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專題訓練(六) [分類討論思想] 1.[xx聊城]如圖ZT6-1是由8個全等的矩形組成的大正方形,線段AB的端點都在小矩形的頂點上,如果點P是某個小矩形的頂點,連接PA,PB,那么使△ABP為等腰直角三角形的點P的個數是 (　　) 圖ZT6-1 A.2個 B.3個 C.4個 D.5個 2.[xx義烏]如圖ZT6-2,∠AOB=45,點M,N在邊OA上,OM=x,ON=x+4,點P是邊OB上的點,若使P,M,N構成等腰三角形的點P恰好有三個,則x的值是　　　　. 圖ZT6-2 3.[xx齊齊哈爾]如圖ZT6-3,在等腰三角形紙片ABC中,AB=AC=10,BC=12,沿底邊BC上的高AD剪成兩個三角形,用這兩個三角形拼成平行四邊形,則這個平行四邊形較長的對角線的長是　　　　. 圖ZT6-3 4.[xx綏化]在等腰三角形ABC中,AD⊥BC交直線BC于點D,若AD=12BC,則△ABC的頂角的度數為　　　　. 5.[xx安徽]矩形ABCD中,AB=6,BC=8.點P在矩形ABCD的內部,點E在邊BC上,滿足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,則PE的長為　　　　　. 6.[xx眉山]如圖ZT6-4,拋物線y=ax2+bx-2與x軸交于A,B兩點,與y軸交于C點,已知A(3,0),且M1,-83是拋物線上一點. 圖ZT6-4 (1)求a,b的值; (2)連接AC,設點P是y軸上任一點,若以P,A,C三點為頂點的三角形是等腰三角形,求P點的坐標; (3)若點N是x軸正半軸上且在拋物線內的一動點(不與O,A重合),過點N作NH∥AC交拋物線的對稱軸于點H.設ON=t,△ONH的面積為S,求S與t之間的函數關系式. 7.[xx煙臺]如圖ZT6-5①,拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,AB=4.矩形OBDC的邊CD=1,延長DC交拋物線于點E. 圖ZT6-5 (1)求拋物線的表達式. (2)如圖ZT6-5②,點P是直線EO上方拋物線上的一個動點,過點P作y軸的平行線交直線EO于點G,作PH⊥EO,垂足為H.設PH的長為l,點P的橫坐標為m,求l與m的函數關系式(不必寫出m的取值范圍),并求出l的最大值. (3)如果點N是拋物線對稱軸上的一點,拋物線上是否存在點M,使得以M,A,C,N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出所有滿足條件的點M的坐標;若不存在,請說明理由. 8.從三角形(不是等腰三角形)一個頂點引出一條射線與對邊相交,頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形,如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形,另一個與原三角形相似,我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線. 圖ZT6-6 (1)如圖ZT6-6①,在△ABC中,CD為角平分線,∠A=40,∠B=60,求證:CD為△ABC的完美分割線. (2)在△ABC中,∠A=48,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD為等腰三角形,求∠ACB的度數. (3)如圖②,△ABC中,AC=2,BC=2,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形,求完美分割線CD的長. 參考答案 1.B　[解析] 由圖可知,矩形的長是寬的2倍,以點B為直角頂點構成等腰直角三角形的點P有2個,以點A為直角頂點構成等腰直角三角形的點P有1個,∴滿足條件的有3個. 2.0或42-4或4∠BCD,矛盾,舍去. ∴∠ACB=96或114. (3)由已知AC=AD=2, ∵△BCD∽△BAC, ∴BCBA=BDBC,設BD=x, ∴(2)2=x(x+2),∵x>0,∴x=3-1, ∵△BCD∽△BAC, ∴CDAC=BDBC=3-12,∴CD=3-122=6-2.