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2019-2020年高考物理一輪復(fù)習(xí)專題五萬有引力與航天考點(diǎn)二人造地球衛(wèi)星教學(xué)案（含解析） 知識(shí)點(diǎn)1　　宇宙速度 1．第一宇宙速度(環(huán)繞速度) (1)第一宇宙速度：人造地球衛(wèi)星在地面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)具有的速度，其大小為v1＝7.9 km/s。 (2)第一宇宙速度的求法： ①＝m，所以v1＝ 。 ②mg＝，所以v1＝。 (3)第一宇宙速度既是發(fā)射衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的最大環(huán)繞速度。 2．第二宇宙速度(脫離速度)：使物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度，其大小為v2＝11.2 km/s。 3．第三宇宙速度(逃逸速度)：使物體掙脫太陽(yáng)引力束縛的最小發(fā)射速度，其大小為v3＝16.7 km/s。 知識(shí)點(diǎn)2　　人造地球衛(wèi)星 1．人類發(fā)射的繞地球運(yùn)行的所有航天器均可稱為人造地球衛(wèi)星，它們的軌道平面一定通過地球球心。 2．極地衛(wèi)星和近地衛(wèi)星 (1)極地衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)每圈都經(jīng)過南北兩極，極地衛(wèi)星可以實(shí)現(xiàn)全球覆蓋。 (2)近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，其運(yùn)行的軌道半徑可近似認(rèn)為等于地球的半徑。 3．地球同步衛(wèi)星 (1)軌道平面一定：軌道平面和赤道平面重合。 (2)周期 一定：與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即T＝24 h＝86400 s。 (3)高度一定：離地面高度h＝r－R≈6R(R為地球半徑)。 (4)繞行方向一定：與地球自轉(zhuǎn)的方向一致。 知識(shí)點(diǎn)3　　時(shí)空觀 1．經(jīng)典時(shí)空觀 (1)在經(jīng)典力學(xué)中，物體的質(zhì)量是不隨運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變而改變的。 (2)在經(jīng)典力學(xué)中，同一物理過程發(fā)生的位移和對(duì)應(yīng)時(shí)間的測(cè)量結(jié)果在不同的參考系中是相同的。 2．相對(duì)論時(shí)空觀 (1)在狹義相對(duì)論中，物體的質(zhì)量是隨物體運(yùn)動(dòng)速度的增大而增大的，用公式表示為m＝。 (2)在狹義相對(duì)論中，同一物理過程發(fā)生的位移和對(duì)應(yīng)時(shí)間的測(cè)量結(jié)果在不同的參考系中是不同的。 3．狹義相對(duì)論的兩條基本假設(shè) (1)相對(duì)性原理：在不同的慣性參考系中，一切物理規(guī)律都是不同的。 (2)光速不變?cè)恚翰还茉谀膫€(gè)慣性系中，測(cè)得的真空中的光速都是不變的。 重難點(diǎn) 一、衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 1．衛(wèi)星的軌道特點(diǎn)：一切衛(wèi)星軌道的圓心與地心重合。因?yàn)槿f有引力提供向心力，故地心和軌道的圓心重合。 2．衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)：衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)近似看成圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，類比行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，同樣可得：G＝m＝mω2r＝mr＝ma，可推導(dǎo)出： ＝越高越慢 特別提醒 軌道半徑r一旦確定，a、v、ω、T就確定了，與衛(wèi)星的質(zhì)量無關(guān)。同時(shí)可以看出，在a、v、ω、T這四個(gè)物理量中，只有T隨r增大而增大，其他三個(gè)物理量都隨r的增大而減小。這一結(jié)論在很多定性判斷中很有用。 3．同步衛(wèi)星的特點(diǎn) 相對(duì)于地面靜止且與地球自轉(zhuǎn)具有相同周期的衛(wèi)星叫地球同步衛(wèi)星，又叫通信衛(wèi)星。同步衛(wèi)星有以下“七個(gè)一定”的特點(diǎn)： (1)軌道平面一定：軌道平面與赤道平面共面。 (2)周期一定：與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即T＝24 h。 (3)角速度一定：與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同。 (4)高度一定：由G＝m(R＋h)得地球同步衛(wèi)星離地面的高度h＝ －R≈6R＝3.6107 m。 (5)速率一定：v＝ ＝3.1103 m/s。 (6)向心加速度一定：由G＝ma得a＝＝gh＝0.23 m/s2，即同步衛(wèi)星的向心加速度等于軌道處的重力加速度。 (7)繞行方向一定：運(yùn)行方向與地球自轉(zhuǎn)方向一致。 特別提醒 其他衛(wèi)星的繞行方向可以不與地球自轉(zhuǎn)方向一致。 4．同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星和赤道上物體的比較 如圖所示，用A代表同步衛(wèi)星，B代表近地衛(wèi)星，C代表赤道上的物體。用M代表地球質(zhì)量，R代表地球半徑，h代表同步衛(wèi)星離地表的高度。 (1)同步衛(wèi)星A與近地衛(wèi)星B的比較：同步衛(wèi)星A和近地衛(wèi)星B都是衛(wèi)星，繞地球運(yùn)行的向心力由地球?qū)λ鼈兊娜f有引力提供，所以衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律都適用。由v＝ ，T＝2π ，a＝ ，可得＝ ，＝，＝。 (2)同步衛(wèi)星A與赤道上物體C的比較：赤道上的物體C隨地球自轉(zhuǎn)的向心力由萬有引力的一個(gè)分力提供，所以衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律對(duì)赤道上的物體不適用。但因C和A的周期T相同，故可用圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)分析。由v＝，a＝可得，＝，＝。 綜上可知，對(duì)同步衛(wèi)星A、近地衛(wèi)星B和赤道上的物體C而言，有TA＝TC＞TB，vB＞vA＞vC，aB＞aA＞aC。 特別提醒 極地衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)每圈都經(jīng)過南北兩極，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實(shí)現(xiàn)全球覆蓋。所以常用于軍事上面的偵察衛(wèi)星，它的運(yùn)行規(guī)律同其他衛(wèi)星相同。 二、宇宙速度 1．第一宇宙速度的理解和推導(dǎo) (1)在人造衛(wèi)星的發(fā)射過程中火箭要克服地球的引力做功，所以將衛(wèi)星發(fā)射到越高的軌道，在地面上所需的發(fā)射速度就越大，故人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度對(duì)應(yīng)將衛(wèi)星發(fā)射到貼近地面的軌道上運(yùn)行。故有： G＝m，v1＝ ＝7.9 km/s。 或mg＝m，v1＝＝7.9 km/s。 (2)第一宇宙速度的兩個(gè)表達(dá)式，不僅適用于地球，也適用于其他星球，只是M、R、g應(yīng)是相應(yīng)星球的質(zhì)量、半徑和表面的重力加速度。 2．三種宇宙速度的比較 宇宙速度 數(shù)值 意義 第一宇宙速度(環(huán)繞速度) 7.9 km/s 衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的最小發(fā)射速度，最大環(huán)繞速度。若7.9 km/s≤v<11.2 km/s，物體繞地球運(yùn)行 第二宇宙速度(脫離速度) 11.2 km/s 物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度。若11.2 km/s≤v<16.7 km/s，物體繞太陽(yáng)運(yùn)行 第三宇宙速度(逃逸速度) 16.7 km/s 物體掙脫太陽(yáng)引力束縛的最小發(fā)射速度。若v≥16.7 km/s，物體將脫離太陽(yáng)系在宇宙空間運(yùn)行 特別提醒 (1)當(dāng)衛(wèi)星的發(fā)射速度7.9 km/s＜v＜11.2 km/s時(shí)，物體繞地球做橢圓運(yùn)動(dòng)，發(fā)射速度越大，軌跡橢圓越“扁”。當(dāng)11.2 km/s＜v＜16.7 km/s時(shí)，物體繞太陽(yáng)運(yùn)行，同理發(fā)射速度越大，軌跡橢圓也越“扁”。 (2)理論分析表明，逃逸速度是環(huán)繞速度的倍，即v′＝ 。這個(gè)關(guān)系對(duì)于其他天體也是正確的。 (3)對(duì)于一個(gè)質(zhì)量為M的球狀物體，當(dāng)其半徑R不大于時(shí)，即是一個(gè)黑洞。 三、衛(wèi)星的變軌、能量及追趕(對(duì)接) 1．衛(wèi)星的變軌 (1)變軌原理及過程 人造衛(wèi)星的發(fā)射過程要經(jīng)過多次變軌方可到達(dá)預(yù)定軌道，如圖所示。 ①為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道Ⅰ上。 ②在A點(diǎn)點(diǎn)火加速，由于速度變大，萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星做離心運(yùn)動(dòng)進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ。 ③在B點(diǎn)(遠(yuǎn)地點(diǎn))再次點(diǎn)火加速進(jìn)入圓形軌道Ⅲ。 ④過程簡(jiǎn)圖： (2)三個(gè)運(yùn)行物理量的大小比較 ①速度：設(shè)衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運(yùn)行時(shí)的速率分別為v1、v3，在軌道Ⅱ上過A點(diǎn)和B點(diǎn)速率分別為vA、vB。在A點(diǎn)加速，則vA＞v1，在B點(diǎn)加速，則v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞vB。 ②加速度：因?yàn)樵贏點(diǎn)，衛(wèi)星只受到萬有引力作用，故不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經(jīng)過A點(diǎn)，衛(wèi)星的加速度都相同，同理，經(jīng)過B點(diǎn)加速度也相同。 ③周期：設(shè)衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上運(yùn)行周期分別為T1、T2、T3，軌道半徑分別為r1、r2(半長(zhǎng)軸)、r3，由開普勒第三定律＝k可知T1＜T2＜T3。 2．衛(wèi)星運(yùn)行中的能量問題 (1)衛(wèi)星(或航天器)在同一圓形軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，機(jī)械能不變。 (2)航天器在不同軌道上運(yùn)行時(shí)機(jī)械能不同，軌道半徑越大，機(jī)械能越大。 