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2.3 圓周運動的案例分析
[學習目標] 1.通過向心力的實例分析，體會勻速圓周運動在生活、生產(chǎn)中的應(yīng)用.2.能應(yīng)用向心力和向心加速度公式分析過山車問題和火車轉(zhuǎn)彎問題.3.熟練掌握應(yīng)用牛頓第二定律和向心力知識分析兩類豎直面內(nèi)圓周運動模型的步驟和方法．
一、過山車
1．向心力：過山車到達軌道的頂部時，人與車作為一個整體，所受到的向心力是重力跟軌道對車的彈力的合力，方向向下．
2．臨界速度：當軌道對車的彈力為零時，過山車通過圓形軌道頂部時的速度．此時m＝mg，得v臨界＝.
(1)v＝v臨界時，重力恰好等于過山車做圓周運動的向心力，車不會脫離軌道．
(2)v
v臨界時，彈力和重力的合力提供向心力，車子不會掉下來．
二、運動物體的轉(zhuǎn)彎問題
1．自行車在水平路面轉(zhuǎn)彎，地面對車的作用力與重力的合力提供轉(zhuǎn)彎所需的向心力．
2．汽車在水平路面轉(zhuǎn)彎，所受靜摩擦力提供轉(zhuǎn)彎所需的向心力．
3．火車轉(zhuǎn)彎時外軌高于內(nèi)軌，如圖1所示，向心力由支持力和重力的合力提供．
圖1
[即學即用]
1．判斷下列說法的正誤．
(1)汽車在水平路面上正常轉(zhuǎn)彎時所需要的向心力是滑動摩擦力提供的．()
(2)火車轉(zhuǎn)彎時，內(nèi)、外軌道一樣高．()
(3)若鐵路彎道的內(nèi)、外軌一樣高，火車通過彎道時向心力的來源是外軌的水平彈力，所以外軌容易磨損．(√)
(4)汽車行駛至凸形橋頂部時，對橋面的壓力等于車重．()
(5)汽車行駛至凹形橋底部時，對橋面的壓力大于車重．(√)
(6)繞地球做勻速圓周運動的航天器中的宇航員處于完全失重狀態(tài)，故不再具有重力．()
2．飛機由俯沖轉(zhuǎn)為拉起的一段軌跡可看成一段圓弧，如圖2所示，飛機做俯沖拉起運動時，在最低點附近做半徑為r＝180 m的圓周運動，如果飛行員質(zhì)量m＝70 kg，飛機經(jīng)過最低點P時的速度v＝360 km/h，則這時飛行員對座椅的壓力大小約為________．(g取10 m/s2)
圖2
答案 4 589 N
解析 飛機經(jīng)過最低點時，v＝360 km/h＝100 m/s.
對飛行員進行受力分析，飛行員在豎直面內(nèi)共受到重力G和座椅的支持力N兩個力的作用，根據(jù)牛頓第二定律得N－mg＝m，所以N＝mg＋m＝7010 N＋70 N≈4 589 N，由牛頓第三定律得，飛行員對座椅的壓力為4 589 N.
一、分析游樂場中的圓周運動
[導學探究] 如圖3所示，過山車能從高高的圓形軌道頂部轟然而過，車卻不掉下來，這是為什么呢？是因為過山車的車輪鑲嵌在軌道的槽內(nèi)、人被安全帶固定的原因嗎？
圖3
答案 當過山車在最高點的速度大于時，重力和軌道對車向下的彈力提供向心力，所以車不會掉下來，與其它因素無關(guān)．
[知識深化] 豎直平面內(nèi)“繩桿模型”的臨界問題
1．輕繩模型(如圖4所示)
圖4
(1)繩(內(nèi)軌道)施力特點：只能施加向下的拉力(或壓力)．
(2)在最高點的動力學方程T＋mg＝m.
(3)在最高點的臨界條件T＝0，此時mg＝m，則v＝.
①v＝時，拉力或壓力為零．
②v>時，小球受向下的拉力或壓力．
③v<時，小球不能到達最高點．
即輕繩的臨界速度為v臨界＝.
2．輕桿模型(如圖5所示)
圖5
(1)桿(雙軌道)施力特點：既能施加向下的拉力(或壓力)，也能施加向上的支持力．
(2)在最高點的動力學方程
當v＞時，N＋mg＝m，桿對球有向下的拉力，且隨v增大而增大．
當v＝時，mg＝m，桿對球無作用力．
當v＜時，mg－N＝m，桿對球有向上的支持力．
當v＝0時，mg＝N，球恰好能到達最高點．
(3)輕桿的臨界速度為v臨界＝0.
例1 公園里的過山車駛過最高點時，乘客在座椅里面頭朝下．若軌道半徑為R，人的質(zhì)量為m，重力加速度為g.
