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2019-2020年高中數(shù)學(xué)必修4 1-6 三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用 教案（2）（15） 一、教學(xué)目標(biāo) 重點: 精確模型的應(yīng)用——即由圖象求解析式，由解析式研究圖象及性質(zhì)． 難點：分析、整理、利用信息，從實際問題中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系來建立數(shù)學(xué)模型，并調(diào)動相關(guān)學(xué)科的知識來解決問題． 知識點：通過對三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步學(xué)會由圖象求解析式的方法． 能力點：讓學(xué)生體驗一些具有周期性變化規(guī)律的實際問題的數(shù)學(xué)“建?！彼枷?從而培養(yǎng)學(xué)生的建模、 分析問題、數(shù)形結(jié)合、抽象概括等能力. 教育點：讓學(xué)生切身感受數(shù)學(xué)建模的過程，體驗數(shù)學(xué)在解決實際問題中的價值和作用，讓學(xué)生切身感受 數(shù)學(xué)建模的過程，體驗數(shù)學(xué)在解決實際問題中的價值和作用從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)鍥而不舍的鉆研精神；培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、勤于思考的精神. 考試點：將實際問題抽象為三角函數(shù)模型問題. 拓展點：讓學(xué)生體驗一些具有周期性變化規(guī)律的實際問題的數(shù)學(xué)“建?！彼枷?從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精 神和實踐能力. 二、引入新課（情景展示，多媒體顯示） 1．情景展示，新課導(dǎo)入 經(jīng)過前面的學(xué)習(xí)，大家知道，在客觀現(xiàn)實世界中存在著大量的周期性變化現(xiàn)象，而要定量地去刻畫這些現(xiàn)象，我們通常需要借助于三角函數(shù)這一重要數(shù)學(xué)模型.這節(jié)課我們將來學(xué)習(xí)三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用. 在山海關(guān)孟姜女廟有一副對聯(lián)：“海水朝，朝朝朝，朝朝朝落；浮云長，長長長，長長長消.”其中描繪了海潮漲落，浮云長消的自然景象，顯示了自然界變幻多姿的景色，這其中對海潮的描述也是感性的.今天我們將從數(shù)學(xué)的視角理性地研究有關(guān)潮水漲落的一些實際問題. 2．問題提出，探究解決 情景設(shè)置：若干年后，如果在座的各位有機(jī)會當(dāng)上船長的話，當(dāng)你的船只要到某個港口去 ，你作為船長，你希望知道關(guān)于該港口的一些什么情況？ 問題探究1：閱讀課本P62：例4給出某港口在某年某個季節(jié)每天的時間與水深的關(guān)系表，思考并回答： ①你能夠從表格中的數(shù)據(jù)中得到一些什么信息？ ②水的深度變化有什么特點嗎？ ③為了更直觀明了地觀察出水的深度變化規(guī)律，我們可以怎么做？ ④若用平滑的曲線將所描各點連起來，所得圖象形狀跟我們前面所學(xué)過哪個函數(shù)類型非常相似？并嘗試求出該函數(shù)模型. ⑤有了這個模型，我們要制定一張一天24內(nèi)整時刻的水深表，就是件非常容易的事情了.如何計算在4時的水深？在任一時刻的水深怎么計算？ 問題探究2：針對課本P62：例4（2）問，思考： ①貨船能夠進(jìn)入港口所需要滿足的條件是什么？ ②怎樣用數(shù)學(xué)語言描述這一條件呢？ ③在[0，24]的范圍內(nèi)，該怎么求解？ ④你能說清楚解的實際意義嗎？ 問題探究3：貨船在進(jìn)港，在港口停留，到后來離開港口，貨船的吃深深度一直沒有改變，也就是說貨船的安全深度一直沒有改變，但是實際情況往往是貨船載滿貨物進(jìn)港，在港口卸貨，在卸貨的過程中，由物理學(xué)的知識我們知道，隨著船身自身重量的減小，船身會上浮，換句話說，隨著貨物的卸載，貨船的安全深度不再向開始那樣一直是一個常數(shù)，現(xiàn)在它也是一個關(guān)于時間的變量，而實際水深也一直在變化，這樣一來當(dāng)兩者都在改變的時候，我們又改如何選擇進(jìn)出港時間呢？針對課本P62：例4（3）問，思考： ①“必須停止卸貨”，是在貨船即將面臨什么危險的時候？ ②反過來，“貨船安全”需要滿足的條件是什么？如何用用數(shù)學(xué)式子表示？ ③對于上式，如何求解呢？ ④嘗試說說解的實際意義. 三、典例剖析 研究典型例題，總結(jié)解題規(guī)律 例1根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行三角函數(shù)擬合 【背景材料】 海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋.下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深關(guān)系表： 時刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 思考1：觀察表格中的數(shù)據(jù)，每天水深的變化具有什么規(guī)律性？ 思考2：設(shè)想水深y是時間x的函數(shù)，作出表中的數(shù)據(jù)對應(yīng)的 散點圖，你認(rèn)為可以用哪個類型的函數(shù)來擬合這些數(shù)據(jù)？ 思考3: 用一條光滑曲線連結(jié)這些點，得到一個函數(shù)圖象， 該圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式可以是哪種形式？ 思考4：用函數(shù) 來刻畫水深和時間之間的對應(yīng)關(guān)系，如何確定解析式中的參數(shù)值？ 思考5：這個港口的水深與時間的關(guān)系可用函數(shù)近似描述，你能根據(jù)這個函數(shù)模型，求出各整點時水深的近似值嗎？