衛(wèi)星速率增大(發(fā)動(dòng)機(jī)做正功)會(huì)做離心運(yùn)動(dòng)，軌道半徑增大，萬有引力做負(fù)功，衛(wèi)星動(dòng)能減小，由于變軌時(shí)遵從能量守恒，穩(wěn)定在圓軌道上時(shí)需滿足G＝m，致使衛(wèi)星在較高軌道上的運(yùn)行速率小于在較低軌道上的運(yùn)行速率，但機(jī)械能增大；相反，衛(wèi)星由于速率減小(發(fā)動(dòng)機(jī)做負(fù)功)會(huì)做向心運(yùn)動(dòng)，軌道半徑減小，萬有引力做正功，衛(wèi)星動(dòng)能增大，同樣原因致使衛(wèi)星在較低軌道上的運(yùn)行速率大于在較高軌道上的運(yùn)行速率，但機(jī)械能減小。 特別提醒 如果衛(wèi)星的軌道半徑r減小，線速率v將增大，周期T將減小，向心加速度a將增大，動(dòng)能Ek將增加，勢(shì)能Ep將減少，衛(wèi)星總機(jī)械能E機(jī)必將減少；若要使軌道半徑增大，則必須為其提供機(jī)械能。 3．衛(wèi)星的追及和相遇問題 (1)典型問題 衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)中的“追及問題”研究的是“兩個(gè)在不同的圓周軌道上運(yùn)動(dòng)的物體，何時(shí)相距最近(即相遇)或最遠(yuǎn)”的問題。相距最近的含義是：兩個(gè)衛(wèi)星(或物體)和圓周軌道的圓心三點(diǎn)在同一條直線上，且兩個(gè)衛(wèi)星(或物體)在圓心同側(cè)；相距最遠(yuǎn)的含義是：兩個(gè)衛(wèi)星(或物體)和圓周軌道的圓心三點(diǎn)在同一條直線上，且兩個(gè)衛(wèi)星(或物體)在圓心異側(cè)。 (2)解決辦法 某星體的兩顆衛(wèi)星之間的距離有最近和最遠(yuǎn)之分，但它們都處在同一條直線上。由于它們的軌道不是重合的，因此在最近和最遠(yuǎn)的相遇問題上不能通過位移或弧長(zhǎng)相等來處理，而是通過衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的圓心角來衡量，若它們初始位置在同一直線上，實(shí)際上內(nèi)軌道所轉(zhuǎn)過的圓心角與外軌道所轉(zhuǎn)過的圓心角之差為π的整數(shù)倍時(shí)就是出現(xiàn)最近或最遠(yuǎn)的時(shí)刻。 特別提醒 航天飛機(jī)與宇宙空間站的“對(duì)接”實(shí)際上就是兩個(gè)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體追趕問題，本質(zhì)仍然是衛(wèi)星的變軌運(yùn)行問題。 要使航天飛機(jī)與宇宙空間站成功“對(duì)接”，必須讓航天飛機(jī)在較低軌道上加速，通過速度v的增大→所需向心力增大→做離心運(yùn)動(dòng)→軌道半徑r增大→升高軌道的系列變速，從而完成航天飛機(jī)與宇宙空間站的成功對(duì)接。 1．思維辨析 (1)同步衛(wèi)星可以定點(diǎn)在北京市的正上方。(　　) (2)不同的同步衛(wèi)星的質(zhì)量不同，但離地面的高度是相同的。(　　) (3)第一宇宙速度是衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最小速度。(　　) (4)第一宇宙速度的大小與地球質(zhì)量有關(guān)。(　　) (5)月球的第一宇宙速度也是7.9 km/s。(　　) (6)同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度一定小于地球第一宇宙速度。(　　) (7)若物體的速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，則物體可繞太陽(yáng)運(yùn)行。(　　) (8)人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)，其軌道平面一定過地心。(　　) (9)在地球上，若汽車的速度達(dá)到7.9 km/s，則汽車將飛離地面。(　　) (10)“嫦娥三號(hào)”探測(cè)器繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，變軌后在周期較小的軌道上仍做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則周期較小的軌道半徑一定較小。(　　) 答案　(1)　(2)√　(3)　(4)√　(5)　(6)√　(7)√　(8)√　(9)√　(10)√ 2．物體脫離星球引力所需要的最小速度稱為第二宇宙速度，第二宇宙速度v2與第一宇宙速度v1的關(guān)系是v2＝v1。已知某星球半徑是地球半徑R的，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的，不計(jì)其他星球的影響，則該星球的第二宇宙速度為(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 答案　B 解析　設(shè)某星球的質(zhì)量為M，半徑為r，繞其飛行的衛(wèi)星質(zhì)量為m，根據(jù)萬有引力提供向心力，可得G＝m，解得：v1＝ ，又因它表面的重力加速度為地球表面重力加速度g的，可得G＝m，又r＝R和v2＝v1，解得v2＝，所以正確選項(xiàng)為B。 3．(多選)中國(guó)志愿者王躍參與人類歷史上第一次全過程模擬從地球往返火星的一次實(shí)驗(yàn)“火星—500”活動(dòng)，王躍走出登陸艙，成功踏上模擬火星表面，在火星上首次留下中國(guó)人的足跡，目前正處于從“火星”返回地球途中。假設(shè)將來人類一艘飛船從火星返回地球時(shí)，經(jīng)歷了如圖所示的變軌過程，則下列說法中正確的是(　　) A．飛船在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在P點(diǎn)速度大于在Q點(diǎn)的速度 B．飛船在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)時(shí)的機(jī)械能大于軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)的機(jī)械能 C．