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兩條直線的位置關系 一、選擇題（本大題共12小題，共60分） 1. 已知直線l1：x+ay+6=0和l2：(a-2)x+3y+2a=0，則l1//l2的充要條件是( ) A. a=-1 B. a=3 C. a=-1或a=3 D. a=12 （正確答案）A 解：根據題意，若l1//l2，則有13=a(a-2)，解可得a=-1或3， 反之可得，當a=-1時，直線l1：x-y+6=0，其斜率為1，直線l2：-3x+3y-2=0，其斜率為1，且l1與l2不重合，則l1//l2， 當a=3時，直線l1：x+3y+6=0，直線l2：x+3y+6=0，l1與l2重合，此時l1與l2不平行， l1//l2?a=-1， 反之，a=-1?l1//l2， 故l1//l2?a=-1， 故選：A． 首先由兩直線平行可得13=a(a-2)，解可得a=-1或3，分別驗證可得a=-1時，則l1//l2，即可得l1//l2?a=-1；反之將a=-1代入直線的方程，可得l1//l2，即有a=-1?l1//l2；綜合可得l1//l2?a=-1，即可得答案． 本題考查直線平行的判定方法，利用解析幾何的方法判斷時，要注意驗證兩直線是否重合． 2. 已知直線l1：x+2ay-1=0，與l2：(2a-1)x-ay-1=0平行，則a的值是( ) A. 0或1 B. 1或14 C. 0或14 D. 14 （正確答案）C 解：當a=0時，兩直線的斜率都不存在， 它們的方程分別是x=1，x=-1，顯然兩直線是平行的． 當a≠0時，兩直線的斜率都存在，故它們的斜率相等， 由2a-1a=-12a≠-1-1，解得：a=14． 綜上，a=0或14， 故選：C． 先檢驗當a=0時，是否滿足兩直線平行，當a≠0時，兩直線的斜率都存在，由2a-1a=-12a≠-1-1，解得a的值． 本題考查兩直線平行的條件，要注意特殊情況即直線斜率不存在的情況，要進行檢驗． 3. 直線x+2y-4=0與直線2x-y+2=0的交點坐標是( ) A. (2,0) B. (2,1) C. (0,2) D. (1,2) （正確答案）C 解：聯立x+2y-4=02x-y+2=0，解得x=0，y=2， 直∴線x+2y-4=0與直線2x-y+2=0的交點坐標是(0,2)． 故選：C． 將二直線的方程聯立解出即可． 正確理解方程組的解與直線的交點的坐標之間的關系是解題的關鍵． 4. 光線沿著直線y=-3x+b射到直線x+y=0上，經反射后沿著直線y=ax+2射出，則有( ) A. a=13，b=6 B. a=-13，b=-6 C. a=3，b=-16 D. a=-3，b=16 （正確答案）B 解：在直線y=-3x+b上任意取一點A(1,b-3)， 則點A關于直線x+y=0的對稱點B(-b+3,-1)在直線y=ax+2上， 故有-1=a(-b+3)+2，即-1=-ab+3a+2，∴ab=3a+3， 結合所給的選項， 故選：B． 在直線y=-3x+b上任意取一點A(1,b-3)，則根據點A關于直線x+y=0的對稱點B(-b+3,-1)在直線y=ax+2上，結合選項可得a、b的值． 本題主要考查一條直線關于另一條直線對稱的性質，反射定理，屬于基礎題． 5. 設m∈R，過定點A的動直線x+my=0和過定點B的直線mx-y-m+3=0交于點P(x,y)，則|PA|+|PB|的取值范圍是( ) A. [5,25] B. [10,25] C. [10,45] D. [25,45] （正確答案）B 解：由題意可知，動直線x+my=0經過定點A(0,0)， 動直線mx-y-m+3=0即m(x-1)-y+3=0，經過點定點B(1,3)， ∵動直線x+my=0和動直線mx-y-m+3=0的斜率之積為-1，始終垂直， P又是兩條直線的交點，∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10． 設∠ABP=θ，則|PA|=10sinθ，|PB|=10cosθ， 由|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0,π2] ∴|PA|+|PB|=10(sinθ+cosθ)=25sin(θ+π4)， ∵θ∈[0,π2]，∴θ+π4∈[π4,3π4]， ∴sin(θ+π4)∈[22,1]， ∴25sin(θ+π4)∈[10,25]， 故選：B． 可得直線分別過定點(0,0)和(1,3)且垂直，可得|PA|2+|PB|2=10.三角換元后，由三角函數的知識可得． 