(1)若過山車安全通過最高點，必須至少具備多大的速度？
(2)若過最高點時人對座椅的壓力為2mg，則過山車在最高點時的速度是多大？
答案 (1) (2)
解析 (1)人恰好通過最高點時，座椅對人的壓力為零，只有重力提供向心力．根據(jù)牛頓第二定律，mg＝m
得：v1＝，即為安全通過最高點的最小速度
(2)若人對座椅的壓力N′＝2mg，在最高點人受座椅向下的彈力和重力，兩個力的合力提供向心力，有：mg＋N＝m
由牛頓第三定律得N＝N′＝2mg
得：v2＝
例2 如圖6所示，質(zhì)量為m的小球固定在長為l的細輕桿的一端，繞輕桿的另一端O在豎直平面內(nèi)做圓周運動．球轉(zhuǎn)到最高點時，線速度的大小為，此時( )
圖6
A．桿受到mg的拉力 B．桿受到mg的壓力
C．桿受到mg的拉力 D．桿受到mg的壓力
答案 B
解析 以小球為研究對象，小球受重力和桿的彈力，設(shè)小球所受彈力方向豎直向下，則N＋mg＝，將v＝代入上式得N＝－mg，即小球在A點受桿的彈力方向向上，大小為mg，由牛頓第三定律知桿受到mg的壓力．
二、研究運動物體轉(zhuǎn)彎時的向心力
[導學探究] 設(shè)火車轉(zhuǎn)彎時的運動為勻速圓周運動．
(1)如果鐵路彎道的內(nèi)、外軌一樣高，火車在轉(zhuǎn)彎時的向心力由什么力提供？會導致怎樣的后果？
(2)實際上在鐵路的彎道處外軌略高于內(nèi)軌，試從向心力的來源分析這樣做有怎樣的優(yōu)點．
(3)當軌道平面與水平面之間的夾角為α，轉(zhuǎn)彎半徑為R時，火車行駛速度多大軌道才不受擠壓？
(4)當火車行駛速度v>v0＝時，輪緣受哪個軌道的壓力？當火車行駛速度vv0＝時，重力和支持力的合力提供的向心力不足，此時外側(cè)軌道對輪緣有向里的側(cè)向壓力；當火車行駛速度vv0時，F(xiàn)向>F，即所需向心力大于支持力和重力的合力，這時外軌對車輪有側(cè)壓力，以彌補向心力不足的部分．
③當vmg，根據(jù)牛頓第三定律得，D正確．
【考點】豎直面內(nèi)的圓周運動分析
【題點】豎直面內(nèi)的“繩”模型
考點二 輕桿模型
5．(多選)如圖3所示，小球m在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做圓周運動，下列說法正確的是( )
圖3
A．小球通過最高點時的最小速度是
B．小球通過最高點時的最小速度為零
C．小球在水平線ab以下的管道中運動時外側(cè)管壁對小球一定無作用力
D．小球在水平線ab以下的管道中運動時外側(cè)管壁對小球一定有作用力
答案 BD
解析 小球通過最高點的最小速度為0，圓形管外側(cè)、內(nèi)側(cè)都可以對小球提供彈力，小球在水平線ab以下時，必須有指向圓心的力提供向心力，就是外側(cè)管壁對小球的作用力，故B、D正確．
6．長度為1 m的輕桿OA的A端有一質(zhì)量為2 kg的小球，以O(shè)點為圓心，在豎直平面內(nèi)做圓周運動，如圖4所示，小球通過最高點時的速度為3 m/s，g取10 m/s2，則此時小球?qū)? )
圖4
A．受到18 N的拉力
B．受到38 N的支持力
C．受到2 N的拉力
D．受到2 N的支持力
答案 D
解析 設(shè)此時輕桿對小球的向下的拉力為F，根據(jù)向心力公式有F＋mg＝m，代入數(shù)值可得F＝－2 N，表示小球受到2 N向上的支持力，選項D正確．
7．如圖5所示，質(zhì)量為m的小球置于正方體的光滑盒子中，盒子的邊長略大于球的直徑．某同學拿著該盒子在豎直平面內(nèi)做半徑為R的勻速圓周運動，已知重力加速度為g，空氣阻力不計，則( )
圖5
A．若盒子在最高點時，盒子與小球之間恰好無作用力，則該盒子做勻速圓周運動的周期為2π
B．若盒子以周期π做勻速圓周運動，則當盒子運動到圖示球心與O點位于同一水平面位置時，小球?qū)凶幼髠?cè)面的力為4mg
C．若盒子以角速度2做勻速圓周運動，則當盒子運動到最高點時，小球?qū)凶酉旅娴牧?mg
D．盒子從最低點向最高點做勻速圓周運動的過程中，球處于超重狀態(tài)；當盒子從最高點向最低點做勻速圓周運動的過程中，球處于失重狀態(tài)
答案 A
