=15． 可知r=4時，可得展開式中x2的系數(shù)為C64=15． (1+1x2)(1+x)6展開式中x2的系數(shù)為：15+15=30． 故選C． 直接利用二項式定理的通項公式求解即可． 本題主要考查二項式定理的知識點，通項公式的靈活運用.屬于基礎題． 2. (x+y)(2x-y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為( ) A. -80 B. -40 C. 40 D. 80 （正確答案）C 【分析】 本題考查了二項式定理的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． (2x-y)5的展開式的通項公式：Tr+1=?5r(2x)5-r(-y)r=25-r(-1)r?5rx5-ryr.令5-r=2，r=3，解得r=3.令5-r=3，r=2，解得r=2.即可得出． 【解答】 解：(2x-y)5的展開式的通項公式：Tr+1=?5r(2x)5-r(-y)r=25-r(-1)r?5rx5-ryr． 令5-r=2，r=3，解得r=3． 令5-r=3，r=2，解得r=2． ∴(x+y)(2x-y)5的展開式中的x3y3系數(shù)=22(-1)3C53+231?52=40． 故選C． 3. 在x2-13xn的展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式的常數(shù)項為( )． A. -7 B. 7 C. -28 D. 28 （正確答案）B 【分析】 本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)、利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題.利用二項展開式的中間項的二項式系數(shù)最大，列出方程求出n；利用二項展開式的通項公式求出通項，令x的指數(shù)為0求出常數(shù)項． 【解答】 解：依題意，n2+1=5， ∴n=8． 二項式為x2-13x8，其展開式的通項Tk+1=(-1)k(12)8-kC8kx8-4k3 令8-4k3=0解得k=6． 故常數(shù)項為C86(x2)2(-13x)6=7． 故選B． 4. (1-2x)(1-x)5的展開式中x的系數(shù)為( ) A. 10 B. -10 C. -20 D. -30 （正確答案）D 解：(1-2x)(1-x)5=(1-2x)(1-5x+?52x2-?53x3+…)， 展開式中x3的系數(shù)為-?53-2?52=-30． 故選：D． 由(1-2x)(1-x)5=(1-2x)(1-5x+?52x2-?53x3+…)，即可得出． 本題考查了二項式定理的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題． 5. 若的(x2+a)(x-1x)10展開式中x6的系數(shù)為-30，則常數(shù)a=( ) A. -4 B. -3 C. 2 D. 3 （正確答案）C 解：(x-1x)10展開式的通項公式為： Tr+1=C10r?x10-r?(-1x)r=(-1)r?C10r?x10-2r； 令10-2r=4，解得r=3，所以x4項的系數(shù)為-C103=-120； 令10-2r=6，解得r=2，所以x6項的系數(shù)為C102=45； 所以(x2+a)(x-1x)10的展開式中x6的系數(shù)為：-120+45a=-30， 解得a=2． 故選：C． 根據(jù)題意求出(x-1x)10展開式中含x4項、x6項的系數(shù)，得出(x2+a)(x-1x)10的展開式中x6的系數(shù)，列出方程求出a的值． 本題考查了利用二項展開式的通項公式求二項展開式的特定項問題問題，是基礎題． 6. (2+x)(1-2x)5展開式中，x2項的系數(shù)為( ) A. 30 B. 70 C. 90 D. -150 （正確答案）B 解：∵(1-2x)5展開式的通項公式為Tr+1=C5r?(-2x)r， ∴(2+x)(1-2x)5展開式中，x2項的系數(shù)為2C52?(-2)2+C51?(-2)=70， 故選：B． 先求得(1-2x)5展開式的通項公式，可得(2+x)(1-2x)5展開式中x2項的系數(shù)． 本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題． 7. 已知(1+x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為( ) A. 212 B. 211 C. 210 D. 29 （正確答案）D 解：已知(1+x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等， 可得Cn3=Cn7，可得n=3+7=10． (1+x)10的展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為：12210=29． 故選：D． 直接利用二項式定理求出n，然后利用二項式定理系數(shù)的性質(zhì)求出結果即可． 本題考查二項式定理的應用，組合數(shù)的形狀的應用，考查基本知識的靈活運用以及計算能力． 8. 若(1+2x)(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，則a0+a1+a2+…+a7的值為( ) A. -2 B. -3 C. 253 D. 126 （正確答案）C 解：∵(1+2x)(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8， ∴a8=2?C77?(-2)7=-256． 令x=1得：(1+2)(1-2)7=a0+a1+a2+…+a7+a8=-3， ∴a1+a2+…+a7=-3-a8=-3+256=253． 故選：C 利用二項式定理可知，對已知關系式中的x賦值1即可求得a1+a2+…+a8的值． 本題考查二項式定理的應用，求得a8的值是關鍵，考查賦值法的應用，屬于中檔題． 9. (x2+1)(1x-2)5的展開式的常數(shù)項是( ) A. 5 B. -10 C. -32 D. -42 （正確答案）D 解：由于(1x-2)5的通項為Tr+1=C5r(1x)5-r(-2)r=C5r(-2)rxr-52， 故(x2+1)(1x-2)5的展開式的常數(shù)項是x2C51(-2)1x-2+1C55(-2)5x0=-42， 故選：D． 由于(1x-2)5的通項為C5r?(1x)5-r?(-2)r，可得(x2+1)(1x-2)5的展開式的常數(shù)項． 