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內蒙古呼和浩特市2019屆高三（上）期中考試
數(shù)學試卷（文科）
一、選擇題。
1.已知集合A＝｛3，1，2｝，，，若A∩B＝B，則實數(shù)的取值集合是
A. B. C. ， D. ，1，
【答案】C
【解析】
【分析】
由A∩B＝B得B?A，得a＝2或3．
【詳解】∵A∩B＝B，∴B?A，∴a＝2或3．
∴實數(shù)a的取值集合是{2，3}．
故選：C．
【點睛】本題考查的知識點是集合的包含關系判斷及應用，集合關系中的參數(shù)問題，屬于基礎題．
2.已知復數(shù)，其中，為虛數(shù)單位， 且，則
A. 25 B. 1 C. 3 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】
由商的模等于模的商求解b的值．
【詳解】由z=bi4+3i，得|z|=|bi||4+3i|=5，
即|b|5=5，得b＝25．
故選：A．
【點睛】本題考查復數(shù)模的求法，是基礎題．
3.如果函數(shù)y=f(x)的圖象如圖，那么導函數(shù)y=f′(x)的圖象可能是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
試題分析：由y=f（x）的圖象得函數(shù)的單調性，從而得導函數(shù)的正負．解：由原函數(shù)的單調性可以得到導函數(shù)的正負情況依次是正→負→正→負，故選A
考點：導數(shù)的運用
點評：主要是考查了導數(shù)的正負決定函數(shù)的單調性，屬于基礎題．
4.如果α為銳角，sinα=45，那么sin2α的值等于
A. 2425 B. 1225 C. ?1225 D. ?2425
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知利用同角三角函數(shù)基本關系式可求cosα的值，進而利用二倍角的正弦函數(shù)公式可求sin2α的值．
【詳解】∵α為銳角，sinα=45，
∴cosα=1-sin2α=35，
∴sin2α＝2sinαcosα＝24535=2425．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式，二倍角的正弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，屬于基礎題．
5.已知f(x)=ax?2，g(x)=loga|x|(a>0且a≠1)，若（5）g(?5)<0，則y=f(x)，y=g(x)在同一坐標系內的大致圖象是(
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
通過計算f（5）?g（﹣5）＜0，可得0＜a＜1，則y＝ax，y＝logax均為減函數(shù)，結合y＝f（x）的圖象是將y＝ax的圖象向右平移2個單位，而y＝g（x）的圖象關于y軸對稱，且在x∈（0，+∞）上單調遞減可得解.
【詳解】因為f（5）?g（﹣5）＜0，得：a3?loga5＜0，
又a＞0，
所以a3＞0，
所以loga5＜0，
即0＜a＜1，
y＝f（x）的圖象是將y＝ax的圖象向右平移2個單位，且過點（2，1），單調遞減，
y＝g（x）的圖象關于y軸對稱，在x∈（0，+∞）上，函數(shù)單調遞減，且過點（1，0）
故選：B．
【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的平移及偶函數(shù)圖象的對稱性，屬于簡單題．
6.在等差數(shù)列{an}中，a1+a2=1，a2018+a2019=3，Sn是數(shù)列{an}的前n項和， 則S2019=(
A. 4036 B. 4038 C. 2019 D. 2009
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用等差數(shù)列的性質及前n項和公式求出結果即可．
【詳解】等差數(shù)列{an}中，a1+a2＝1，a2018+a2019＝3，
所以：a1+a2019＝a2+a2018＝2，
所以：S2019=2019(a1+a2019)2=2019．
故選：C．
【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質及前n項和公式的應用，主要考查學生的轉化能力，屬于基礎題.
7.設e1，e2為單位向量， 且e1，e2的夾角為π3，若a=e1+3e2，b=2e1，則向量在b方向上的投影為
A. 12 B. 52 C. ?32 D. ?2
【答案】B
【解析】
【分析】
由題意可求，e1→?e2→，然后求出a→?b→，進而求解向量a→在b→方向上的投影為a→?b→|b→|．
【詳解】由題意可得，e1→?e2→=|e1→||e2→|cos13π=12，
∵a→=e1→+3e2→，b→=2e1→，
∴a→?b→=（e1→+3e2→）?（2e1→）=2e1→2+6e1→?e2→=5，|b→|＝2，
則向量a→在b→方向上的投影為a→?b→|b→|=52．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了向量數(shù)量積的性質及向量投影定義的簡單應用，屬于基礎題．
8.對函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0，b、c∈R)作x=h(t)的代換， 使得代換前后f(x)的值域總不改變的代換是(
A. h(t)=2t B. h(t)=t2?1
C. h(t)=lgt D. h(t)=tant，0
0，則p:?x0∈R，x02+x0+1?0
D. “x2?3x+2=0”是“x=1”的充分不必要條件個
【答案】D
【解析】
【分析】
由復合命題的真值表即可判斷A；由原命題的逆否命題的真假，可判斷B；
由全稱命題的否定為特稱命題，可判斷C；由二次方程的解法，結合充分必要條件的定義可判斷D．
【詳解】若命題p為真命題，命題q為假命題，則￢q為真命題，
命題“p∨（￢q）”為真命題，故A正確；