本題考查直線過定點問題，涉及直線的垂直關系和三角函數的應用，屬中檔題． 6. 已知b>0，直線(b2+1)x+ay+2=0與直線x-b2y-1=0互相垂直，則ab的最小值等于( ) A. 1 B. 2 C. 22 D. 23 （正確答案）B 解：b>0，兩條直線的斜率存在，因為直線(b2+1)x+ay+2=0與直線x一b2y一1=0互相垂直， 所以(b2+1)-ab2=0，ab=b+1b≥2 故選B 由題意可知直線的斜率存在，利用直線的垂直關系，求出a，b關系，然后求出ab的最小值． 本題考查兩條直線垂直的判定，考查計算推理能力，是基礎題． 7. 與直線L1：mx-m2y=1垂直于點P(2,1)的直線L2的方程為( ) A. x+y-1=0 B. x-y-3=0 C. x-y-1=0 D. x+y-3=0 （正確答案）D 解：點P(2,1)代入直線L1：mx-m2y=1，可得m=1， 所以直線L1的斜率為1，直線L2的斜率為-1，故可知方程為x+y-3=0， 故選D． 先求m=1，從而得到直線L1的斜率為1，直線L2的斜率為-1，故可求． 本題主要考查兩直線垂直，斜率互為負倒數，屬于基礎題． 8. 已知傾斜角為θ的直線l與直線x+2y-3=0垂直，則sin2θ的值為( ) A. 35 B. 45 C. 15 D. -15 （正確答案）B 解：直線l與直線x+2y-3=0垂直，∴kl=-1-12=2． ∴tanθ=2． ∴sin2θ=2sinθcosθ=2sinθcosθsin2θ+cos2θ=2tanθtan2θ+1=45． 故選：B． 直線l與直線x+2y-3=0垂直，可得tanθ=2.再利用倍角公式與同角三角函數基本關系式即可得出． 本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關系、倍角公式與同角三角函數基本關系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 9. “m=12”是“直線(m+2)x+3my+1=0與直線(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的( ) A. 充分必要條件 B. 充分而不必要條件 C. 必要而不充分條件 D. 既不充分也不必要條件 （正確答案）B 解：當m=12時，直線(m+2)x+3my+1=0的斜率是-53，直線(m-2)x+(m+2)y-3=0的斜率是35， ∴滿足k1?k2=-1， ∴“m=12”是“直線(m+2)x+3my+1=0與直線(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的充分條件， 而當(m+2)(m-2)+3m?(m+2)=0得：m=12或m=-2． ∴“m=12”是“直線(m+2)x+3my+1=0與直線(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”充分而不必要條件． 故選：B． 判斷充分性只要將“m=12”代入各直線方程，看是否滿足(m+2)(m-2)+3m?(m+2)=0，判斷必要性看(m+2)(m-2)+3m?(m+2)=0的根是否只有12． 本題是通過常用邏輯用語考查兩直線垂直的判定． 10. 如果直線ax+2y+1=0與直線x+y-2=0互相垂直，那么a的值等于( ) A. 1 B. -13 C. -23 D. -2 （正確答案）D 解：∵直線ax+2y+1=0與直線x+y-2=0互相垂直，∴斜率之積等于-1， ∴a-2?1-1=-1，a=-2， 故選D． 利用兩直線垂直，斜率之積等于-1，列方程解出參數a的值． 本題考查兩直線垂直的性質，兩直線垂直，斜率之積等于-1，用待定系數法求參數a． 11. 已知直線l1：x?sinα+y-1=0，直線l2：x-3y?cosα+1=0，若l1⊥l2，則sin2α=( ) A. 23 B. 35 C. -35 D. 35 （正確答案）D 解：因為l1⊥l2，所以sinα-3cosα=0， 所以tanα=3， 所以sin2α=2sinαcosα=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=35． 故選：D． 根據直線的垂直，即可求出tanα=3，再根據二倍角公式即可求出． 本題考查了兩直線的垂直，以及二倍角公式，屬于基礎題 12. 若直線l1：x-3y+2=0與直線l2：mx-y+b=0關于x軸對稱，則m+b=( ) A. 13 B. -1 C. -13 D. 1 （正確答案）B 解：直線l1：x-3y+2=0與直線l2：mx-y+b=0關于x軸對稱， 可得：m=-13， y=0時，x=-2，代入mx-y+b=0，所以b=-23， 則m+b=-1． 