解析 由mg＝mR可得，盒子運動周期T＝2π，A正確．由N1＝mR，T1＝π，得N1＝4mg，由牛頓第三定律可知，小球?qū)凶佑覀?cè)面的力為4mg，B錯誤．由N2＋mg＝mω2R得，小球以ω＝2做勻速圓周運動時，在最高點小球?qū)凶由厦娴牧?mg，C錯誤．盒子由最低點向最高點運動的過程中，小球的加速度先斜向上，后斜向下，故小球先超重后失重，D錯誤．
【考點】豎直面內(nèi)的圓周運動分析
【題點】豎直面內(nèi)的“桿”模型
考點三 運動物體轉(zhuǎn)彎問題
8.如圖6所示，質(zhì)量相等的汽車甲和汽車乙，以相等的速率沿同一水平彎道做勻速圓周運動，汽車甲在汽車乙的外側(cè)．兩車沿半徑方向受到的摩擦力分別為f甲和f乙．以下說法正確的是( )
圖6
A．f甲小于f乙
B．f甲等于f乙
C．f甲大于f乙
D．f甲和f乙的大小均與汽車速率無關(guān)
答案 A
解析 汽車在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，摩擦力提供做勻速圓周運動的向心力，即f＝F向心＝m，由于r甲＞r乙，則f甲＜f乙，A正確．
9．擺式列車是集電腦、自動控制等高新技術(shù)于一體的新型高速列車，如圖7所示．當列車轉(zhuǎn)彎時，在電腦控制下，車廂會自動傾斜；行駛在直軌上時，車廂又恢復(fù)原狀，就像玩具“不倒翁”一樣．假設(shè)有一擺式列車在水平面內(nèi)行駛，以360 km/h的速度轉(zhuǎn)彎，轉(zhuǎn)彎半徑為1 km，則質(zhì)量為50 kg的乘客，在轉(zhuǎn)彎過程中所受到的火車給他的作用力為(g取10 m/s2)( )
圖7
A．500 N B．1 000 N
C．500 N D．0
答案 C
解析 乘客所需的向心力F＝m＝500 N，而乘客的重力為500 N，故火車對乘客的作用力大小FN＝＝500 N，C正確．
【考點】交通工具的轉(zhuǎn)彎問題
【題點】傾斜面內(nèi)的轉(zhuǎn)彎問題
10．在高速公路的拐彎處，通常路面都是外高內(nèi)低．如圖8所示，在某路段汽車向左拐彎，司機左側(cè)的路面比右側(cè)的路面低一些．汽車的運動可看做是半徑為R的圓周運動．設(shè)內(nèi)、外路面高度差為h，路基的水平寬度為d，路面的寬度為L.已知重力加速度為g.要使車輪與路面之間的橫向(即垂直于前進方向)摩擦力等于零，則汽車轉(zhuǎn)彎時的車速應(yīng)等于( )
圖8
A. B.
C. D.
答案 B
解析 設(shè)路面的傾角為θ，根據(jù)牛頓第二定律得mgtan θ＝m，又由數(shù)學知識可知tan θ＝，聯(lián)立解得v＝，選項B正確．
二、非選擇題
11．(運動物體轉(zhuǎn)彎問題)如圖9所示為汽車在水平路面做半徑為R的大轉(zhuǎn)彎的后視圖，懸吊在車頂?shù)臒糇笃甩冉?，則：(重力加速度為g)
圖9
(1)車正向左轉(zhuǎn)彎還是向右轉(zhuǎn)彎？
(2)車速是多少？
(3)若(2)中求出的速度正是汽車轉(zhuǎn)彎時不打滑允許的最大速度，則車輪與地面間的動摩擦因數(shù)μ是多少？
答案 (1)向右轉(zhuǎn)彎
(2)
(3)tan θ
解析 (1)向右轉(zhuǎn)彎
(2)對燈受力分析知mgtan θ＝m得v＝
(3)車剛好不打滑，有μMg＝M得μ＝tan θ.
12．(輕桿模型)質(zhì)量為0.2 kg的小球固定在長為0.9 m的輕桿一端，桿可繞過另一端O點的水平軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動．(g＝10 m/s2)求：
(1)當小球在最高點的速度為多大時，球?qū)U的作用力為零？
(2)當小球在最高點的速度分別為6 m/s和1.5 m/s時，球?qū)U的作用力．
答案 (1)3 m/s (2)6 N，方向豎直向上 1.5 N，方向豎直向下
解析 (1)當小球在最高點對桿的作用力為零時，重力提供向心力，則mg＝m，解得v0＝3 m/s.
(2)v1＞v0，由牛頓第二定律得：mg＋F1＝m，由牛頓第三定律得：F1′＝F1，解得F1′＝6 N，方向豎直向上．
v2＜v0，由牛頓第二定律得：mg－F2＝m，由牛頓第三定律得：F2′＝F2，解得：F2′＝1.5 N，方向豎直向下．
2018-2019學年高中物理 第2章 研究圓周運動 2.3 圓周運動的案例分析學案 滬科版必修2.doc
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