飛船在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)的加速度等于飛船在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)的加速度 D．飛船繞火星在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)周期跟飛船返回地面的過程中繞地球以軌道Ⅰ同樣半徑運(yùn)動(dòng)的周期相同 答案　AC 解析　由飛船在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)時(shí)機(jī)械能守恒可知，飛船在P點(diǎn)速度大于在Q點(diǎn)的速度，選項(xiàng)A正確；飛船從軌道Ⅰ加速過渡到軌道Ⅱ，所以飛船在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)時(shí)的機(jī)械能小于軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)的機(jī)械能，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；飛船在空間同一點(diǎn)所受萬有引力相同，所以飛船在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)的加速度等于飛船在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)的加速度，選項(xiàng)C正確；飛船繞火星在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)周期跟飛船返回地面的過程中繞地球以軌道Ⅰ同樣半徑運(yùn)動(dòng)的周期不相同，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。 　[考法綜述]　本考點(diǎn)知識(shí)是高考的常考內(nèi)容，萬有引力定律的應(yīng)用多以人造衛(wèi)星與航天等現(xiàn)代科技為背景命題，常涉及衛(wèi)星的發(fā)射、環(huán)繞、對(duì)接變軌能量等，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)掌握： 3個(gè)速度——第一、二、三宇宙速度 3類衛(wèi)星——近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星、極地衛(wèi)星 2種觀點(diǎn)——經(jīng)典時(shí)空觀、相對(duì)論時(shí)空觀 4個(gè)物理量——線速度、角速度、向心加速度、周期之間的相互關(guān)系 命題法1　衛(wèi)星運(yùn)行參量間的關(guān)系 典例1　　研究表明，地球自轉(zhuǎn)在逐漸變慢，3億年前地球自轉(zhuǎn)的周期約為22小時(shí)。假設(shè)這種趨勢(shì)會(huì)持續(xù)下去，地球的其他條件都不變，未來人類發(fā)射的地球同步衛(wèi)星與現(xiàn)在的相比 (　　) A．距地面的高度變大 B．向心加速度變大 C．線速度變大 D．角速度變大 [答案]　A [解析]　同步衛(wèi)星運(yùn)行周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，由G＝m(R＋h)2有h＝ －R，故T增大時(shí)h也增大，A正確。同理由＝ma＝m＝m(R＋h)ω2可得a＝、v＝ 、ω＝ ，故h增大后a、v、ω都減小，B、C、D皆錯(cuò)誤。 【解題法】　人造衛(wèi)星問題的解題技巧 (1)利用衛(wèi)星向心加速度的不同表述形式。 ①G＝an②an＝＝rω2＝r來討論分析。 (2)解決力與運(yùn)動(dòng)關(guān)系的思想還是動(dòng)力學(xué)思想，解決力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系的橋梁還是牛頓第二定律。 (3)與同步衛(wèi)星相關(guān)的物理規(guī)律 ①地球的公轉(zhuǎn)周期為1年，其自轉(zhuǎn)周期為1天(24小時(shí))，地球的表面半徑約為6.4103 km，表面重力加速度g＝9.8 m/s2。 ②月球的公轉(zhuǎn)周期為1月(約27.3天，在一般估算中常取27天)。 ③人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行半徑最小為r＝6.4103 km，運(yùn)行周期最小為T＝84.8分鐘，運(yùn)行速度最大為v＝7.9 km/s。 命題法2　幾類衛(wèi)星的相關(guān)知識(shí) 典例2　　有a、b、c、d四顆衛(wèi)星，a還未發(fā)射，在地球赤道上隨地球一起轉(zhuǎn)動(dòng)，b在地面附近近地軌道上正常運(yùn)動(dòng)，c是地球同步衛(wèi)星，d是高空探測(cè)衛(wèi)星，設(shè)地球自轉(zhuǎn)周期為24 h，所有衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)均視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，各衛(wèi)星排列位置如下圖所示，則下列關(guān)于衛(wèi)星的說法中正確的是(　　) A．a(chǎn)的向心加速度等于重力加速度g B．c在4 h內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角為 C．b在相同的時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧長(zhǎng)最長(zhǎng) D．