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2019年(春)五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 5.4《解方程》教案1 （新版）西師大版 知識(shí)網(wǎng)絡(luò)： 　　列方程解應(yīng)用題最關(guān)鍵是前兩步：設(shè)未知數(shù)和列方程。有的同學(xué)說(shuō)解方程的部分不是篇幅很長(zhǎng)么，為什么不是關(guān)鍵部分呢？其實(shí)，只要仔細(xì)觀察一下，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，雖然篇幅很長(zhǎng)，但只要注意到符號(hào)變化、分配律等基本運(yùn)算技巧，解的過(guò)程是較容易掌握的。相反，前兩步篇幅雖然短，但列方程解應(yīng)用題的精華和難點(diǎn)卻大部分集中在這里，需要用以體會(huì)。 　　一般地，設(shè)什么量為未知數(shù)，最簡(jiǎn)單明了的想法是設(shè)所求為x（復(fù)雜的題目有時(shí)要采取迂回戰(zhàn)術(shù)，間接地設(shè)未知數(shù)），當(dāng)所求的數(shù)較多時(shí)，把這些所求的數(shù)量用一個(gè)或盡量少的未知數(shù)表達(dá)出來(lái)，也是很重要的。 　　設(shè)完未知數(shù)，就要找等量關(guān)系，來(lái)幫助列出方程。這時(shí)需要認(rèn)真讀題，因?yàn)樵S多等量關(guān)系是隱藏在字里行間的。中文有很多字、詞、句表達(dá)相等的意思，如“相等”、“是”、“比……多……”、“比……少……”、“……是……的幾倍”、“……的總和是……”、“……與……的差是……”等等，根據(jù)這些字句的含義，再加上其中的量用未知數(shù)表達(dá)出來(lái)，就能列出方程。 重點(diǎn)難點(diǎn)： 　　列方程解應(yīng)用題是用字母來(lái)代替未知數(shù)，根據(jù)等量關(guān)系列出含有未知數(shù)的等式，也就是列出方程，然后解出未知數(shù)的值，列方程解應(yīng)用題的優(yōu)點(diǎn)在于可以使未知數(shù)直接參加運(yùn)算。解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵在于能夠正確地設(shè)立未知數(shù)，找出等量關(guān)系從而建立方程。而找出等量關(guān)系又在于熟練運(yùn)用數(shù)量之間的各種已知條件。掌握了這兩點(diǎn)就能正確地列出方程。 學(xué)法指導(dǎo)： 　1.列方程解應(yīng)用題的一般步驟是： 　　(1)弄清題意，找出已知條件和所求問(wèn)題； 　　(2)依題意確定等量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)x； 　　(3)根據(jù)等量關(guān)系列出方程； 　　(4)解方程； 　　(5)檢驗(yàn)，寫(xiě)出答案。 　　2.初學(xué)列方程解應(yīng)用題，要養(yǎng)成多角度審視問(wèn)題的習(xí)慣，增強(qiáng)一題多解的自覺(jué)性，逐步提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。 　　3.對(duì)于變量較多并且變量關(guān)系又容易確定的問(wèn)題，用方程組求解，過(guò)程更清晰。 經(jīng)典例題： 　　例1 某縣農(nóng)機(jī)廠金工車間有77個(gè)工人。已知每個(gè)工人平均每天加工甲種零件5個(gè)或乙種零件4個(gè)或丙種零件3個(gè)。但加工3個(gè)甲種零件、1個(gè)乙種零件和9個(gè)丙種零件才恰好配成一套。