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全國版2019版高考物理一輪復(fù)習(xí)第4章曲線運動第18課時豎直面內(nèi)學(xué)案 1．豎直面內(nèi)圓周運動的兩個基本模型的比較 2．斜面上的圓周運動及其臨界問題 常見類型有三種 (1)物體受摩擦力在傾斜圓盤轉(zhuǎn)動。臨界問題在最低點。 (2)光滑斜面內(nèi)輕桿拉著物體轉(zhuǎn)動。臨界問題與豎直面內(nèi)的輕桿問題相似。 (3)光滑斜面內(nèi)輕繩拉著物體轉(zhuǎn)動。臨界問題與豎直面內(nèi)的輕繩問題相似。 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 模型1　輕桿模型 [例1]　如圖所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做圓周運動，內(nèi)側(cè)壁半徑為R，小球半徑為r，則下列說法中正確的是(　　) A．小球通過最高點時的最小速度vmin＝ B．小球通過最高點時的最小速度vmin＝ C．小球在水平線ab以下的管道中運動時，內(nèi)側(cè)管壁對小球一定無作用力 D．小球在水平線ab以上的管道中運動時，外側(cè)管壁對小球一定有作用力 解析　因是在圓形管道內(nèi)做圓周運動，所以在最高點時，內(nèi)壁可以給小球沿半徑向外的支持力，所以小球通過最高點時的最小速度可以為零，故A、B錯誤；小球在水平線ab以下的管道中運動時，豎直向下的重力沿半徑方向的分力沿半徑方向向外，小球的向心力是沿半徑指向圓心的，小球與外壁一定會相互擠壓，所以小球一定會受到外壁的作用力，內(nèi)側(cè)管壁對小球一定無作用力，故C正確；小球在水平線ab以上的管道中運動時，當(dāng)速度較小時，重力沿半徑方向上的分力大于或等于小球做圓周運動需要的向心力，此時小球與外壁不存在相互擠壓，外側(cè)管壁對小球沒有作用力，故D錯誤。 答案　C 模型2　輕繩模型 [例2]　如圖所示，一質(zhì)量為m＝0.5 kg的小球，用長為0.4 m的輕繩拴著在豎直平面內(nèi)做圓周運動。g取10 m/s2，求： (1)小球要做完整的圓周運動，在最高點的速度至少為多大？ (2)當(dāng)小球在最高點的速度為4 m/s時，輕繩拉力多大？ (3)若輕繩能承受的最大張力為45 N，小球的速度不能超過多 大？ 解析　(1)在最高點，對小球受力分析如圖甲，由牛頓第二定律得mg＋F1＝① 由于輕繩對小球只能提供指向圓心的拉力，即F1不可能取負值，亦即F1≥0② 聯(lián)立①②得v≥ 代入數(shù)值得v≥2 m/s 所以，小球要做完整的圓周運動，在最高點的速度至少為2 m/s。 (2)mg＋F2＝m，代入數(shù)據(jù)解得F2＝15 N。 (3)由分析可知，小球在最低點張力最大，對小球受力分析如圖乙， 由牛頓第二定律得F3－mg＝③ 將F3＝45 N代入③得v3＝4 m/s 即小球的速度不能超過4 m/s。 答案　(1)2 m/s　(2)15 N　(3)4 m/s 模型3　輕桿控制下的斜面上圓周運動 [例3]　如圖所示，在傾角為α＝30的光滑斜面上，有一根長為L＝0.8 m的輕桿，一端固定在O點，另一端系一質(zhì)量為m＝0.2 kg的小球，沿斜面做圓周運動，取g＝10 m/s2，若要小球能通過最高點A，則小球在最低點B的最小速度是(　　) A．4 m/s B．2 m/s C．2 m/s D．2 m/s 解析　小球受輕桿控制，在A點的最小速度為零，由動能定理可得：2mgLsinα＝mv－0，可得vB＝4 m/s，A正確。 答案　A 模型4　輕繩控制下的斜面上圓周運動 [例4]　(xx廈門模擬)如圖所示，在傾角θ＝30的光滑斜面上，長為L的細線一端固定在O點，另一端連接質(zhì)量為m的小球，小球在斜面上做圓周運動，A、B分別是圓弧的最高點和最低點，若小球在A、B兩點做圓周運動的最小速度分別為vA、vB，重力加速度為g，則(　　) A．vA＝0 B．vA＝ C．vB＝ D．vB＝ 解析　小球運動到A點時，由細線的拉力及重力沿斜面向下的分力的合力提供向心力，即mgsinθ＋T＝m。