d的運(yùn)動(dòng)周期可能是23 h [答案]　C [解析]　在地球赤道表面隨地球自轉(zhuǎn)的衛(wèi)星，其所受萬有引力提供重力和其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，a的向心加速度小于重力加速度g，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由于c為同步衛(wèi)星，所以c的周期為24 h，因此4 h內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角為θ＝，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由四顆衛(wèi)星的運(yùn)行情況可知，b運(yùn)動(dòng)的線速度是最大的，所以其在相同的時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧長(zhǎng)最長(zhǎng)，選項(xiàng)C正確；d運(yùn)行的周期比c要長(zhǎng)，所以其周期應(yīng)大于24 h，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。 【解題法】　赤道上的物體、近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星之間的關(guān)系比較 比較內(nèi)容 赤道上的物體 近地衛(wèi)星 同步衛(wèi)星 向心力來源 萬有引力的分力 萬有引力 向心力方向 指向地心 重力與萬有引力的關(guān)系 重力略小于萬有引力 重力等于萬有引力 線速度 v1＝ω1R v2＝ v3＝ω3(R＋h)＝ v1＜v3＜v2(v2為第一宇宙速度) 角速度 ω1＝ω自 ω2＝ ω3＝ω自＝ ω1＝ω3＜ω2 向心加速度 a1＝ωR a2＝ωR＝ a3＝ω(R＋h) ＝ a1＜a3＜a2 命題法3　衛(wèi)星的變軌問題 典例3　　(多選)如圖為嫦娥三號(hào)登月軌跡示意圖。圖中M點(diǎn)為環(huán)地球運(yùn)行的近地點(diǎn)，N點(diǎn)為環(huán)月球運(yùn)行的近月點(diǎn)。a為環(huán)月球運(yùn)行的圓軌道，b為環(huán)月球運(yùn)行的橢圓軌道，下列說法中正確的是(　　) A．嫦娥三號(hào)在環(huán)地球軌道上的運(yùn)行速度大于11.2 km/s B．嫦娥三號(hào)在M點(diǎn)進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道時(shí)應(yīng)點(diǎn)火加速 C．設(shè)嫦娥三號(hào)在圓軌道a上經(jīng)過N點(diǎn)時(shí)的加速度為a1，在橢圓軌道b上經(jīng)過N點(diǎn)時(shí)的加速度為a2，則a1>a2 D．嫦娥三號(hào)在圓軌道a上的機(jī)械能小于在橢圓軌道b上的機(jī)械能 [答案]　BD [解析]　嫦娥三號(hào)在環(huán)地球軌道上運(yùn)行速度v總小于第一宇宙速度，則A錯(cuò)誤；嫦娥三號(hào)要脫離地球需在M點(diǎn)點(diǎn)火加速讓其進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道，則B正確；由a＝，知嫦娥三號(hào)在經(jīng)過圓軌道a上的N點(diǎn)和在橢圓軌道b上的N點(diǎn)時(shí)的加速度相等，則C錯(cuò)誤；嫦娥三號(hào)要從b軌道轉(zhuǎn)移到a軌道需要減速，機(jī)械能減小，則D正確。 【解題法】　航天器變軌問題的分析 (1)衛(wèi)星的變軌問題有以下兩種情況。 ①制動(dòng)變軌：衛(wèi)星的速率變小時(shí)，使得萬有引力大于所需向心力，即F引＞，衛(wèi)星做向心運(yùn)動(dòng)，軌道半徑將變小。因此，要使衛(wèi)星的軌道半徑減小，需開動(dòng)反沖發(fā)動(dòng)機(jī)使衛(wèi)星做減速運(yùn)動(dòng)。 ②加速變軌：衛(wèi)星的速率增大時(shí)，使得萬有引力小于所需向心力，即F引＜，衛(wèi)星做離心運(yùn)動(dòng)，軌道半徑將變大。因此，要使衛(wèi)星的軌道半徑變大，需開動(dòng)反沖發(fā)動(dòng)機(jī)使衛(wèi)星做加速運(yùn)動(dòng)。 (2)航天器在不同軌道上運(yùn)行時(shí)機(jī)械能不同，軌道半徑越大，機(jī)械能越大。 (3)航天器經(jīng)過不同軌道相交的同一點(diǎn)時(shí)加速度相等，外軌道的速度大于內(nèi)軌道的速度。 命題法4　衛(wèi)星的追及對(duì)接問題 典例4　　a是地球赤道上一幢建筑，b是在赤道平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)、距地面9.6106 m的衛(wèi)星，c是地球同步衛(wèi)星，某一時(shí)刻b、c剛好位于a的正上方(如圖甲所示)，經(jīng)48 h，a、b、c的大致位置是圖乙中的(取地球半徑R＝6.4106 m，地球表面重力加速度g＝10 m/s2，π＝)(　　) [答案]　B [解析]　對(duì)衛(wèi)星b有G＝m(R＋h)，而G＝mg，即gR2＝GM，所以衛(wèi)星b的運(yùn)動(dòng)周期Tb＝2π ，代入數(shù)據(jù)解得Tb＝ h。故經(jīng)48 h衛(wèi)星b轉(zhuǎn)過的圈數(shù)n＝＝8.64 圈。而同步衛(wèi)星c的周期與地球的自轉(zhuǎn)周期相同，即建筑a與同步衛(wèi)星c都轉(zhuǎn)過2圈，回到原來的位置，B正確。 【解題法】　解決衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)中“追及問題”的一般思路 (1)要弄清模型，是兩個(gè)衛(wèi)星(或物體)間的追及問題還是一個(gè)衛(wèi)星與地面上物體之間的追及問題； (2)要借助圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)和天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，分析清楚兩者的周期關(guān)系，從而確定誰運(yùn)動(dòng)快、誰運(yùn)動(dòng)慢，誰前誰后； (3)根據(jù)兩個(gè)衛(wèi)星(或物體)做圓周運(yùn)動(dòng)的圈數(shù)或角度關(guān)系列出方程求解。 