問(wèn)：應(yīng)安排生產(chǎn)甲、乙、丙種零件各多少人時(shí)，才能使生產(chǎn)的三種零件恰好配套。 思路剖析： 　　如果直接設(shè)生產(chǎn)甲、乙、丙三種零件的人數(shù)分別為x人、y人、z人，根據(jù)共有77人的條件可以列出方程x+y+z=77，但解起來(lái)比較麻煩 如果仔細(xì)分析題意，會(huì)出現(xiàn)除了上面提到的加工甲、乙、丙三種零件的人數(shù)為未知數(shù)外，還有甲、乙、丙三種零件各自的總件數(shù)也未知。而題目中又有關(guān)于甲、乙、丙三種零件之間裝配時(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，這個(gè)內(nèi)在聯(lián)系可以用比例關(guān)系表示，而乙種零件件數(shù)又在中間起媒介作用。所以如用間接未知數(shù)，設(shè)已種零件總數(shù)為x個(gè)，為了配套，甲種、丙種零件件數(shù)總數(shù)分別為3x個(gè)和9x個(gè)，再根據(jù)生產(chǎn)某種零件人數(shù)=生產(chǎn)這種零件的個(gè)數(shù)工人勞動(dòng)效率，可以分別求出生產(chǎn)甲、乙、丙種零件需安排的人數(shù)，從而找出等量關(guān)系，即按均衡生產(chǎn)推算的總?cè)藬?shù)，列出方程 解 答 　　設(shè)加工乙種零件x個(gè)，則加工甲種零件3x個(gè)，加工丙種零件9x個(gè)。 　　答：應(yīng)安排加工甲、乙、丙三種零件工人人數(shù)分別為12人、5人和60人。 　　例2 牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿牧草，每天牧草都勻速生長(zhǎng)。這片牧場(chǎng)可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天，問(wèn)可供25頭牛吃幾天？ 思路剖析： 　　這是以前接觸過(guò)的“牛吃草問(wèn)題”，它的算術(shù)解法步驟較多，這里用列方程的方法來(lái)解決。 　　設(shè)供25頭牛可吃x天。 　　本題的等量關(guān)系比較隱蔽，讀一下問(wèn)題：“每天牧草都勻速生長(zhǎng)”，草生長(zhǎng)的速度是固定的，這就可以發(fā)掘出等量關(guān)系，如從“供10頭牛吃20天”表達(dá)出生長(zhǎng)速度，再?gòu)摹肮?5頭牛吃10天”表達(dá)出生長(zhǎng)速度，這兩個(gè)速度應(yīng)該一樣，就是一種相等關(guān)系；另外，最開(kāi)始草場(chǎng)的草應(yīng)該是固定的，也可以發(fā)掘出等量關(guān)系。 解答: 　　設(shè)供25頭?？沙詘天。 　　由：草的總量=每頭牛每天吃的草頭數(shù)天數(shù) 　　=原有的草+新生長(zhǎng)的草 　　原有的草=每頭牛每天吃的草頭數(shù)天數(shù)-新生長(zhǎng)的草 　　新生長(zhǎng)的草=草的生長(zhǎng)速度天數(shù) 　　考慮已知條件，有 　　原有的草=每頭牛每天吃的草1020-草的生長(zhǎng)速度20 　　原有的草=每頭牛每天吃的草1510-草的生長(zhǎng)速度10 　　所以：原有的草=每頭牛每天吃的草200-草的生長(zhǎng)速度20 　　原有的草=每頭牛每天吃的草150-草的生長(zhǎng)速度10 　　即：每頭牛每天吃的草200-草的生長(zhǎng)速度20 　　=每頭牛每天吃的草150-草的生長(zhǎng)速度10 　　每頭牛每天吃的草200草的生長(zhǎng)速度20+每頭牛每天吃的草150-草的生長(zhǎng)速度10 　　每頭牛每天吃的草200-每頭牛每天吃的草150 　　=草的生長(zhǎng)速度20-草的生長(zhǎng)速度10 　　每頭牛每天吃的草（200-150）=草的生長(zhǎng)速度（20-10） 　　所以：每頭牛每天吃的草50=草的生長(zhǎng)速度10 　　每頭牛每天吃的草5=草的生長(zhǎng)速度 　　因此，設(shè)每頭牛每天吃的草為1，則草的生長(zhǎng)速度為5。 　　