2019-2020年高中數學 第一章 解三角形學案 新人教A版必修5.doc
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2019-2020年高中數學 第一章 解三角形學案 新人教A版必修5 1．1.1 正弦定理 正弦定理 [提出問題] 如圖，在Rt△ABC中，A＝30，斜邊c＝2， 問題1：△ABC的其他邊和角為多少？ 提示：∠B＝60，∠C＝90，a＝1，b＝. 問題2：試計算，，的值，三者有何關系？ 提示：＝2，＝＝2，＝2，三者的值相等． 問題3：對于任意的直角三角形是否也有類似的結論？ 提示：是．如圖sin A＝， ∴＝c.sin B＝，∴＝c. ∵sin C＝1，∴＝＝. 問題4：在鈍角△ABC中，B＝C＝30，b＝，試求其他邊和角． 提示：如圖，△ACD為直角三角形，∠C＝30 AC＝，則AD＝，CD＝， BC＝3.AB＝，∠BAC＝120. 問題5：問題4中所得數字滿足問題3中的結論嗎？ 提示：滿足． 問題6：若是銳角三角形上述結論還成立嗎？ 提示：都成立． [導入新知] 1．正弦定理 在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等， 即＝＝. 2．解三角形 一般地，把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素，已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形． [化解疑難] 對正弦定理的理解 (1)適用范圍：正弦定理對任意的三角形都成立． (2)結構形式：分子為三角形的邊長，分母為相應邊所對角的正弦的連等式． (3)揭示規(guī)律：正弦定理指出的是三角形中三條邊與對應角的正弦之間的一個關系式，它描述了三角形中邊與角的一種數量關系． (4)主要功能：正弦定理的主要功能是實現三角形中邊角關系的轉化． 已知兩角及一邊解三角形 [例1] 在△ABC中，已知a＝8，B＝60，C＝75，求A，b，c. [解] A＝180－(B＋C)＝180－(60＋75)＝45. 由＝得， b＝＝＝4，由＝得， c＝＝＝＝4(＋1)． ∴A＝45，b＝4，c＝4(＋1)． [類題通法] 已知三角形任意兩角和一邊解三角形的基本思路 (1)由三角形的內角和定理求出第三個角． (2)由正弦定理公式的變形，求另外的兩條邊． 注意：若已知角不是特殊角時，往往先求出其正弦值(這時應注意角的拆并，即將非特殊角轉化為特殊角的和或差，如75＝45＋30)，再根據上述思路求解． [活學活用] 1．在△ABC中，已知c＝10，A＝45，C＝30，解這個三角形． 解：∵A＝45，C＝30，∴B＝180－(A＋C)＝105. 由＝得a＝＝＝10. 由＝得b＝＝＝20sin 75， ∵sin 75＝sin (30＋45)＝sin 30cos 45＋cos 30sin 45 ＝， ∴b＝20＝5＋5. 已知兩邊及一邊的對角解三角形 [例2] 在△ABC中，已知c＝，A＝45，a＝2，解這個三角形． [解] ∵＝，∴sin C＝＝＝， ∴C＝60或C＝120. 當C＝60時，B＝75，b＝＝＝＋1； 當C＝120時，B＝15，b＝＝＝－1. ∴b＝＋1，B＝75，C＝60或b＝－1，B＝15，C＝120. [類題通法] 已知三角形兩邊和其中一邊的對角解三角形時的方法 (1)首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值． (2)如果已知的角為大邊所對的角時，由三角形中大邊對大角，大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角，由正弦值可求銳角唯一． (3)如果已知的角為小邊所對的角時，則不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時由正弦值可求兩個角，要分類討論． [活學活用] 2．在△ABC中，若c＝，C＝，a＝2，求A，B，b. 解：由＝，得sin A＝＝. ∴A＝或A＝π. 又∵c＞a，∴C＞A， ∴只能取A＝， ∴B＝π－－＝，b＝ ＝＝＋1. 判斷三角形的形狀 [例3] 在△ABC中，sin2 A＝sin2 B＋sin2 C，且 sin A＝2sin Bcos C．試判斷△ABC的形狀． [解] 由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，sin C＝. ∵sin2 A＝sin2 B＋sin2 C， ∴2＝2＋2， 即a2＝b2＋c2，故A＝90. ∴C＝90－B，cos C＝sin B. ∴2sin Bcos C＝2sin2 B＝sin A＝1. ∴sin B＝.∴B＝45或B＝135(A＋B＝225＞180，故舍去)． ∴△ABC是等腰直角三角形． [類題通法] 1．判斷三角形的形狀，可以從考查三邊的關系入手，也可以從三個內角的關系入手，從條件出發(fā)，利用正弦定理進行代換、轉化，呈現出邊與邊的關系或求出角與角的關系或大小，從而作出準確判斷． 2．判斷三角形的形狀，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別． [活學活用] 3．在△ABC中，若b＝acos C，試判斷該三角形的形狀． 解：∵b＝acos C，＝＝2R.(2R為△ABC外接圓直徑) ∴sin B＝sin Acos C. ∵B＝π－(A＋C)，∴sin (A＋C)＝sin Acos C. 即sin Acos C＋cos Asin C＝sin Acos C， ∴cos Asin C＝0， ∵A、C∈(0，π)，∴cos A＝0，∴A＝， ∴△ABC為直角三角形． [典例] 在△ABC中，已知a＝2，b＝2，A＝60，則 B＝________. [解析] 由正弦定理，得sin B＝b＝2＝.