1．(多選)我國(guó)發(fā)射的“嫦娥三號(hào)”登月探測(cè)器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圓軌道上繞月運(yùn)行；然后經(jīng)過一系列過程，在離月面4 m高處做一次懸停(可認(rèn)為是相對(duì)于月球靜止)；最后關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，探測(cè)器自由下落。已知探測(cè)器的質(zhì)量約為1.3103 kg，地球質(zhì)量約為月球的81倍，地球半徑約為月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小約為9.8 m/s2。則此探測(cè)器(　　) A．在著陸前的瞬間，速度大小約為8.9 m/s B．懸停時(shí)受到的反沖作用力約為2103 N C．從離開近月圓軌道到著陸這段時(shí)間內(nèi)，機(jī)械能守恒 D．在近月圓軌道上運(yùn)行的線速度小于人造衛(wèi)星在近地圓軌道上運(yùn)行的線速度 答案　BD 解析　月球表面重力加速度大小g月＝G＝G＝g地＝1.66 m/s2，則探測(cè)器在月球表面著陸前的速度大小vt＝＝3.6 m/s，A項(xiàng)錯(cuò)；懸停時(shí)受到的反沖作用力F＝mg月＝2103 N，B項(xiàng)正確；從離開近月圓軌道到著陸過程中，有發(fā)動(dòng)機(jī)工作階段，故機(jī)械能不守恒，C項(xiàng)錯(cuò)；在近月圓軌道上運(yùn)行的線速度v月＝＜ ，故D項(xiàng)正確。 2．如圖，若兩顆人造衛(wèi)星a和b均繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，a、b到地心O的距離分別為r1、r2，線速度大小分別為v1、v2，則(　　) A.＝ B.＝ C.＝2 D.＝2 答案　A 解析　萬有引力提供衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，有G＝m，所以v＝ ，＝，A項(xiàng)正確。 3．(多選)在星球表面發(fā)射探測(cè)器，當(dāng)發(fā)射速度為v時(shí)，探測(cè)器可繞星球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；當(dāng)發(fā)射速度達(dá)到v時(shí)，可擺脫星球引力束縛脫離該星球。已知地球、火星兩星球的質(zhì)量比約為10∶1，半徑比約為2∶1。下列說法正確的有(　　) A．探測(cè)器的質(zhì)量越大，脫離星球所需要的發(fā)射速度越大 B．探測(cè)器在地球表面受到的引力比在火星表面的大 C．探測(cè)器分別脫離兩星球所需要的發(fā)射速度相等 D．探測(cè)器脫離星球的過程中，勢(shì)能逐漸增大 答案　BD 解析　由G＝m得，v＝ ，則有v＝ ，由此可知探測(cè)器脫離星球所需要的發(fā)射速度與探測(cè)器的質(zhì)量無關(guān)，A項(xiàng)錯(cuò)誤；由F＝G及地球、火星的質(zhì)量、半徑之比可知，探測(cè)器在地球表面受到的引力比在火星表面的大，B項(xiàng)正確；由v＝ 可知，探測(cè)器脫離兩星球所需的發(fā)射速度不同，C項(xiàng)錯(cuò)誤；探測(cè)器在脫離兩星球的過程中，引力做負(fù)功，引力勢(shì)能是逐漸增大的，D項(xiàng)正確。 4．已知地球的質(zhì)量約為火星質(zhì)量的10倍，地球的半徑約為火星半徑的2倍，則航天器在火星表面附近繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速率約為(　　) A．3.5 km/s B．5.0 km/s C．17.7 km/s D．35.2 km/s 答案　A 解析　航天器在火星表面附近繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由火星對(duì)航天器的萬有引力提供航天器的向心力得 ＝ 同理＝ 所以＝2 v火＝v地，而v地＝7.9 km/s 故v火＝ km/s≈3.5 km/s，選項(xiàng)A正確。 5．xx年我國(guó)相繼完成“神十”與“天宮”對(duì)接、“嫦娥”攜“玉兔”落月兩大航天工程。某航天愛好者提出“玉兔”回家的設(shè)想：如圖，將攜帶“玉兔”的返回系統(tǒng)由月球表面發(fā)射到h高度的軌道上，與在該軌道繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)的飛船對(duì)接，然后由飛船送“玉兔”返回地球。設(shè)“玉兔”質(zhì)量為m，月球半徑為R，月面的重力加速度為g月。以月面為零勢(shì)能面，“玉兔”在h高度的引力勢(shì)能可表示為Ep＝，其中G為引力常量，M為月球質(zhì)量。若忽略月球的自轉(zhuǎn)，從開始發(fā)射到對(duì)接完成需要對(duì)“玉兔”做的功為(　　) A.(h＋2R) B.(h＋R) C. D. 答案　D 解析　“玉兔”在月球表面時(shí)的機(jī)械能E1＝0。在高度為h的對(duì)接軌道上“玉兔”具有的勢(shì)能Ep＝，根據(jù)＝m可得，“玉兔”在對(duì)接軌道上具有的動(dòng)能Ek＝mv2＝，所以“玉兔”在對(duì)接軌道上具有的機(jī)械能E2＝Ek＋Ep＝，而在月球表面GM＝g月R2，所以E2＝。由功能關(guān)系可知，從開始發(fā)射到對(duì)接完成需對(duì)“玉兔”做功W＝E2－E1＝，D正確。 6．“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星繞地運(yùn)行一段時(shí)間后，離開地球飛向月球。如圖所示是繞地飛行的三條軌道，軌道1是近地圓形軌道，2和3是變軌后的橢圓軌道。A點(diǎn)是2軌道的近地點(diǎn)，B點(diǎn)是2軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)，衛(wèi)星在軌道1的運(yùn)行速率為7.7 km/s，則下列說法中正確的是(　　) A．