若vA取最小值，則此時拉力T＝0，即mgsinθ＝m，解得小球在A點的最小速度vA＝ ，故A、B錯誤。對小球從A點到B點的運動過程進行研究，根據(jù)機械能守恒定律有mv＋mg2Lsinθ＝mv，解得小球在B點的最小速度為vB＝，C正確，D錯誤。 答案　C 模型5　摩擦力控制下的斜面上圓周運動 [例5]　(xx安徽高考)如圖所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸以恒定角速度ω轉(zhuǎn)動，盤面上離轉(zhuǎn)軸距離2.5 m處有一小物體與圓盤始終保持相對靜止。物體與盤面間的動摩擦因數(shù)為(設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)，盤面與水平面的夾角為 30，g取10 m/s2。則ω的最大值是(　　) A. rad/s B. rad/s C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s 解析　物體隨圓盤做圓周運動，運動到最低點時最容易滑動，因此物體在最低點且剛好要滑動時的轉(zhuǎn)動角速度為最大值，這時，根據(jù)牛頓第二定律有，μmgcos30－mgsin30＝mω2r，求得ω＝1.0 rad/s，C正確，A、B、D錯誤。 答案　C (1)例1和例3思路相似，例2和例4思路相似，它們的相同之處是臨界，完成圓周運動的臨界點都在最高點，繩子承受最大拉力的臨界點在最低點。 (2)例5中完成圓周運動的臨界點在最低點。 (3)求解這類問題的思路 定模型→確定臨界點→研究狀態(tài)→受力分析→過程分析→找出原理，列方程求解。 1．(xx煙臺模擬)一輕桿一端固定質(zhì)量為m的小球，以另一端O為圓心，使小球在豎直面內(nèi)做半徑為R的圓周運動，如圖所示，則下列說法正確的是(　　) A．小球過最高點時，桿所受到的彈力可以等于零 B．小球過最高點的最小速度是 C．小球過最高點時，桿對球的作用力一定隨速度增大而增大 D．小球過最高點時，桿對球的作用力一定隨速度增大而減小 答案　A 解析　當(dāng)小球過最高點的速度v＝時，桿所受的彈力等于 零，A正確；輕桿可對小球產(chǎn)生向上的支持力，小球經(jīng)過最高點的速度可以為零，B錯誤；若v<，則桿在最高點對小球的彈力豎直向上，mg－F＝m，隨v增大，F(xiàn)減??；若v>，則桿在最高點對小球的彈力豎直向下，mg＋F＝m，隨v增大，F(xiàn)增大，C、D均錯 誤。 2.(多選)如圖所示，兩個質(zhì)量均為m的小物塊a和b(可視為質(zhì)點)靜止在傾斜的勻質(zhì)圓盤上，圓盤可繞垂直于盤面的固定軸轉(zhuǎn)動，a到轉(zhuǎn)軸的距離為l，b到轉(zhuǎn)軸的距離為2l，物塊與盤面間的動摩擦因數(shù)為，盤面與水平面的夾角為30。設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度大小為g，若a、b隨圓盤以角速度ω 勻速轉(zhuǎn)動，下列說法中正確的是(　　) A．a(chǎn)在最高點時所受摩擦力可能為0 B．a(chǎn)在最低點時所受摩擦力可能為0 C．ω＝ 是a開始滑動的臨界角速度 D．ω＝ 是b開始滑動的臨界角速度 答案　AD 解析　a在最高點時可能有重力沿斜面的分力提供向心力，所以所受摩擦力可能為0，故A正確；a在最低點，由牛頓運動定律f－mgsinθ＝m，所以a在最低點時所受摩擦力不可能為0，故B錯誤；對a在最低點，由牛頓運動定律μmgcosθ－mgsinθ＝mω2l，代入數(shù)據(jù)解得ω＝，故C錯誤；對b在最低點，由牛頓運動定律μmgcosθ－mgsinθ＝mω2(2l)，代入數(shù)據(jù)解得ω＝ ，故D正確。 1.如圖所示，乘坐游樂園的翻滾過山車時，質(zhì)量為m的人隨車在豎直平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，下列說法正確的是(　　) A．過山車在最高點時人處于倒坐狀態(tài)，全靠保險帶拉住，沒有保險帶，人就會掉下來 B．