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專題一 在坐標(biāo)系中求解相關(guān)量 類型一 平面直角坐標(biāo)系中圖形的變換 如圖，矩形ABCD的邊BC在x軸上，點(diǎn)A在第二象限，點(diǎn)D在第一象限，AB＝2，OD＝4，將矩形ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在x軸上，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是(　　) A．(－，1) B．(－1，) C．(－1，)或(1，－) D．(－，1)或(1，－) 【分析】 根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CD＝AB＝2，∠DCO＝90，根據(jù)已知條件得到∠DOC＝60，OC＝2，①當(dāng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△OD′C′時(shí)，過(guò)C′作C′E⊥OD′于E，②當(dāng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△OD″C″時(shí)，如解圖，過(guò)點(diǎn)C″作C″F⊥OD″于F，解直角三角形即可得到結(jié)論． 【自主解答】 在矩形ABCD中， ∵CD＝AB＝2，∠DCO＝90， OD＝4， ∴∠DOC＝60，OC＝2. ①當(dāng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△OD′C′時(shí)，如解圖，∠D′OC′＝∠DOC＝60，OC′＝OC＝2， 過(guò)點(diǎn)C′作CE⊥OD′于E，則OE＝OC′＝1，C′E＝OC′＝，∴C′(1，－)． ②當(dāng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△OD″C″時(shí)，如解圖，∠D″OC″＝∠DOC＝60，OC″＝OC＝2， 過(guò)C″作C″F⊥OD″于F，則OF＝OC″＝1，C″F＝OC′＝.∴C″(－1，)．綜上所述，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是(1，－)，(－1，)，故選C. 1．(xx河南說(shuō)明與檢測(cè))如圖，菱形OABC的一邊OA在x軸上，將菱形OABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75至OA′B′C′的位置．若OB＝2，∠C＝120，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為( ) A．(3，) B．(3，－) C．(，) D．(，－) 2．(xx河南模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，作AB⊥x軸于點(diǎn)B，將△ABO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到△BCD.若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，0)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為( ) A．(5，) B．(5，1) C．(6，) D．(6，1) 3．(xx新鄉(xiāng)改編)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形MNEO的邊長(zhǎng)為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M、E在坐標(biāo)軸上，把正方形MNEO繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到正方形M′N′E′O，N′E′交y軸于點(diǎn) F，且點(diǎn)F恰為N′E′的中點(diǎn)，則點(diǎn)M′的坐標(biāo)為( ) A．(－1，2) B．(－，1) C．(－1，) D．(－2，1) 4．在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△AOB的兩條直角邊OA、OB分別在x軸和y軸上，OA＝3，OB＝4.把△AOB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120，得到△ADC.邊OB上的一點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M′.當(dāng)AM′＋DM取得最小值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為( ) A．(0，) B．(0，) C．(0，) D．(0，3) 類型二 平面直角坐標(biāo)系中圖形的規(guī)律探索 如圖，動(dòng)點(diǎn)P從(0，3)出發(fā)，沿箭頭所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到矩形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角．當(dāng)點(diǎn)P第2 018次碰到矩形的邊時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　) A．(1，4) B．(5，0) C．(7，4) D．(8，3) 【分析】 根據(jù)反射角與入射角的定義作出圖形，可知每6次反彈為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，用xx除以6，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)即可． 【自主解答】 如解圖，經(jīng)過(guò)6次反彈后動(dòng)點(diǎn)回到出發(fā)點(diǎn)(0，3)，∵2 0186＝336……2，∴當(dāng)點(diǎn)P第2 018次碰到矩形的邊時(shí)為第337個(gè)循環(huán)組的第2次反彈，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(7，4)． 