由：原有的草=每頭牛每天吃的草25x-草的生長(zhǎng)速度x 　　原有的草=每頭牛每天吃的草1020-草的生長(zhǎng)速度20 　　有：每頭牛每天吃的草25x-草的生長(zhǎng)速度x 　　=每頭牛每天吃的草1020-草的生長(zhǎng)速度20 　　所以：125x-5x=11020-520 　　解這個(gè)方程 　　25x-5x=1020-520 　　20x=100 　　x=5（天） 　　答：可供25頭牛吃5天。 　　例3 某建筑公司有紅、灰兩種顏色的磚，紅磚量是灰磚量的2倍，計(jì)劃修建住宅若干座。若每座住宅使用紅磚80米3，灰磚30米3，那么，紅磚缺40米3，灰磚剩40米3。問(wèn)：計(jì)劃修建住宅多少座？ 　　解 答 　　設(shè)計(jì)劃修建住宅x座，則紅磚有（80x-40）米3，灰磚有（30x+40）米3。根據(jù)紅磚量是灰磚量的2倍，列出方程 　　解法一：用直接設(shè)元法。 　　80x-40=(30x+40)2 　　80x-40=60x+80 　　20x=120 　　x=6（座） 　　解法二：用間接設(shè)元法。 　　設(shè)有灰磚x米3，則紅磚有2x米3。根據(jù)修建住宅的座數(shù)，列出方程。 　?。▁-40）30=（2x+40）80 　?。▁-40）80=（2x+40）30 　　80x-3200=60x+1200 　　20x=4400 　　x=220(米3) 　　由灰磚有220米3，推知修建住宅（220-40）30=6（座）。 　　同理，也可設(shè)有紅磚x米3。留給同學(xué)們練習(xí)。 　　答：計(jì)劃修建住宅6座。 　　例4 兩個(gè)數(shù)的和是100，差是8，求這兩個(gè)數(shù)。 思路剖析： 　　這道題有兩個(gè)數(shù)均為未知數(shù)，我們可以設(shè)其中一個(gè)數(shù)為x，那么另一個(gè)數(shù)可以用100-x或x+8來(lái)表示。 解 答： 　　解法一：設(shè)較小的數(shù)為x，那么較大的數(shù)為x+8，根據(jù)題意“它們的和是100”，可以得到： 　　x+8+x=100 　　解這個(gè)方程：2x=100-8 　　所以 x=46 　　所以 較大的數(shù)是 46+8=54 　　也可以設(shè)較小的數(shù)為x，較大的數(shù)為100-x，根據(jù)“它們的差是8”列方程得： 　　100-x-x=8 　　所以 x=46 　　所以 較大的數(shù)為100-46=54 　　答：這兩個(gè)數(shù)是46與54。 附送： 2019年(春)五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 5.4《解方程》教案10 （新版）西師大版 教學(xué)內(nèi)容 教科書(shū)第99、100頁(yè)例1、例2。 教學(xué)目標(biāo) 1.知道解方程的意義和基本思路。 2.會(huì)運(yùn)用數(shù)量關(guān)系式或等式的基本性質(zhì)對(duì)解方程的過(guò)程進(jìn)行語(yǔ)言表述。 3.會(huì)對(duì)具體方程的解法提出自己解答的方案，并能與同學(xué)交流。 4.獨(dú)立地解答一、二步方程。 5.能夠驗(yàn)算方程的解的正確性。 教學(xué)準(zhǔn)備 練習(xí)卡片一套，實(shí)物投影儀。 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)鋪墊 1. 填空，說(shuō)出填數(shù)的理由 ①17.5－（）＝5 ②（）1.7＝3.4 ③2.7（）＝9 ④a＋b－（）＝a－c＋b ⑤2n＝n＋（） ⑥42－8＝76－（） ⑦3x＋8＝8＋x＋（） 填完以后，教師請(qǐng)學(xué)生在小組內(nèi)互相評(píng)判，看有沒(méi)有錯(cuò)誤。