人在最高點時對座位不可能產(chǎn)生大小為mg的壓力 C．人在最低點時對座位的壓力等于mg D．人在最低點時對座位的壓力大于mg 答案　D 解析　人過最高點時，F(xiàn)N＋mg＝m，當(dāng)v≥時，不用保險帶，人也不會掉下來，當(dāng)v＝時，人在最高點時對座位產(chǎn)生的壓力為mg，A、B均錯誤；人在最低點具有豎直向上的加速度，處于超重狀態(tài)，故人此時對座位的壓力大于mg，C錯誤、D正確。 2．(xx咸陽一模)固定在豎直平面內(nèi)的光滑圓弧軌道ABCD，其A點與圓心等高，D點為軌道的最高點，DB為豎直線，AC為水平線，AE為水平面，如圖所示。今使小球自A點正上方某處由靜止釋放，且從A點進入圓弧軌道運動，只要適當(dāng)調(diào)節(jié)釋放點的高度，總能使球通過最高點D，則小球通過D點后(　　) A．一定會落到水平面AE上 B．一定會再次落到圓弧軌道上 C．可能會再次落到圓弧軌道上 D．不能確定 答案　A 解析　設(shè)小球恰好能夠通過最高點D，根據(jù)mg＝m，得：vD＝，知在最高點的最小速度為。小球經(jīng)過D點后做平拋運動，根據(jù)R＝gt2得：t＝。則平拋運動的水平位移為：x＝ ＝R，知小球一定落在水平面AE上。故A正確，B、 C、D錯誤。 3．如圖所示，長均為L的兩根輕繩，一端共同系住質(zhì)量為m的小球，另一端分別固定在等高的A、B兩點，A、B兩點間的距離也為L。重力加速度大小為g?，F(xiàn)使小球在豎直平面內(nèi)以AB為軸做圓周運動，若小球在最高點速率為v時，兩根繩的拉力恰好均為零，則小球在最高點速率為2v時，每根繩的拉力大小為(　　) A.mg B.mg C．3mg D．2mg 答案　A 解析　設(shè)小球在豎直面內(nèi)做圓周運動的半徑為r，小球運動到最高點時輕繩與圓周運動軌道平面的夾角為θ＝30，則有r＝Lcosθ＝L。根據(jù)題述小球在最高點速率為v時，兩根繩的拉力恰好均為零，有mg＝m；小球在最高點速率為2v時，設(shè)每根繩的拉力大小為F，則有2Fcosθ＋mg＝m，聯(lián)立解得F＝mg，A正確。 4．(多選)“水流星”是一種常見的雜技項目，該運動可以簡化為細繩一端系著小球在豎直平面內(nèi)的圓周運動模型。已知繩長為l，重力加速度為g，則(　　) A．小球運動到最低點Q時，處于失重狀態(tài) B．小球初速度v0越大，則在P、Q兩點繩對小球的拉力差越大 C．當(dāng)v0>時，小球一定能通過最高點P D．當(dāng)v0<時，細繩始終處于繃緊狀態(tài) 答案　CD 解析　小球運動到最低點Q時，由于加速度向上，故處于超重狀態(tài)，A錯誤；小球在最低點時：FT1－mg＝m；在最高點時：FT2＋mg＝m，其中mv－mg2l＝mv2，解得FT1－FT2＝6mg，故在P、Q兩點繩對小球的拉力差與初速度v0無關(guān)，B錯誤；當(dāng)v0＝時，可求得v＝，因為小球經(jīng)過最高點的最小速度為，則當(dāng) v0>時小球一定能通過最高點P，C正確；當(dāng)v0＝時，由mv＝mgh得小球能上升的高度h＝l，即小球不能越過與懸點等高的位置，故當(dāng)v0<時，小球?qū)⒃谧畹忘c位置附近來回擺動，細繩始終處于繃緊狀態(tài)，D正確。 5．如圖所示，質(zhì)量為M的物體內(nèi)有光滑圓形軌道，現(xiàn)有一質(zhì)量為m的小滑塊沿該圓形軌道在豎直面內(nèi)做圓周運動。A、C點為圓周的最高點和最低點，B、D點是與圓心O同一水平線上的點。小滑塊運動時，物體在地面上靜止不動，則物體對地面的壓力FN和地面對物體的摩擦力有關(guān)說法正確的是(　　) A．小滑塊在A點時，F(xiàn)N>Mg，摩擦力方向向左 B．小滑塊在B點時，F(xiàn)N＝Mg，摩擦力方向向右 C．小滑塊在C點時，F(xiàn)N＝(M＋m)g，M與地面無摩擦 D．小滑塊在D點時，F(xiàn)N＝(M＋m)g，摩擦力方向向左 答案　B 解析　因為軌道光滑，所以小滑塊與軌道之間沒有摩擦力。