命題“若x+y≠5，則x≠2或y≠3”的逆否命題為“若x＝2且y＝3，則x+y＝5”為真命題，
可得原命題為真命題，故B正確；
命題p：?x∈R，x2+x+1＞0，則￢p：?x0∈R，x02+x0+1≤0，故C正確；
“x＝1”可推得“x2﹣3x+2＝0”，反之不成立，
“x2﹣3x+2＝0”是“x＝1”的必要不充分條件，故D錯誤．
故選：D．
【點睛】本題考查復合命題的真假、四種命題的關系和命題的否定、充分必要條件的判斷，考查判斷能力和推理能力，屬于基礎題．
11.函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0，|φ|<π2)，若?x∈R，使f(x+2)?f(x)=4成立， 則ω的最小值是
A. π2 B. π C. π4 D. 3π4
【答案】A
【解析】
【分析】
化簡等式可得sin（ωx+2ω+φ）﹣sin（ωx+φ）＝2，由正弦函數(shù)的性質求得ω＝（k1﹣k2）π-π2，k1，k2∈Z，結合范圍ω＞0求得ω的最小值．
【詳解】函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2），
?x∈R，使f（x+2）﹣f（x）＝4成立，
即?x∈R，使2sin[ω（x+2）+φ]﹣2sin（ωx+φ）＝4成立，
即sin（ωx+2ω+φ）﹣sin（ωx+φ）＝2，
∴?x∈R，使ωx+2ω+φ＝2k1π+π2，ωx+φ＝2k2π+3π2，k∈Z，
∴解得：ω＝k1π﹣k2π-π2，k1，k2∈Z，
又∵ω＞0，
∴ω的最小值是π2．
故選：A．
【點睛】本題考查了正弦函數(shù)的圖象與性質的應用，屬于中檔題．
12.已知方程lnx+1=2ax有且只有兩個解x1，x2(x10，此時f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一個零點.
當a≠-e2時，f′（x）＝0的兩根為1，ln(-2a),
當10,
此時f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一個零點.
當1>ln(-2a)時，f（x）在（﹣∞， ln(-2a)）遞增；在（ln(-2a),1）上遞減，在（1，+∞）遞增，又f(ln(-2a))= a[(ln(-2a)﹣1]2-2a[(ln(-2a)﹣2]=a[ln2(-2a)-4(ln(-2a)+5]<0,
又f（1）=-e<0,同樣有f（x1）>0,
所以此時f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一個零點.
綜上當a＞0時，f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有兩個零點
a≤0時，f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一個零點.
【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值、數(shù)形結合方法、分類討論方法、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．
22.在直角坐標系xOy中，以O為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C1的極坐標方程為ρsinθ=4，曲線C2的極坐標方程為ρ2?2ρcosθ?4ρsinθ+1=0，曲線C3的極坐標方程為θ=π4(ρ∈R)．
（Ⅰ）求C1與C2的直角坐標方程；
（Ⅱ）若C2與C1的交于P點，C2與C3交于A、B兩點，求ΔPAB的面積．
【答案】（Ⅰ）C1的普通方程為y=4,曲線C2的普通方程x?12+y?22=4
（Ⅱ）S△PAB=372
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由曲線C1的極坐標方程能求出曲線C1的普通方程，由曲線C2的極坐標方程能求出曲線C2的普通方程．
（Ⅱ）由曲線C3的極坐標方程求出曲線C3的普通方程，聯(lián)立C1與C2得x2﹣2x+1＝0，解得點P坐標（1，4），從而點P到C3的距離d=322．設A（ρ1，θ1），B（ρ2，θ2）．將θ=π4代入C2，得ρ2-32ρ+1=0，求出|AB|＝|ρ1﹣ρ2|，由此能求出△PAB的面積．
【詳解】（Ⅰ）∵曲線C1的極坐標方程為ρsinθ=4，
∴根據(jù)題意，曲線C1的普通方程為y=4
∵曲線C2的極坐標方程為ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+1=0，
∴曲線C2的普通方程為x2+y2-2x-4y+1=0，即x-12+y-22=4
（Ⅱ）∵曲線C3的極坐標方程為θ=π4ρ∈R，
∴曲線C3的普通方程為y=x
聯(lián)立C1與C2:y=4x-12+y-12=4
得x2-2x+1=0，解得x=1,∴點P的坐標1,4
點P到C3的距離d=1-42=322.
設Aρ1,θ1,Bρ2,θ2將θ=π4代入C2，得ρ2-32ρ+1=0
則ρ1+ρ2=32,ρ1ρ2=1，
AB=ρ1-ρ2=ρ1+ρ22-4ρ1ρ2=14,
∴S△PAB=12ABd=1214322=372.
【點睛】本題考查曲線的直角坐標方程的求法，考查三角形面積的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數(shù)方程的互化等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題．
23.[選修4-5：不等式選講]
已知函數(shù)f(x)=|x?4|+|x+5|．
（Ⅰ）試求使等式f(x)=|2x+1|成立的x的取值范圍；
（Ⅱ）若關于x的不等式f(x)
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內蒙古呼和浩特市2019屆高三數(shù)學上學期期中調研考試試卷
文含解析
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