故選：B． 判斷對稱軸的斜率是相反數，經過x軸上相同點，求解即可． 本題考查直線的簡單性質，直線的對稱性的應用，考查計算能力． 二、填空題（本大題共4小題，共20分） 13. 直線l1過點(-2,0)且傾斜角為30°，直線l2過點(2,0)且與直線l1垂直，則直線l1與直線l2的交點坐標為______． （正確答案）(1,3) 解：由題意可得直線l1的斜率等于tan30°=33，由點斜式求得它的方程為y-0=33(x+2)， 即3x-3y+23=0． 直線l2過的斜率等于-133=-3，由點斜式求得它的方程為y-0=-3(x-2)， 即3x+y-23=0． 由3x-3y+23=03x+y-23=0，解得 x=1y=3，故直線l1與直線l2的交點坐標為(1,3)， 故答案為(1,3)． 用點斜式求出兩條直線的方程，再聯立方程組，解方程組求得直線l1與直線l2的交點坐標． 本題主要考查用點斜式求直線的方程，兩條直線垂直的性質，求兩條直線的交點坐標，屬于基礎題． 14. 設a>0，b>0，若關于x，y的方程組ax+y=1x+by=1無解，則a+b的取值范圍為______ ． （正確答案）(2,+∞) 解：∵關于x，y的方程組ax+y=1x+by=1無解， ∴直線ax+y=1與x+by=1平行， ∵a>0，b>0， ∴a1=1b≠11， 即a≠1，b≠1，且ab=1，則b=1a， 則a+b=a+1a， 則設f(a)=a+1a，(a>0且a≠1)， 則函數的導數f(a)=1-1a2=a2-1a2， 當0f(1)=2， 當a>1時，f(a)=a2-1a2>0，此時函數為增函數，f(a)>f(1)=2， 綜上f(a)>2， 即a+b的取值范圍是(2,+∞)， 故答案為：(2,+∞)． 根據方程組無解，得到兩直線平行，建立a，b的方程關系，利用轉化法，構造函數，求函數的導數，利用函數的單調性進行求解即可． 本題主要考查直線平行的應用以及構造函數，求函數的導數，利用導數和函數單調性之間的關系進行求解是解決本題的關鍵． 15. 若直線l與直線2x-y-2=0關于直線x+y-4=0對稱，則l的方程是______． （正確答案）x-2y+2=0 解：由x+y-4=02x-y-2=0，得y=2x=2，即直線的交點坐標為(2,2)， 在直線2x-y-2=0上取一點A(1,0)， 設A關于直線x+y-4=0的對稱點的坐標為(a,b)， 則滿足ba-1=1a+12+b2-4=0得a+b-7=0a-b-1=0得b=3a=4，即對稱點(4,3) 則l的方程為y-23-2=x-24-2，整理得x-2y+2=0， 故答案為：x-2y+2=0 先求出直線的交點坐標，然后利用點關于直線的對稱性求出一點的對稱點，利用兩點式方程進行求解即可． 本題主要考查直線方程求解，利用點的對稱性是解決本題的關鍵． 16. 已知兩點A(-m,0)，B(m,0)(m>0)，如果在直線3x+4y+25=0上存在點P，使得∠APB=90°，則m的取值范圍是______． （正確答案）[5,+∞) 解：∵P在直線3x+4y+25=0上，設點P(x,-3x-254)， ∴AP=(x+m,-3x-254)， BP=(x-m,-3x-254)； 又∠APB=90°， ∴AP?BP=(x+m)(x-m)+(-3x-254)2=0， 即25x2+150x+625-16m2=0； ∴△≥0， 即1502-425(625-16m2)≥0， 解得m≥5，或m≤-5， 又m>0，∴m的取值范圍是[5,+∞)． 故答案為：[5,+∞)． 根據P在直線3x+4y+25=0上，設出點P的坐標，寫出向量AP、BP；利用AP?BP=0得出方程，再由△≥0求出m的取值范圍． 本題考查了直線方程的應用問題，也考查了平面向量的數量積的應用問題，考查了轉化思想的應用問題，是綜合性題目． 三、解答題（本大題共3小題，共30分） 17. 