小滑塊在A點時，與軌道沒有水平方向的作用力，所以軌道沒有運動趨勢，即摩擦力為零；當(dāng)小滑塊的速度v＝時，對軌道A點的壓力為零，物體對地面的壓力FN＝Mg，當(dāng)小滑塊的速度v>時，對軌道A點的壓力向上，物體對地面的壓力FN(M＋m)g，故C錯誤；小滑塊在D點時，地面給物體向左的摩擦力，物體對地面的壓力FN＝Mg，故D錯誤。 6.如圖所示，豎直環(huán)A半徑為r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右兩側(cè)各有一擋板固定在地上，B不能左右運動，在環(huán)的最低點靜放一小球C，A、B、C的質(zhì)量均為m。現(xiàn)給小球一水平向右的瞬時速度v，小球會在環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運動，為保證小球能通過環(huán)的最高點，且不會使環(huán)在豎直方向上跳起(不計小球與環(huán)之間的摩擦阻力)，則瞬時速度v必須滿足(　　) A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 答案　D 解析　要保證小球能通過環(huán)的最高點，在最高點最小速度滿足mg＝m，對小球從最低點運動到最高點的過程應(yīng)用機械能守恒得mv＝mg2r＋mv，可得小球在最低點瞬時速度的最小值為 ，A、C錯誤；為了不使環(huán)在豎直方向上跳起，則在最高點球有最大速度時，對環(huán)的壓力為2mg，滿足3mg＝m，從最低點到最高點由機械能守恒得mv＝mg2r＋mv，可得小球在最低點瞬時速度的最大值為，B錯誤，D正確。 7．(多選)如圖甲所示，輕桿一端固定在O點，另一端固定一小球，現(xiàn)讓小球在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運動。小球運動到最高點時，受到的彈力為F，速度大小為 v，其Fv2圖象如圖乙所示。則(　　) A．小球的質(zhì)量為 B．當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮? C．v2＝c時，小球?qū)U的彈力方向向下 D．v2＝2b時，小球受到的彈力與重力大小相等 答案　AD 解析　由題圖乙可知：當(dāng)v2＝b時，桿對球的彈力恰好為零，此時只受重力，重力提供向心力，mg＝m＝m，即重力加速度g＝，故B錯誤；當(dāng)v2＝0時，向心力為零，桿對球的彈力恰好與球的重力等大反向，F(xiàn)彈＝mg＝a，即小球的質(zhì)量m＝＝，故A正確；根據(jù)圓周運動的規(guī)律，當(dāng)v2＝b時桿對球的彈力為零，當(dāng)v2b時，mg＋F彈＝m，桿對球的彈力方向向下，v2＝c>b，桿對小球的彈力方向向下，根據(jù)牛頓第三定律，小球?qū)U的彈力方向向上，故C錯誤；當(dāng)v2＝2b時，mg＋F彈＝m＝m，又g＝，F(xiàn)彈＝m－mg＝mg，故D正確。 8．(xx山西孝義一模)如圖質(zhì)量為20 kg的小孩坐在秋千板上，小孩離拴繩子的橫梁2 m。如果秋千板擺到最低點時，速度為3 m/s，問小孩對秋千板的壓力是多大？如果繩子最大承受力為1200 N，則小孩通過最低點時的最大速度是多少？(忽略秋千板的質(zhì)量，g取10 m/s2) 答案　290 N　10 m/s 解析　小孩通過圓周運動最低點時，合外力提供向心力，則有FN－mg＝m，解得FN＝290 N。根據(jù)牛頓第三定律可知，小孩對秋千板的壓力是290 N。 當(dāng)繩子的拉力達到最大承受力1200 N時，小孩的速度最大，則有F－mg＝m，解得vm＝10 m/s。 9．(xx天津高考)未來的星際航行中，宇航員長期處于零重力狀態(tài)，為緩解這種狀態(tài)帶來的不適，有人設(shè)想在未來的航天器上加裝一段圓柱形“旋轉(zhuǎn)艙”，如圖所示，當(dāng)旋轉(zhuǎn)艙繞其軸線勻速旋轉(zhuǎn)時，宇航員站在旋轉(zhuǎn)艙內(nèi)圓柱形側(cè)壁上，可以受到與他站在地球表面時相同大小的支持力。為達到上述目的，下列說法正確的是(　　) A．旋轉(zhuǎn)艙的半徑越大，轉(zhuǎn)動的角速度就應(yīng)越大 B．