（精確到0.001） 時刻 0:00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 水深（米） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 時刻 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 水深（米） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 時刻 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 　 　 　 水深（米） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 思考6：一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米， 安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙（船底與洋 底的距離），該船何時能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？ 思考7：若某船的吃水深度為4米，安全間隙為1.5米， 該船在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時0.3米的速度減少， 那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？ 思考8：右圖所示，設(shè)點P(x0，y0)，有人認(rèn)為，由于P點 是兩個圖象的交點，說明在x0時，貨船的安全水深正好與港口 水深相等，因此在這時停止卸貨將船駛向較深水域就可以了， 你認(rèn)為對嗎？ [設(shè)計意圖]使學(xué)生體將實際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)模型． 練習(xí)：如圖所示，是一個纜車示意圖，纜車半徑為4.8 m，圓上最低點與地面的距離為0.8 m，60秒轉(zhuǎn)動一圈，圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時針轉(zhuǎn)動角到OB，設(shè)B點與地面距離是h． （1）求h與間的函數(shù)關(guān)系； （2）設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動，經(jīng)過t秒后到達(dá)OB， 求h與t之間的函數(shù)解析式，并求纜車第一次到達(dá)最 高點時用的最少的時間是多少? [設(shè)計意圖] 培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的能力及良好的解題習(xí)慣，鞏固所學(xué)知識． 例2 一根為l cm的線，一端固定，另一端懸掛一個小球，組成一個單擺，小球擺動時，離開平衡位置的位移s(單位：cm)與時間t(單位：s)的函數(shù)關(guān)系是． （1）求小球擺動的周期和頻率； （2）已知g=980 cm/s2，要使小球擺動的周期恰好是1秒，線的長度l應(yīng)當(dāng)是多少？ [設(shè)計意圖] 讓學(xué)生體驗一些具有周期性變化規(guī)律的實際問題的數(shù)學(xué)“建?！彼枷?從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力． 四、課堂小結(jié) （1）三角函數(shù)應(yīng)用題通常涉及生產(chǎn)、生活、軍事、天文、地理和物理等實際問題，其解答流程大致是：審讀題意，設(shè)角建立三角函數(shù)，分析三角函數(shù)性質(zhì)解決實際問題. 其中根據(jù)實際問題的背景材料，建立三角函數(shù)關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵. （2）在解決實際問題時，要學(xué)會具體問題具體分析，充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，靈活的運(yùn)用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行解答. （3）根據(jù)三角函數(shù)圖象建立函數(shù)解析式，就是要抓住圖象的數(shù)字特征確定相關(guān)的參數(shù)值，同時要注意函數(shù)的定義域. （4）對于現(xiàn)實世界中具有周期現(xiàn)象的實際問題，可以利用三角函數(shù)模型描述其變化規(guī)律.先根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)作出散點圖，再進(jìn)行函數(shù)擬合，就可獲得具體的函數(shù)模型，有了這個函數(shù)模型就可以解決相應(yīng)的實際問題. 五、布置作業(yè) 已知某帆船中心比賽場館內(nèi)的海面上每天海浪高y（米）可看作是時間t(,單位：時)的函數(shù)，記作，經(jīng)長期觀測，的曲線可近似的看成是曲線，下表示某日各時的浪高數(shù)據(jù)： t (時) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 2 1.5 0.99 1.5 2 1.5 0.99 1.5 2 求能近似的表示表中數(shù)據(jù)間對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)解析式. [設(shè)計意圖]引導(dǎo)學(xué)生先復(fù)習(xí)，再作業(yè)，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，書面作業(yè)的布置，是為了讓學(xué)生能夠鞏固課堂上所學(xué)的知識和方法，培養(yǎng)學(xué)生用整體的觀點看問題，起到承上啟下的作用． 六、教后反思 1.本教案的亮點是例題及變式訓(xùn)練的編排，既注重了與本堂課內(nèi)容的聯(lián)系，又在不知不覺中提高了難度， 提高了學(xué)生的解題能力． 2.由于各校的情況不同，建議教師在使用本教案時靈活掌握，但必須在根據(jù)實際問題的背景材料，建立三角函數(shù)關(guān)系，解決實際問題上下功夫． 3.本節(jié)課的弱項是由于整堂課課堂容量較大，在課堂上沒有充分暴露學(xué)生的思維過程，并給予針對性地診斷與分析. 七、板書設(shè)計 本節(jié)課的板書主要采取了提綱式、對稱型，以講寫結(jié)合、主輔相隨、語言準(zhǔn)確、內(nèi)容完整為原則，將復(fù)習(xí)內(nèi)容及新課引入、概念寫在黑板左側(cè)，整齊、準(zhǔn)確，將例題、習(xí)題及解答過程寫在黑板右側(cè)，隨意中不失規(guī)范. 1．6三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用 (1)復(fù)習(xí)三角函數(shù)相關(guān)知識 (2)引入新課 例1 例2 練習(xí) 作業(yè)