本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于基礎題． 10. (x-2x)5的展開式中，含x3項的系數(shù)是( ) A. -10 B. -5 C. 5 D. 10 （正確答案）A 解：(x-2x)5的展開式的通項為Tr+1=C5rx5+r2(-2)r， 令5+r2=3得r=1， 故展開式中含x3項的系數(shù)是C51(-2)=-10， 故選：A． 利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數(shù)為3求出展開式中含x3項的系數(shù) 本題考查二項展開式的通項公式，它是解決二項展開式的特定項問題的工具． 11. 在(1+x)6(1+y)4的展開式中，記xmyn項的系數(shù)為f(m,n)，則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( ) A. 45 B. 60 C. 120 D. 210 （正確答案）C 解：(1+x)6(1+y)4的展開式中，含x3y0的系數(shù)是：C63?C40=20.f(3,0)=20； 含x2y1的系數(shù)是C62?C41=60，f(2,1)=60； 含x1y2的系數(shù)是C61?C42=36，f(1,2)=36； 含x0y3的系數(shù)是C60?C43=4，f(0,3)=4； ∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=120． 故選：C． 由題意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，項的系數(shù)，求和即可． 本題考查二項式定理系數(shù)的性質(zhì)，二項式定理的應用，考查計算能力． 12. 若(x-3x)n的展開式中各項系數(shù)絕對值之和為1024，則展開式中x的系數(shù)為( ) A. 15 B. 10 C. -15 D. -10 （正確答案）C 解：(x-3x)n的展開式中各項系數(shù)絕對值之和與(x+3x)n的展開式中各項系數(shù)之和相等． 對(x+3x)n，令x=1，則其展開式中各項系數(shù)之和=4n． ∴4n=1024，解得n=5． ∴(x-3x)5的通項公式Tr+1=?5r(x)5-r(-3x)r=(-3)r?5rx52-3r2， 令52-3r2=1，解得r=1． ∴展開式中x的系數(shù)=-3?51=-15． 故選：C． (x-3x)n的展開式中各項系數(shù)絕對值之和與(x+3x)n的展開式中各項系數(shù)之和相等.對(x+3x)n，令x=1，則其展開式中各項系數(shù)之和=4n.解得n，再利用通項公式即可得出． 本題考查了二項式定理的性質(zhì)及其應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 二、填空題（本大題共4小題，共20分） 13. (2x+x)5的展開式中，x3的系數(shù)是______ .(用數(shù)字填寫答案) （正確答案）10 解：(2x+x)5的展開式中，通項公式為：Tr+1=?5r(2x)5-r(x)r=25-rC5r?x5-r2， 令5-r2=3，解得r=4 ∴x3的系數(shù)2C54=10． 故答案為：10． 利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數(shù)為3，求出r，即可求出展開式中x3的系數(shù)． 本題考查了二項式定理的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題． 14. 若(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，則a0+a2+a4= ______ ． （正確答案）121 解：令x=1，則a0+a1+a2+a3+a4+a5=35； 再令x=-1，則a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1， ∴a0+a2+a4=35-12=121， 故答案為：121． 在所給的式子中，分別令x=1、x=-1，可得則a0+a2+a4的值． 本題主要考查二項式定理的應用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點，通過給二項式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡便的求出答案，屬于基礎題． 15. 若(x2-13x)a的展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項是______． （正確答案）7 【分析】 本題考查二項式定理的應用，涉及二項式系數(shù)的性質(zhì)，要注意系數(shù)與二項式系數(shù)的區(qū)別.根據(jù)題意，x2-13xa的展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，則a=8，可得x2-13x8的二項展開式，令24-4r3=0，解得r=6，將其代入二項展開式，可得答案． 【解答】 解：根據(jù)題意，x2-13xa的展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大， 則a=8， 則x2-13x8的二項展開式為： Tr+1=C8rx28-r-13xr=-1r128-rC88-rx24-4r3， 令24-4r3=0，解得r=6． 則其常數(shù)項為7． 故答案為7． 16. (2x2+x-1)5的展開式中，x3的系數(shù)為______ ． （正確答案）-30 解：∵(2x2+x-1)5=[(2x2+x)-1]5展開式的通項公式為 Tr+1=C5r?(2x2+x)5-r?(-1)r， 當r=0或1時，二項式(2x2+x)5-r展開式中無x3項； 當r=2時，二項式(2x2+x)5-r展開式中x3的系數(shù)為1； 當r=3時，二項式(2x2+x)5-r展開式中x3的系數(shù)為4； 當r=4或5時，二項式(2x2+x)5-r，展開式中無x3項； ∴所求展開式中x3項的系數(shù)為1C52+4(-C53)=-30． 故答案為：-30． 先求得二項式展開式的通項公式，再根據(jù)通項公式，討論r的值，即可求得x3項的系數(shù)． 本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．