旋轉(zhuǎn)艙的半徑越大，轉(zhuǎn)動的角速度就應(yīng)越小 C．宇航員質(zhì)量越大，旋轉(zhuǎn)艙的角速度就應(yīng)越大 D．宇航員質(zhì)量越大，旋轉(zhuǎn)艙的角速度就應(yīng)越小 答案　B 解析　旋轉(zhuǎn)艙對宇航員的支持力提供宇航員做圓周運動的向心力，即mg＝mω2r，解得ω＝，即旋轉(zhuǎn)艙的半徑越大，角速度越 小，而且與宇航員的質(zhì)量無關(guān)，B正確。 10. (xx安徽蚌埠三模)(多選)如圖所示，一托盤托著一個物體m一起在豎直平面內(nèi)沿逆時針方向做勻速圓周運動，A、C分別是軌跡圓的最低點和最高點，B與軌跡圓心等高。下列說法正確的是(　　) A．物體m在B處受到的摩擦力最大 B．物體m在C處受到的支持力最小 C．從A向B運動過程中，物體m受到的摩擦力和支持力均增大 D．從B向C運動過程中，物體m受到的摩擦力和支持力均減小 答案　ABD 解析　物體m在運動過程中受重力、支持力、靜摩擦力，三個力的合力提供向心力。因為做勻速圓周運動，所以受到的合力大小不變，方向時刻指向圓心，合力沿水平方向的分力等于物體m所受的摩擦力，合力沿豎直方向的分力等于重力和支持力的合力，從A到B再到C的過程中，設(shè)向心力與水平方向的夾角為θ，摩擦力f＝Fncosθ，運動過程中θ先減小后增大，故摩擦力先增大后減小，在B處最大，A正確；從A向B運動過程中，重力和支持力的合力F＝Fnsinθ，故兩者的合力減小，即N－mg減小，重力不變，所以支持力減小，從B向C運動過程中，重力和支持力的合力F＝Fnsinθ，增大，即mg－N 增大，重力不變，所以支持力減小，物體m在C處受到的支持力最小，B、D正確，C錯誤。 11．(xx陜西西安一中模擬)(多選)如圖甲所示，用一輕質(zhì)繩拴著一質(zhì)量為m的小球，在豎直平面內(nèi)做圓周運動(不計一切阻力)，小球運動到最高點時繩對小球的拉力為T，小球在最高點的速度大小為v，其Tv2圖象如圖乙所示，則(　　) A．輕質(zhì)繩長為 B．當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹? C．當(dāng)v2＝c時，輕質(zhì)繩的拉力大小為＋a D．只要v2≥b，小球在最低點和最高點時繩的拉力差均為6a 答案　BD 解析　在最高點重力和繩子的拉力的合力充當(dāng)向心力，所以有T＋mg＝m，即T＝v2－mg，故斜率k＝，縱截距y＝－mg，根據(jù)幾何知識可得k＝，y＝－a，聯(lián)立解得g＝，R＝，A錯誤，B正確；當(dāng)v2＝c時，代入T＝v2－mg，解得T＝－a，C錯誤；只要v2≥b，繩子的拉力大于0，根據(jù)牛頓第二定律得最高點T1＋mg＝m，最低點T2－mg＝m，從最高點到最低點的過程中，根據(jù)機械能守恒定律得mv＝mv＋mg2R，聯(lián)立解得T2－T1＝6mg＝6a，即小球在最低點和最高點時繩的拉力差均為6a，D正確。 12．(xx昆明七校調(diào)研)如圖所示，一長l＝0.45 m的輕繩一端固定在O點，另一端連接一質(zhì)量m＝0.10 kg的小球，懸點O距離水平地面的高度H＝0.90 m。開始時小球處于A點，此時輕繩拉直處于水平方向上，讓小球從靜止釋放，當(dāng)小球運動到B點時，輕繩碰到懸點O正下方一個固定的釘子P時立刻斷裂。不計輕繩斷裂的能量損失，取重力加速度g＝10 m/s2。 (1)輕繩斷裂后小球從B點拋出并落在水平地面的C點，求C點與B點之間的水平距離； (2)若＝0.30 m，輕繩碰到釘子P時繩中拉力達到所能承受的最大拉力而斷裂，求輕繩能承受的最大拉力。 答案　(1)0.90 m　(2)7 N 解析　(1)設(shè)小球運動到B點時的速度大小為vB，由機械能守恒定律得mv＝mgl 解得小球運動到B點時的速度大小 vB＝＝3.0 m/s 小球從B點做平拋運動，由運動學(xué)規(guī)律得 x＝vBt y＝H－l＝gt2 解得C點與B點之間的水平距離 x＝vB＝0.90 m。 (2)若輕繩碰到釘子時，輕繩拉力恰好達到最大值Fm，由牛頓運動定律得 Fm－mg＝ r＝l－ 由以上各式解得Fm＝7 N。