1．(xx河南說(shuō)明與檢測(cè))如圖所示，小球從臺(tái)球桌面ABCD上的點(diǎn)P(0，1)出發(fā)，撞擊桌邊發(fā)生反彈，反射角等于入射角．若小球以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿圖中箭頭方向運(yùn)動(dòng)，則第50秒時(shí)小球所在位置的坐標(biāo)為( ) A．(2，3) B．(3，4) C．(3，2) D．(0，1) 2．(xx河南說(shuō)明與檢測(cè))如圖，在平面直角坐標(biāo)中，函數(shù)y＝2x和y＝－x的圖象分別為直線l1，l2，過(guò)點(diǎn)(1，0)作x軸的垂線交l1于點(diǎn)A1，過(guò)點(diǎn)A1作y軸的垂線交l2于點(diǎn)A2，過(guò)點(diǎn)A2作x軸的垂線交l1于點(diǎn)A3，過(guò)點(diǎn)A3作y軸的垂線交l2于點(diǎn)A4，…，依次進(jìn)行下去，則點(diǎn)A2 018的坐標(biāo)為( ) A．(－21 009，21 009) B．(－21 008，21 009) C．(21 008，21 009) D．(21 009，－21 009) 3．如圖所示，平面直角坐標(biāo)系中，已知A(0，0)，B(2，0)，△AP1B是等腰直角三角形，且∠P1＝90，把△AP1B繞B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180，得到△BP2C；把△BP2C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180，得到△CP3D…，依次類推，則旋轉(zhuǎn)2 017次后得到的等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)P2 018的坐標(biāo)為( ) A．(4 034，1) B．(4 033，－1) C．(4 036，－1) D．(4 035，－1) 4．(xx阜新改編)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45后得到正方形OA1B1C1，依此方式，繞點(diǎn)O連續(xù)旋轉(zhuǎn)2 018次得到正方形OA2 018B2 018C2 018，如果點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，0)，那么點(diǎn)B2 018的坐標(biāo)為________________． 類型三 根據(jù)幾何圖形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題判斷函數(shù)圖象 (xx濰坊)如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)是4厘米，∠B＝60，動(dòng)點(diǎn)P以1厘米/秒的速度自A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)停止，動(dòng)點(diǎn)Q以2厘米/秒的速度自B點(diǎn)出發(fā)沿折線BCD運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)停止．若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)運(yùn)動(dòng)了t秒，記△BPQ的面積為S厘米2，下面圖象中能表示S與t之間的函數(shù)關(guān)系的是(　　) 【分析】 應(yīng)根據(jù)0≤t＜2和2≤t＜4兩種情況進(jìn)行討論．把t當(dāng)作已知數(shù)值，就可以求出S，從而得到函數(shù)的解析式，進(jìn)一步即可求解． 【自主解答】 當(dāng)0≤t＜2時(shí)，S＝2t(4－t)＝－t2＋4t；當(dāng)2≤t＜4時(shí)，S＝4(4－t)＝－t＋4；只有選項(xiàng)D的圖象符合，故選D. 1．(xx攀枝花)如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，1)，點(diǎn)B是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊作Rt△ABC，使∠BAC＝90，∠ACB＝30，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為y，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是( ) 2．(xx東營(yíng))如圖所示，已知△ABC中，BC＝12，BC邊上的高h(yuǎn)＝6，D為BC上一點(diǎn)，EF∥BC，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F.設(shè)點(diǎn)E到邊BC的距離為x，則△DEF的面積y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為( ) 3．(xx煙臺(tái))如圖，矩形ABCD中，AB＝8 cm，BC＝6 cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1 cm/s的速度沿A→D→C方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以2 cm/s的速度沿A→B→C方向勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)，△APQ的面積為S(cm2)，下列能大致反映S與t之間函數(shù)關(guān)系的圖象是( ) 4．(xx葫蘆島)如圖，在?ABCD中，AB＝6，BC＝10，AB⊥AC，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿著B→A→C的路徑運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿著A→C→D的路徑以相同的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，y＝PQ2，下列圖象中大致反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系的是( ) 5．