衛(wèi)星在2軌道經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)的速率一定小于7.7 km/s B．衛(wèi)星在2軌道經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速率一定大于7.7 km/s C．衛(wèi)星在3軌道所具有的機(jī)械能小于在2軌道所具有的機(jī)械能 D．衛(wèi)星在3軌道所具有的最大速率大于在2軌道所具有的最大速率 答案　D 解析　衛(wèi)星在近地圓形軌道的A點(diǎn)加速做離心運(yùn)動(dòng)才能進(jìn)入軌道2或3，且進(jìn)入軌道3加速獲得的速率大于進(jìn)入軌道2的，由此推知A、C錯(cuò)誤，D正確。在B點(diǎn)虛擬一個(gè)圓軌道，則該圓軌道上B點(diǎn)的速率大于衛(wèi)星在2軌道經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速率，又由v＝可知，該圓軌道上的速率小于1軌道上的速率，則衛(wèi)星在2軌道經(jīng)過B點(diǎn)的速率小于7.7 km/s，選項(xiàng)B錯(cuò)誤。 7．如圖所示，某極地軌道衛(wèi)星的運(yùn)行軌道平面通過地球的南北兩極上空，已知該衛(wèi)星從北緯60的正上方，按圖示方向第一次運(yùn)行到南緯60的正上方時(shí)所用時(shí)間為1 h，則下列說法正確的是(　　) A．該衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的運(yùn)行半徑之比為1∶4 B．該衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度之比為1∶2 C．該衛(wèi)星的運(yùn)行速度一定大于7.9 km/s D．該衛(wèi)星的機(jī)械能一定大于同步衛(wèi)星的機(jī)械能 答案　A 解析　由題知衛(wèi)星運(yùn)行的軌跡所對(duì)圓心角為120，即運(yùn)行了三分之一周期，用時(shí)1 h，因此衛(wèi)星的周期T＝3 h，由G＝mr可得T∝，又同步衛(wèi)星的周期T同＝24 h，則極地衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的半徑之比為1∶4，A正確。由G＝m，可得v∝，故極地衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度之比為2∶1，B錯(cuò)誤。第一宇宙速度v＝7.9 km/s，是近地衛(wèi)星的運(yùn)行速度，而該衛(wèi)星的運(yùn)行速度小于7.9 km/s，故C錯(cuò)誤。因衛(wèi)星的質(zhì)量未知，則機(jī)械能無法比較，D錯(cuò)誤。 8．如圖為“嫦娥三號(hào)”探測(cè)器在月球上著陸最后階段的示意圖。首先在發(fā)動(dòng)機(jī)作用下，探測(cè)器受到推力在距月面高度為h1處懸停(速度為0，h1遠(yuǎn)小于月球半徑)；接著推力改變，探測(cè)器開始豎直下降，到達(dá)距月面高度為h2處的速度為v；此后發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉，探測(cè)器僅受重力下落至月面。已知探測(cè)器總質(zhì)量為m(不包括燃料)，地球和月球的半徑比為k1，質(zhì)量比為k2，地球表面附近的重力加速度為g，求： (1)月球表面附近的重力加速度大小及探測(cè)器剛接觸月面時(shí)的速度大??； (2)從開始豎直下降到剛接觸月面時(shí)，探測(cè)器機(jī)械能的變化。 答案　(1)g　 (2)mv2－mg(h1－h(huán)2) 解析　(1)設(shè)地球質(zhì)量和半徑分別為M和R，月球的質(zhì)量、半徑和表面附近的重力加速度分別為M′、R′和g′，探測(cè)器剛接觸月面時(shí)的速度大小為vt。 由mg′＝G和mg＝G 得g′＝g，由v－v2＝2g′h2，得vt＝ (2)設(shè)機(jī)械能變化量為ΔE，動(dòng)能變化量為ΔEk，重力勢(shì)能變化量為ΔEp。 由ΔE＝ΔEk＋ΔEp 有ΔE＝mv－mg′h1＝m－mgh1 得ΔE＝mv2－mg(h1－h(huán)2) 一、雙星模型 1．在天體運(yùn)動(dòng)中，將兩顆彼此相距較近，且在相互之間萬有引力作用下繞兩者連線上的某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的行星稱為雙星。 2．模型條件 (1)兩顆星彼此相距較近。 (2)兩顆星靠相互之間的萬有引力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。 (3)兩顆星繞同一圓心做圓周運(yùn)動(dòng)。 3．雙星具有如下特點(diǎn) (1)雙星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相等，周期也相同； (2)兩顆恒星的向心力大小相等，都是由雙星間相互作用的萬有引力提供的，即m1ω2r1＝m2ω2r2，又r1＋r2＝L(L是雙星間的距離)，可得r1＝L，r2＝L，可以看出，固定點(diǎn)(圓心)離質(zhì)量大的星球較近。 (3)雙星的運(yùn)動(dòng)周期T＝2π。 (4)雙星的總質(zhì)量m1＋m2＝。 特別提醒 萬有引力定律表達(dá)式中的r表示雙星間的距離，此處應(yīng)該是L；而向心力表達(dá)式中的r表示它們各自做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，此處為r1、r2，千萬不可混淆。 二、多星模型 1．從19世紀(jì)初迄今的研究顯示，大多數(shù)的恒星如果不是雙星，就是超過兩顆以上恒星組成的多星系統(tǒng)，如三合星、四合星等，這些也稱為聚星。 2．模型特點(diǎn) 所研究星體的萬有引力的合力提供其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。