然后請(qǐng)小組長(zhǎng)匯報(bào)填空的正確情況。 生：第1小題，（）填的是17，錯(cuò)了，應(yīng)該填12.5。 生：第3小題，（）填的是3，錯(cuò)了，應(yīng)該填0.3。 師：這兩個(gè)錯(cuò)誤是誰(shuí)發(fā)現(xiàn)的？為什么認(rèn)為是錯(cuò)誤的？ 生：老師，我們可以驗(yàn)算。把答案拿到括號(hào)里，重新算一遍，就知道了。 師：那你算給他們看看，是不是一個(gè)好辦法呢？ （生上臺(tái)板演演算過(guò)程） 生：第5小題，（）填的是2。 生：第7小題，（）填的是3。 師：有這些錯(cuò)誤的同學(xué)舉手，哦，不少呢！好，誰(shuí)來(lái)一一糾正？ （有幾個(gè)同學(xué)主動(dòng)起來(lái)糾正錯(cuò)誤，并說(shuō)明依據(jù)等式的性質(zhì)應(yīng)該如何填寫(xiě)） 師：對(duì)了，我們?cè)谧鲱}的時(shí)候，一定要注意學(xué)會(huì)判斷自己的答案是否正確，否則你做得再多， 錯(cuò)了也沒(méi)有用，還耽誤了許多時(shí)間。有些可以計(jì)算的題，可以驗(yàn)算；有些不能直接算的題可以舉例（任意拿一個(gè)數(shù)去做代表，試算一下），或者用性質(zhì)、意義去衡量一下，總之，要學(xué)會(huì)回過(guò)頭來(lái)檢查、驗(yàn)算。好，接著往下看，寫(xiě)出等式。 2．看卡片寫(xiě)等式 20加上x(chóng)等于30 8a等于2b減去21 12的3倍等于36 3y減去8等于13 師：請(qǐng)同桌互相檢查寫(xiě)好的等式，我請(qǐng)幾個(gè)同學(xué)到展臺(tái)上把他們的作業(yè)展示給大家看，大家評(píng) 判一下。 生：書(shū)寫(xiě)非常工整，只是有些同學(xué)的式子跟上面展示的不一樣。 師：不一樣好啊！要是我們?nèi)嗤瑢W(xué)都長(zhǎng)得一樣，老師不是叫不出大家的名字了嗎？ 師：這些等式，哪幾個(gè)是方程？誰(shuí)能夠很快猜出方程里未知數(shù)的答案？ 二、走進(jìn)新課 1．匯集問(wèn)題，尋找出路 生：我會(huì)猜方程“20＋x＝30”的答案，x＝10。 生：老師，我還知道方程“3y－8＝13”的解，y是7。三七二十一，減8是13。 生：我知道8a＝2b－21的解是，是…… 師：我也覺(jué)得這個(gè)方程的答案挺難猜。這樣吧，我們留著以后來(lái)研究。 2．解決問(wèn)題，形成方法 師：看到剛才同學(xué)們猜得那么有趣，澳大利亞特有的動(dòng)物考拉也來(lái)湊熱鬧。 （課件出示例1）你看它們多可愛(ài)啊！ 師：請(qǐng)你仔細(xì)觀察，你發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)信息？ 生：我發(fā)現(xiàn)圖上有4只考拉，每只重xkg，他們一共重12kg。 師：大家能根據(jù)數(shù)學(xué)信息說(shuō)出等量關(guān)系嗎？ 生：4只考拉的質(zhì)量=12kg。 師：請(qǐng)大家根據(jù)等量關(guān)系列出方程。 生：4x=12。 師：我們根據(jù)題意，知道4只考拉重12kg，設(shè)每只考拉為xkg，可以得到方程4x=12。 （教師板書(shū)方程） 師：大家想一想，方程4x=12的解是多少呢？ 生1：我認(rèn)為方程4x=12的解是3，因?yàn)槿氖詘=3。 生2：我也認(rèn)為方程4x=12的解是3，因?yàn)閤是12的因數(shù)，因數(shù)=積另一個(gè)因數(shù)，124＝3。 生3：我也認(rèn)為解是3。因?yàn)?x就是4乘x，利用等式的性質(zhì)，在等式兩邊同時(shí)除以4，就可以 得到x=3。 