(xx河南說(shuō)明與檢測(cè))如圖， 菱形ABCD的邊長(zhǎng)為5 cm，sin A＝.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1 cm/s的速度沿折線AB→BC→CD運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)D停止；點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以1 cm/s的速度沿AD運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)D停止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)x(s)時(shí)，△APQ的面積為y(cm2)，則能夠反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是( ) 類型四 已知函數(shù)圖象計(jì)算相關(guān)量 (xx駐馬店一模)如圖①，則等邊三角形ABC中，點(diǎn)P為BC邊上的任意一點(diǎn)，且∠APD＝60，PD交AC于點(diǎn)D.設(shè)線段PB的長(zhǎng)度為x，CD的長(zhǎng)度為y，若y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象如圖②，則等邊三角形ABC的面積為________． 圖① 圖② 【分析】 設(shè)出等邊三角形的邊長(zhǎng)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)、以及二次函數(shù)的最值，即可確定CD取得最大值時(shí)等邊三角形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而得到△ABC的面積． 【自主解答】 由題可得，∠APD＝60，∠ABC＝∠C＝60，∴∠BAP＝∠CPD，∴△ABP∽△PCD，∴＝.設(shè)AB＝a，則＝，∴y＝.當(dāng)x＝a時(shí)，y取得最大值2，即P為BC中點(diǎn)時(shí)，CD的最大值為2，∴此時(shí)∠APB＝∠PDC＝90，∠CPD＝30，∴PC＝BP＝4，∴等邊三角形的邊長(zhǎng)為8，∴根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得S＝82＝16. 1．如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是邊BC，AD的中點(diǎn)，AB＝2，BC＝4，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿著B－A－D－C在矩形的邊上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，點(diǎn)M為圖①中某一定點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，△BPM的面積為y，表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖②所示．則點(diǎn)M的位置可能是圖①中的( ) 圖① 圖② A．點(diǎn)C B．點(diǎn)O C．點(diǎn)E D．點(diǎn)F 2．(xx許昌一模)如圖①，四邊形ABCD中，BC∥AD，∠A＝90，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿折線AB→BC→CD運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)D時(shí)停止．已知△PAD的面積S大小與點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程x的函數(shù)圖象如圖②所示，則點(diǎn)P從開始到停止運(yùn)動(dòng)的總路程為( ) 圖① 圖② A．4 B．2＋ C．5 D．4＋ 3．如圖①，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止．設(shè)點(diǎn)P所走的路程為x，線段OP的長(zhǎng)為y.若y與x之間的函數(shù)圖象如圖②所示，則矩形ABCD的周長(zhǎng)為________． 圖① 圖② 4．(xx信陽(yáng)模擬)如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，點(diǎn)P以每秒2 cm的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AC－CB運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B停止．過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D，PD的長(zhǎng)y(cm)與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間x(秒)的函數(shù)圖象如圖②所示．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)5秒時(shí)，PD的長(zhǎng)為________________． 圖① 圖② 參考答案 類型一 針對(duì)訓(xùn)練 1．D 2．A　【解析】∵AB⊥x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，0)，∴y＝2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，2)，∴AB＝2，OB＝2. 由勾股定理得，OA＝＝＝4， 第2題解圖 ∴∠A＝30，∠AOB＝60.∵△ABO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到△BCD，∴∠C＝30，CD∥x軸．設(shè)AB與CD相交于點(diǎn)E，則BE＝AB＝2＝，CE＝＝＝3，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3＋2＝5，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5，)，故選A. 3．