已知函數f(x)=mxlnx，曲線y=f(x)在點(e2,f(e2))處的切線與直線2x+y=0垂直(其中e為自然對數的底數)． (1)求f(x)的解析式及單調遞減區(qū)間； (2)是否存在常數k，使得對于定義域內的任意x，f(x)>klnx+2x恒成立，若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由． （正確答案）解：(1)f(x)=m(lnx-1)(lnx)2， ∵曲線y=f(x)在點(e2,f(e2))處的切線與直線2x+y=0垂直， ∴f(e2)=m4=12， 解得m=2，∴f(x)=2xlnx， ∴f(x)=2(lnx-1)(lnx)2，令解得：0klnx+2x恒成立，即2xlnx>klnx+2x?klnx<2xlnx-2x， ①當x∈(0,1)時，lnx<0，則k>2x-2x?lnx恒成立， 令g(x)=2x-2x?lnx，則g(x)=2x-lnx-2x， 再令h(x)=2x-lnx-2，則h(x)=x-1x<0，所以h(x)在(0,1)內遞減， 所以當x∈(0,1)時，h(x)>h(1)=0，故g(x)=h(x)x>0， 所以g(x)在(0,1)內遞增，g(x)0，則k<2x-2x?lnx恒成立， 由①可知，當x∈(1,+∞)時， 0/>，所以h(x)在(1,+∞)內遞增， 所以當x∈(1,+∞)時，h(x)>h(1)=0，故g(x)=h(x)x>0， 所以g(x)在(1,+∞)內遞增，g(x)>g(1)=2?k≤2； 綜合①②可得：k=2． (1)令f(e2)=12解出m，得出f(x)的解析式，令f(x)<0解出f(x)的單調遞減區(qū)間； (2)分離參數得出k>2x-2xlnx(01)，分情況討論求出右側函數的最大值或最小值，從而得出k的范圍． 本題考查了導數與函數單調性的關系，導數的幾何意義，函數恒成立問題，屬于中檔題． 18. 已知函數f(x)=alnx-1x，a∈R． (Ⅰ)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線x+2y=0垂直，求a的值； (Ⅱ)求函數f(x)的單調區(qū)間； (Ⅲ)當a=1，且x≥2時，證明：f(x-1)≤2x-5． （正確答案）解：(Ⅰ)函數f(x)的定義域為{x|x>0}，f(x)=ax+1x2． 又曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線x+2y=0垂直， 所以， 即a=1． (Ⅱ)由于f(x)=ax+1x2． 當a≥0時，對于x∈(0,+∞)，有 0/>在定義域上恒成立， 即f(x)在(0,+∞)上是增函數． 當a<0時，由，得x=-1a∈(0,+∞)． 當x∈(0,-1a)時， 0/>，f(x)單調遞增； 當x∈(-1a,+∞)時，，f(x)單調遞減． (Ⅲ)當a=1時，f(x-1)=ln(x-1)-1x-1x∈[2,+∞)． 令g(x)=ln(x-1)-1x-1-2x+5．g(x)=1x-1+1(x-1)2-2=-(2x-1)(x-2)(x-1)2． 當x>2時，g(x)<0，g(x)在(2,+∞)單調遞減． 又g(2)=0，所以g(x)在(2,+∞)恒為負． 所以當x∈[2,+∞)時，g(x)≤0． 即ln(x-1)-1x-1-2x+5≤0． 故當a=1，且x≥2時，f(x-1)≤2x-5成立． (Ⅰ)導數在切點處的導數值是切線斜率，垂直的直線斜率互為負倒數． (Ⅱ)導數大于0，對應區(qū)間為單調遞增區(qū)間；導數小于0，對應區(qū)間為單調遞減區(qū)間 (Ⅲ)用導數研究函數的單調性，求函數的最值，證明不等式． 本題考查導數的幾何意義；切點處的導數為切線斜率；用導數求單調區(qū)間：導數大于0，對應區(qū)間為單調遞增區(qū)間；導數小于0，對應區(qū)間為單調遞減區(qū)間；用導數求最值，證明不等式． 19. 已知△ABC中，點A(3,-1)，AB邊上的中線所在直線的方程為6x+10y-59=0，∠B的平分線所在直線的方程為x-4y+10=0，求BC邊所在直線的方程． （正確答案）解：設B(c,d)，∠B的平分線所在直線上的點為D，因為B在BD上 所以d=14(c+10) 即：B(c,14(c+10)) 所以AB中點(12(c+3),18(c+6)) AB的中點在中線6x+10y-59=0上 所以3(c+3)+54(c+6)-59=0 解得c=10 所以B(10,5) 所以AB斜率KAB=67 kBD-kBC1+?kBDkBC=kAB-kBD1+kABkBD 14-kBC1+?14kBC=67-?141+314 解得kBc=?-29 所以BC方程(點斜式)：y-5=-29(x-10)， 即2x+9y-65=0 設B(c,d)∠B的平分線所在直線上的點為D，因為B在BD上，AB的中點在中線6x+10y-59=0上，求出B的坐標，利用解答平分線方程，到角公式，求出BC的斜率，然后求出BC的方程． 本題是中檔題，充分利用中邊所在直線方程，角的平分線方程，到角公式，求解所求直線的斜率，考查計算能力，分析問題解決問題的能力，本題的解法比較多，但是都比較復雜，考查學生的耐心和毅力．