∵0＜B＜180，∴B＝30，或B＝150.∵b＜a，根據三角形中大邊對大角可知B＜A，∴B＝150不符合條件，應舍去，∴B＝30. [答案] 30 [易錯防范] 1．由sin B＝得B＝30，或150，而忽視b＝2＜a＝2，從而易出錯． 2．在求出角的正弦值后，要根據“大邊對大角”和“內角和定理”討論角的取舍． [成功破障] 在△ABC中，a，b，c分別是角A，B, C所對應的邊，且b＝6，a＝2，A＝30，求ac的值. 解：由正弦定理＝得 sin B＝＝＝. 由條件b＝6，a＝2，b＞a知B＞A. ∴B＝60或120. (1)當B＝60時，C＝180－A－B ＝180－30－60＝90. 在Rt△ABC中，C＝90，a＝2，b＝6，c＝4， ∴ac＝24＝24. (2)當B＝120時，C＝180－A－B＝180－30－120＝30， ∴A＝C，則有a＝c＝2. ∴ac＝22＝12. [隨堂即時演練] 1．(xx廣東高考)在△ABC中，若∠A＝60，∠B＝45，BC＝3，則AC＝( ) A．4 B．2 C. D. 解析：選B 由正弦定理得：＝，即＝，所以AC＝＝2，故選B. 2．在△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120，則sin A∶sin B的值是( ) A. B. C. D. 答案：A 3．在△ABC中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin2 C，則△ABC是________三角形． 解析：由已知得sin2 A－sin2 B＝sin2 C，根據正弦定理知sin A＝，sin B＝，sin C＝， 所以2－2＝2， 即a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2.所以△ABC是直角三角形． 答案：直角 4．(xx北京高考)在△ABC中，若a＝3，b＝，∠A＝，則∠C的大小為________． 解析：由正弦定理可知sin B＝＝＝，所以∠B＝或(舍去)，所以∠C＝π－∠A－∠B＝π－－＝. 答案： 5．不解三角形，判斷下列三角形解的個數． (1)a＝5，b＝4，A＝120； (2)a＝7，b＝14，A＝150； (3)a＝9，b＝10，A＝60. 解：(1)sin B＝＝＜， 所以△ABC有一解． (2)sin B＝＝1，所以△ABC無解． (3)sin B＝＝＝，而＜＜1，所以當B為銳角時，滿足sin B＝的B的取值范圍為60＜B＜90. 當B為鈍角時，有90＜B＜120，也滿足A＋B＜180，所以△ABC有兩解． [課時達標檢測] 一、選擇題 1．在△ABC中，下列式子與的值相等的是( ) A. B. C. D. 解析：選C 由正弦定理得＝，所以＝. 2．(xx瀏陽高二檢測)在△ABC中，若sin A>sin B，則A與B的大小關系為( ) A．A>B B．Asin B，∴2Rsin A>2Rsin B，即a>b，故A>B. 3．一個三角形的兩個角分別等于120和45，若45角所對的邊長是4，那么120角所對邊長是( ) A．4 B.12 C．4 D．12 解析：選D 若設120角所對的邊長為x，則由正弦定理可得：＝， 于是x＝＝＝12，故選D. 4．△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a，則＝( ) A．2 B.2 C. D. 解析：選D 由正弦定理，得sin2Asin B＋sin Bcos2A＝sin A， 即sin B(sin2A＋cos2A)＝sin A. 所以sin B＝sin A．∴＝＝. 5．以下關于正弦定理或其變形的敘述錯誤的是( ) A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，則a＝b C．在△ABC中，若sin A＞sin B，則A ＞B，若A＞B，則sin A＞sin B都成立 D．在△ABC中，＝ 解析：選B 由正弦定理易知A，C，D正確．對于B，由sin 2A＝sin 2B，可得A＝B，或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝， ∴a＝b，或a2＋b2＝c2，故B錯誤. 二、填空題 6．在△ABC中，若a＝14，b＝7，B＝60，則C＝________. 解析：由正弦定理知＝，又a＝14，b＝7，B＝60， ∴sin A＝＝＝，∵a＜b，∴A＜B， ∴A＝45，∴C＝180－(B＋A)＝180－(60＋45)＝75. 答案：75 7．在△ABC中，B＝30，C＝120，則a∶b∶c＝________. 解析：A＝180－B－C＝30，由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C， 即a∶b∶c＝sin 30∶sin 30∶sin 120 ＝1∶1∶. 答案：1∶1∶ 8．在△ABC中，若A＝120，AB＝5，BC＝7，則sin B＝________. 解析：由正弦定理，得 sin C＝ ＝＝. 可知C為銳角，∴cos C＝＝. ∴sin B＝sin(180－120－C)＝sin(60－C) ＝sin 60cos C－cos 60sin C＝. 答案： 三、解答題 9．(xx安徽高考)在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C所對的邊長，a＝，b＝，1＋2cos(B＋C)＝0，求邊BC上的高． 解：由1＋2cos(B＋C)＝0和B＋C＝π－A，得 1－2cos A＝0，所以cos A＝， sin A＝. 再由正弦定理，得sin B＝＝. 由b
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