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推理與證明 推理 證明 言之有理 論證有據 第二章推理與證明 一 探入與展示 推理 一 探入與展示 一 探入與展示 推理 一 推理定義根據一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程就叫推理 歸納推理 據說歌德巴赫無意中觀察到 3 7 10 3 17 20 13 17 30他有意把上面的式子改成 10 3 7 20 3 17 30 13 17其中反映出這樣一個規(guī)律 偶數 奇質數 奇質數 二 探讀與思考 引入1 數學皇冠上璀璨的明珠 哥德巴赫猜想 12 5 714 7 716 5 11 1000 29 9711002 139 863 歌德巴赫大膽的猜想 任何一個不小于6的偶數都等于奇質數的和 任何形如的數都是質數這就是著名的 費馬猜想 觀察到都是質數 進而猜想 引入2費馬猜想 銅能導電鋁能導電金能導電銀能導電 一切金屬都能導電 三角形內角和為凸四邊形內角和為凸五邊形內角和為 凸n邊形內角和為 部分個別 蛇類是用肺呼吸的 鱷魚是用肺呼吸的海龜是用肺呼吸的蜥蜴是用肺呼吸的 爬行動物都是用肺呼吸的 整體一般 引入3 由某類事物的具有某些特征 推出該類事物的都具有這些特征的推理 或者由概括出的推理 稱為歸納推理 簡稱歸納 部分對象 全部對象 個別事實 一般結論 歸納推理 半個世紀后 三 探疑與點撥 歸納是立足于觀察 經驗 實驗和對有限資料分析的基礎上 提出帶有規(guī)律性的結論 所以結論未必可靠 僅僅是一種猜想 費馬猜想任何形如的數都是質數 宣布了費馬的這個猜想不成立 它不能作為一個求質數的公式 以后 人們又陸續(xù)發(fā)現不是質數 至今這樣的反例共找到了46個 卻還沒有找到第6個正面的例子 也就是說目前只有n 0 1 2 3 4這5個情況下 Fn才是質數 大膽猜想小心求證 例題1 觀察下列的等式 你有什么猜想嗎 1 3 4 221 3 5 9 321 3 5 7 16 421 3 5 7 9 25 52 由此猜想 讓我們一起來歸納推理 例2 已知數列 an 的第1項a1 1 且 n 1 2 試歸納出這個數列的通項公式 分別把n 1 2 3代入得 由此猜想 歸納 小結 歸納推理的一般步驟 1 通過觀察特例發(fā)現特例的某些共性 2 把這種共性推廣為一個明確表達的一般性命題 猜想 練習 教材P77練習12 創(chuàng)新方案P43 例2 如圖所示 在圓內畫一條線段 將圓分成兩部分 畫兩條線段 彼此最多分割成4條線段 將圓最多分割成4部分 畫三條線段 彼此最多分割成9條線段 將圓最多分割成7部分 畫四條線段 彼此最多分割成16條線段 將圓最多分割成11部分 猜想 在圓內畫n n 2 條線段 彼此最多分割成多少條線段 將圓最多分割成多少部分 設圓內兩兩相交的n條線段 彼此最多分割成的線段為f n 條 將圓最多分割為g n 部分 1 f 1 1 12 g 1 2 f 2 4 22 g 2 4 f 3 9 32 g 3 7 f 4 16 42 g 4 11 通一類 2 05年廣東 設平面內有n條直線 n 2 其中任意兩條直線都不平行 任意三條直線不過同一點 若用f n 表示這n條直線交點的個數 則當n 2時 f n 用含n的數學表達式表示 練習 創(chuàng)新方案P44 課堂強化第1題 1 我們把1 4 9 16 25 這些數稱做正方形數 這是因為個數等于這些數目的點可以分別排成一個正方形 如圖 則第n個正方形數是 A n n 1 B n n 1 C n2D n 1 2 2 如圖所示 著色的三角形的個數依次構成數列 an 的前4項 則這個數列的一個通項公式為 A an 3n 1B an 3nC an 3n 2nD an 3n 1 2n 3 創(chuàng)新方案P44 課堂強化第2題 例4 如圖所示 有三根針和套在一根針上的若干金屬片 按下列規(guī)則 把金屬片從一根針上全部移到另一根針上 1 每次只能移動1個金屬片 2 較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面 試推測 把n個金屬片從1號針移到3號針 最少需要移動多少次 1 2 3 四 引導與遷移 1 2 3 第1個圓環(huán)從1到3 設為把個圓環(huán)從1號針移到3號針的最少次數 則 1時 1 2時 1 2 3 前1個圓環(huán)從1到2 第2個圓環(huán)從1到3 第1個圓環(huán)從2到3 3 第1個圓環(huán)從1到3 設為把個圓環(huán)從1號針移到3號針的最少次數 則 1時 1 n 3時 前2個圓環(huán)從1到2 第3個圓環(huán)從1到3 前2個圓環(huán)從2到3 7 2時 前1個圓環(huán)從1到2 第2個圓環(huán)從1到3 第1個圓環(huán)從2到3 3 第1個圓環(huán)從1到3 設為把個圓環(huán)從1號針移到3號針的最少次數 則 1時 1 1 2 3 當n 1時 a1 1 當n 2時 a2 3 當n 3時 a3 7 當n 4時 a4 15 猜想an 2n 1 1 2 3 n 3時 前2個圓環(huán)從1到2 第3個圓環(huán)從1到3 前2個圓環(huán)從2到3 7 設為把個圓環(huán)從1號針移到3號針的最少次數 則 1 2 3 n 2時 n 1時 n 3時 n 4時 n 3時 n 2時 n 1時 n 4時 n 3時 n 2時 n 1時 歸納 例4 如圖所示 有三根針和套在一根針上的若干金屬片 按下列規(guī)則 把金屬片從一根針上全部移到另一根針上 1 每次只能移動1個金屬片 2 較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面 把n個金屬片從1號針移到3號針 最少需要移動多少次記為f n 試求f n 1 2 3 五 引伸與評價 歸納推理的基礎 歸納推理的作用 歸納推理 觀察 分析 發(fā)現新事實 獲得新結論 由部分到整體 個別到一般的推理 注意 歸納推理的結論不一定成立 五 引伸與評價 作業(yè)P83習題A組1 2 3 4題 B組1題 五 引伸與評價 善于觀察勤于思考敢于猜想的人 常常會冒出創(chuàng)造的靈感火花