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2019-2020年高考數學 考前30天之備戰(zhàn)沖刺押題系列 名師預測卷 12 一、填空題（每題5分，共70分） 1、若關于的不等式的解集為，則實數m＝ 2、若將復數表示為是虛數單位）的形式，則＝ ． 3、已知命題：“，”，請寫出命題的否定: 4、從某小學隨機抽取100名同學，將他們的身高（單位：厘米）數據繪制成頻率分布直方圖（如圖）。由圖中數據可知a＝ 。若要從身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三組內的學生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動，則從身高在 [140，150]內的學生中選取的人數應為 。 5、設向量，，其中，若，則 . 6、圓上的點到直線的最大距離與最小距離之差是_____________. 7、已知等比數列滿足，且，則當時，______ 8、已知F1、F2是橢圓=1(5＜a＜10)的兩個焦點，B是短軸的一個端點，則 △F1BF2的面積的最大值是 9、、是兩個不同的平面，、是平面及之外的兩條不同直線，給出四個論斷： ①⊥ ②⊥ ③⊥ ④⊥ 以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題： _____. 10、將正偶數集合…從小到大按第組有個偶數進行分組如下： 第一組　　 第二組　　　　 第三組 ………… ………… 則位于第_______組。 11、設為非零實數，偶函數在區(qū)間上存在唯一零點，則實數的取值范圍是 。 12、方程所表示的曲線與直線有交點，則實數的取值范圍是 。 13、在平面直角坐標系中，為坐標原點。定義、兩點之間的“直角距離”為。已知，點為直線上的動點，則的最小值為 。 14、設函數，為坐標原點，為函數圖象上橫坐標為的點，向量與向量的夾角為，則滿足的最大整數的值為 。 二、解答題（90分） 15（本題滿分14分） 在△中，已知=9，sin=cossin，面積S＝6． （Ⅰ）求△的三邊的長； （Ⅱ）設是△（含邊界）內一點，到三邊，，的距離分別為x，y和z，求x＋y＋z的取值范圍． 16．（本題滿分14分）如圖，棱柱ABCD—A1B1C1D1的所有棱長都等于2，∠ABC=60，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC=60。 （Ⅰ）證明：BD⊥AA1；（Ⅱ）在直線CC1上是否存在點P，使BP//平面DA1C1？若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理由。 17、（本題滿分15分）第（1）小題滿分7分，第（2）小題滿分8分。 如圖1，，是某地一個湖泊的兩條互相垂直的湖堤，線段和曲線段分別是湖泊中的一座棧橋和一條防波堤。為觀光旅游的需要，擬過棧橋上某點分別修建與，平行的棧橋、，且以、為邊建一個跨越水面的三角形觀光平臺。建立如圖2所示的直角坐標系，測得線段的方程是，曲線段的方程是，設點的坐標為，記。（題中所涉及的長度單位均為米，棧橋和防波堤都不計寬度） （1）求的取值范圍； （2）試寫出三角形觀光平臺面積關于的函數解析式，并求出該面積的最小值。 18、（本題滿分15分）已知圓交軸于兩點，曲線是以為長軸，直線為準線的橢圓． （1）求橢圓的標準方程； （2）若是直線上的任意一點，以為直徑的圓與圓相交于兩點，求證：直線必過定點，并求出點的坐標。 19、（本題滿分16分）第（1）小題滿分6分，第（2）小題滿分6分，第（3）小題滿分6分。 設等比數列的首項為，公比為為正整數），且滿足是與的等差中項；數列滿足。 （1） 求數列的通項公式； （2） 試確定實數的值，使得數列為等差數列； （3） 當數列為等差數列時，對每個正整數，在和之間插入個2，得到一個新數列。設是數列的前項和，試求滿足的所有正整數。 20．（16分）已知函數。 （1）若，試確定函數的單調區(qū)間； （2）若且對任意，恒成立，試確定實數的取值范圍； （3）設函數，求證： 附加題 21．【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．請在答題卡指定區(qū)域內作答．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． A．選修4－1　幾何證明選講 如圖，⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相 交于點P，E為⊙O上一點，AE=AC， DE交AB于 點F．求證：△PDF∽△POC． B．選修4－2　矩陣與變換 已知矩陣． （1）求逆矩陣； （2）若矩陣X滿足，試求矩陣X． C．選修4－4　坐標系與參數方程 已知極坐標系的極點O與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C1：與曲線C2：（t∈R）交于A、B兩點．求證：OA⊥OB． D．選修4－5　不等式選講 已知x，y，z均為正數．求證：． 【必做題】第22題、第23題，每小題10分，共計20分．請在答題卡指定區(qū)域內作答．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 22．已知（其中） （1）求及； (2) 試比較與的大小，并說明理由． 23．設頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線過點P（2，4），過P作拋物線的動弦PA，PB，并設它們的斜率分別為kPA，kPB． （1）求拋物線的方程； （2）若kPA+kPB=0，求證直線AB的斜率為定值，并求出其值； （3）若kPAkPB=1，求證直線AB恒過定點，并求出其坐標． 參考答案 一、填空題 1．;2．8；3。；4。0.030 3；5。；6。；7。;8. ; 9. 或;10. 9組; 11． 12． 13． 4 14．3 二、解答題 15.解：設． （Ⅰ），，，， ，由，用余弦定理得 …………7分 （Ⅱ） 設，由線性規(guī)劃得． ∴．…………13分 16． 在A1作A1O⊥AC于點O，由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，由面面垂直的性質定理知，A1O⊥平面ABCD， 又底面為菱形，所以AC⊥BD ……………………6分 （Ⅱ）存在這樣的點P,連接B1C，因為A1B1ABDC ∴四邊形A1B1CD為平行四邊形?！郃1D//B1C 在C1C的延長線上取點P，使C1C=CP，連接BP ………8分 因B1BCC1， ………12分 ∴BB1CP ∴四邊形BB1CP為平行四邊形 則BP//B1C ∴BP//A1D ∴BP//平面DA1C1 ………14分 17．解：（1）由題意，得在線段CD：上，即， 又因為過點M要分別修建與OA、OB平行的棧橋MG、MK， 所以 -------------------2分 -------------------4分 所以的取值范圍是。 -------------------6分 （2）由題意，得 所以-------------------8分 則，-------------------10分 因為函數在單調遞減-------------------12分 所以當時，三角形觀光平臺的面積取最小值為225平方米-------------------14分 18．解：（1）設橢圓的標準方程為，則： ，從而：，故,所以橢圓的標準方程為。 （2）設，則圓方程為 與圓 聯立消去得的方程為， 過定點 19．解： （1）由題意，則，解得或 因為為正整數，所以， -------------------3分 又，所以-------------------6分 （2）當時，得， 同理：時，得；時，得， 則由，得。-------------------8分 而當時，，得。-------------------10分 由，知此時數列為等差數列。-------------------12分 （3）由題意知， 則當時，，不合題意，舍去；-------------------13分 當時，，所以成立；-------------------14分 當時，若，則，不合題意，舍去；從而必是數列中的某一項，則 -------------------16分 又，所以， 即，所以 因為為奇數，而為偶數，所以上式無解。 即當時， -------------------17分 綜上所述，滿足題意的正整數僅有。-------------------18分 20． （2）為偶函數，恒成立等價于對恒成立 當時，，令，解得 （1）當，即時，在減，在增 ，解得， （2）當，即時，，在上單調遞增， ，符合， 綜上，。 （10分） （3） 。。。。。。 。 （16分） 附加題 21.A.證明：因AE=AC，AB為直徑， 故∠OAC=∠OAE． ……………………………………………………………3分 所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC． 又∠EAC=∠PDE， 所以，∠PDE=∠POC．…………………………………………………………10分 B．（1）設=，則==． ∴解得∴=．--------6分 （2）．---------------10分 C．解：曲線的直角坐標方程，曲線的直角坐標方程是拋物線 4分 設，，將這兩個方程聯立，消去， 得，． --------------6分 -------8分 ∴，． -----------------------10分 D．選修4－5　不等式選講 證明：因為x，y，z都是為正數，所以．-------------4分 同理可得， 當且僅當x＝y(tǒng)＝z時，以上三式等號都成立． -------------------7分 將上述三個不等式兩邊分別相加，并除以2，得． ---------- 10分 22．（1）令，則，令， 則，∴； ----------------------3分 （2）要比較與的大小，即比較：與的大小， 當時，；當時，； 當時，； -----------------------------------5分 猜想：當時時，，下面用數學歸納法證明： 由上述過程可知，時結論成立， 假設當時結論成立，即， 兩邊同乘以3 得： 而∴ 即時結論也成立， ∴當時，成立. 綜上得，當時，； 當時，；當時， --10分 （23）依題意，可設所求拋物線的方程為y2=2px（p＞0）， 因拋物線過點（2，4），故42=4p，p=4，拋物線方程為y2=8x． （2）設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則， 同理，． ∵kPA+kPB=0， ∴+=0，∴=，y1+4= -y2-4，y1+y2= -8 ∴． 即直線AB的斜率恒為定值，且值為-1． （3）∵kPAkPB=1，∴=1，∴y1y2+4(y1+y2)-48=0． 直線AB的方程為，即(y1+y2)y-y1y2=8x． 將-y1y2=4(y1+y2)-48代入上式得 (y1+y2)(y+4)=8(x+6)，該直線恒過定點（-6，-4），命題得證．