D　【解析】∵四邊形M′N′E′O為正方形， 第3題解圖 ∴OE′＝N′E′，∠OE′N′＝90.又∵F是N′E′的中點(diǎn)，∴E′F＝E′N′＝OE′.∵由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，∠E′OF＝∠MOM′，∴在Rt△E′OF中，tan∠E′OF＝；過(guò)點(diǎn)M′作M′G⊥x軸，垂足為點(diǎn)G.在Rt△M′GO中，tan∠MOM′＝.設(shè)M′G＝k，則OG＝2k.在Rt△M′GO中，OM′＝.根據(jù)勾股定理，得M′G2＋OG2＝OM′2.即k2＋(2k)2＝()2，解得k1＝－1(舍)，k2＝1.∴M′G＝1，OG＝2.又∵點(diǎn)M′在第二象限，∴點(diǎn)M′的坐標(biāo)為(－2，1)．故選D. 4．A　【解析】∵把△AOB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120，得到△ADC，點(diǎn)M是BO邊上的一點(diǎn)，∴AM＝AM′，∴AM′＋DM的最小值＝AM＋DM的最小值．作點(diǎn)D關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接AD′交OB于M，則AD′＝AM′＋DM的最小值，過(guò)D作DE⊥x軸于E，如解圖，∵∠OAD＝120，∴∠DAE＝60.∵AD＝AO＝3， 第4題解圖 ∴DE＝3＝，AE＝，∴D(，)，∴D′(－，)．設(shè)直線AD′的解析式為y＝kx＋b，∴∴∴直線AD′的解析式為y＝－x＋，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝，∴M(0，)，故選A. 類型二 針對(duì)訓(xùn)練 1．A　2.A　3.D　 4．(－1，1)　【解析】∵四邊形OABC是正方形，且OA＝1，∴B(1，1)，連接OB，如解圖，由勾股定理，得OB＝，由旋轉(zhuǎn)得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝.∵將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45后得到正方形OA1B1C1，相當(dāng)于將線段OB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45，∴B1(0，)，B2(－1，1)，B3(－，0)，…，發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，所以2 0188＝252…2，∴點(diǎn)B2 018的坐標(biāo)為(－1，1)． 第4題解圖 類型三 針對(duì)訓(xùn)練 1．C　【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，∵∠BAC＝90，∴∠DAC＋∠OAB＝90，∵∠DCA＋∠DAC＝90，∴∠DCA＝∠OAB.又∵∠CDA＝∠AOB＝90，∴△CDA∽△AOB，∴＝＝＝tan 30，則＝，故y＝x＋1(x＞0)，則選項(xiàng)C符合題意．故選C. 第1題解圖 2．D　【解析】過(guò)點(diǎn)A向BC作AH⊥BC于點(diǎn)H，所以根據(jù)相似比可知：＝，即EF＝2(6－x)，所以y＝2(6－x)x＝－x2＋6x(0＜x＜6)，該函數(shù)圖象是拋物線的一部分，故選D. 3．A　【解析】由題意，得AP＝t，AQ＝2t.①當(dāng)0≤t≤4時(shí)，Q在邊AB上，P在邊AD上，如解圖①， S△APQ＝APAQ＝t2t＝t2，故選項(xiàng)C、D不正確；②當(dāng)4＜t≤6時(shí)，Q在邊BC上，P在邊AD上，如解圖②，S△APQ＝APAB＝t8＝4t，故選項(xiàng)B不正確；故選A. 圖① 圖② 第3題解圖 4．B　【解析】在Rt△ABC中，∠BAC＝90，AB＝6，BC＝10，∴AC＝＝8，當(dāng)0≤x≤6時(shí)，AP＝6－x，AQ＝x，∴y＝PQ2＝AP2＋AQ2＝2x2－12x＋36；當(dāng)6≤x≤8時(shí)，AP＝x－6，AQ＝x，∴y＝PQ2＝(AQ－AP)2＝36；當(dāng)8≤x≤14時(shí)，CP＝14－x，CQ＝x－8，∴y＝PQ2＝CP2＋CQ2＝2x2－44x＋260，故選B. 5．C 類型四 針對(duì)訓(xùn)練 1．B　【解析】∵AB＝2，BC＝4，四邊形ABCD是矩形，∴當(dāng)x＝6時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)D點(diǎn)，此時(shí)△BPM的面積為0，說(shuō)明點(diǎn)M一定在BD上，∴從選項(xiàng)中可得只有O點(diǎn)符合，∴點(diǎn)M的位置可能是圖①中的點(diǎn)O. 2．D　【解析】作CE⊥AD于點(diǎn)E，如解圖所示，由圖象可知，點(diǎn)P從A到B運(yùn)動(dòng)的路程是2，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，△ADP的面積是5，由B到C運(yùn)動(dòng)的路程為2，∴＝＝5，解得AD＝5.又∵BC∥AD，∠A＝90，CE⊥AD，∴∠B＝90，∠CEA＝90，∴四邊形ABCE是矩形，∴AE＝BC＝2，∴DE＝AD－AE＝5－2＝3，∴CD＝＝＝，∴點(diǎn)P從開始到停止運(yùn)動(dòng)的總路程為AB＋BC＋CD＝2＋2＋＝4＋. 第2題解圖 3．28　【解析】∵當(dāng)OP⊥AB時(shí)，OP最小，且此時(shí)AP＝4，OP＝3，∴AB＝2AP＝8，AD＝2OP＝6，∴C矩形ABCD＝2(AB＋AD)＝2(8＋6)＝28. 4．2.4 cm　【解析】∵P以每秒2 cm的速度從點(diǎn)A出發(fā)，∴從題圖②中得出AC＝23＝6 cm，BC＝(7－3)2＝8 cm.∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90，∴AB＝＝＝10 cm，∴sin B＝＝＝.∵當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)5秒時(shí)，BP＝27－25＝4 cm，∴PD＝4sin B＝4＝2.4 (cm)．