除中央星體外，各星體的角速度或周期相等。 3．已觀測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在形式有：(1)三顆星位于同一直線上，兩顆環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運(yùn)行，如圖1，三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，如圖2。 宇宙中存在一些離其他恒星很遠(yuǎn)的四顆恒星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對(duì)它們的引力作用。穩(wěn)定的四星系統(tǒng)存在多種形式，其中一種是四顆質(zhì)量相等的恒星位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖3；另一種是三顆恒星始終位于正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，另一顆位于正三角形的中心O點(diǎn)，外圍三顆星繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖4。 4．分析求解雙星或多星問題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) (1)向心力來源：雙星問題中，向心力來源于另一星體的萬有引力；多星問題中，向心力則來源于其余星體的萬有引力的合力。 (2)圓心或軌道半徑的確定及求解：雙星問題中，軌道的圓心位于兩星連線上某處，只有兩星質(zhì)量相等時(shí)才位于連線的中點(diǎn)，此處極易發(fā)生的錯(cuò)誤是列式時(shí)將兩星之間的距離當(dāng)作軌道半徑；多星問題中，也只有各星體的質(zhì)量相等時(shí)軌道圓心才會(huì)位于幾何圖形的中心位置，解題時(shí)一定要弄清題給條件。 【典例】　質(zhì)量分別為m和M的兩個(gè)星球A和B在萬有引力作用下都繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，星球A和B兩者中心之間距離為L(zhǎng)。已知A、B的中心和O三點(diǎn)始終共線，A和B分別在O的兩側(cè)，引力常量為G。 (1)求兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期； (2)在地月系統(tǒng)中，若忽略其他星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運(yùn)行的周期記為T1。但在近似處理問題時(shí)，常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的，這樣算得的運(yùn)行周期記為T2。已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.981024 kg和7.351022 kg。求T2與T1兩者平方之比。(結(jié)果保留3位小數(shù)) [解析]　(1)求解兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期。 兩星球圍繞同一點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其角速度一樣，周期也一樣，其所需向心力由兩者間的萬有引力提供，由牛頓第二定律得： 對(duì)于M：G＝Mr1 對(duì)于m：G＝mr2 其中：r1＋r2＝L 由以上三式，可得：T＝2π 。 (2)對(duì)于地月系統(tǒng)，求T2與T1平方之比。 若認(rèn)為地球和月球都圍繞中心連線某點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由(1)可知其兩球運(yùn)行周期為： T1＝2π 若認(rèn)為月球圍繞地心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬有引力定律和牛頓第二定律得： G＝mL 解得：T2＝ ，故：＝＝1.012。 [答案]　(1)2π 　(2)1.012 [心得體會(huì)]  對(duì)應(yīng)學(xué)生用書《學(xué)霸團(tuán)錯(cuò)題警示錄》P009　　衛(wèi)星種類很多，其作用也不盡相同，如果抓不住它們的力學(xué)特點(diǎn)以及運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，利用牛頓定律分析討論問題，極易造成盲目套用“經(jīng)驗(yàn)”而得出錯(cuò)誤結(jié)論，現(xiàn)分析一例如下： (多選)如右圖所示，同步衛(wèi)星與地心的距離為r，運(yùn)行速率為v1，向心加速度為a1；地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為a2，第一宇宙速度為v2，地球半徑為R，則下列比值正確的是(　　) A.＝　　　　　 B.＝2 C.＝ D.＝ [錯(cuò)解] [錯(cuò)因分析]　解本題時(shí)容易犯的錯(cuò)誤是，不分青紅皂白，由于思維定勢(shì)，對(duì)近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星、地球赤道上的物體均由G＝ma＝m分析得出結(jié)論。 [正解]　本題中涉及三個(gè)物體，其已知量排列如下： 地球同步衛(wèi)星：軌道半徑r，運(yùn)行速率v1，加速度a1； 地球赤道上的物體：軌道半徑R，隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度a2； 近地衛(wèi)星：軌道半徑R，運(yùn)行速率v2。 對(duì)于衛(wèi)星，其共同特點(diǎn)是萬有引力提供向心力，有G＝m，故＝。 對(duì)于同步衛(wèi)星和地球赤道上的物體，其共同特點(diǎn)是角速度相等，有a＝ω2r，故＝。故選A、D。 [答案]　AD [心得體會(huì)]