師：大家的想法都很好，那你們把它寫(xiě)下來(lái)。 （學(xué)生寫(xiě)完后，交流，老師展示部分學(xué)生寫(xiě)的過(guò)程） 生1：4x=12 =124 =3 生2：4x=12 x=124 x=3 生3：解：4x=12 x=124 x=3 生4：解：4x=12 4x4=124 x=3 師：從大家的書(shū)寫(xiě)中看出，三位同學(xué)都求出了方程的解是3。在數(shù)學(xué)上，求出方程的解的過(guò)程 叫做解方程。 （老師板書(shū)：求出方程的解的過(guò)程叫做解方程。） 師：要把解方程寫(xiě)出來(lái)，還有一定的格式，否則，別人就可能看不懂。（結(jié)合生3，生4的書(shū)寫(xiě) 講解書(shū)寫(xiě)格式）先提行，寫(xiě)下一個(gè)“解”字；為了美觀，盡量使等號(hào)對(duì)齊，兩邊寫(xiě)式子。生3利用數(shù)量關(guān)系式解答，生4利用等式的性質(zhì)進(jìn)行解答，兩種方法都有道理，而且書(shū)寫(xiě)也很規(guī)范。 師：通過(guò)學(xué)習(xí)，和大家一起了解了一個(gè)新的知識(shí)：解方程。（板書(shū)：解方程）要判斷方程的結(jié)果寫(xiě)對(duì)沒(méi)有，應(yīng)該怎么做呢？ 生：驗(yàn)算。 師：好！下面，我出一個(gè)方程，你們馬上寫(xiě)出求解的過(guò)程和驗(yàn)算的過(guò)程，不會(huì)的可以問(wèn)問(wèn)同學(xué) 和老師。 出示：20+x=30。 （學(xué)生很快完成了，書(shū)寫(xiě)有些不符合要求） 師：剛才大家用數(shù)量關(guān)系式或等式的性質(zhì)還原了式子中的一些數(shù)，得到了方程的解。這個(gè)解的 過(guò)程我們就叫做解方程。寫(xiě)過(guò)程的格式還要注意：第一，先提行寫(xiě)下一個(gè)“解”字；第二，盡量使等號(hào)對(duì)齊，兩邊寫(xiě)式子；第三，可以利用數(shù)量關(guān)系式解答，也可以運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，要特別注意的是：等式兩邊要同加、同減或同乘、同除。 3．類比推廣，深化探究 師：前一段，我們寫(xiě)出了解一步方程的過(guò)程，那兩步方程呢？四人小組一起試著寫(xiě)一寫(xiě)解方程 “3y－8＝13”的全過(guò)程。一會(huì)兒要請(qǐng)同學(xué)上來(lái)講給大家聽(tīng)，看哪一組的說(shuō)得清楚，寫(xiě)得規(guī)范。 （學(xué)生寫(xiě)完后，互相交流，老師一一展示各組的解方程過(guò)程） （1）組：解3y－8＝13 3y＝13＋8 3y＝21 y=7 驗(yàn)算37－8＝13 （2）組：解3y－8＝13 3y－8－8＝13－8 3y＝5 y＝5/3 （3）、（4）組： 解3y－8＝13 3y－8＋8＝13＋8 3y＝21 3y3＝213 y＝7 驗(yàn)算37－8＝13 師：大家看，（1）、（3）、（4）組都得到了與猜想相同的答案，y等于7。而且驗(yàn)算了是正確的。 只有二組沒(méi)有得到答案。 生：（2）組第一步就錯(cuò)了。同時(shí)減8，不對(duì)。本來(lái)就減8了，還原應(yīng)該加。 師：是嗎？二組的同意他的說(shuō)法嗎？ 生：同意！可是…… 師：那二組的同學(xué)再討論一下，問(wèn)題出在哪兒？其他的還有問(wèn)題嗎？ 生：我們（1）組的方法和（3）、（4）組的不一樣。我們運(yùn)用數(shù)量關(guān)系式，把3y看成是被減數(shù)， 根據(jù)被減數(shù)=差+減數(shù)，可以求到3y=21，再把y看成21的因數(shù)，根據(jù)因數(shù)=被除數(shù)另一個(gè)因數(shù)，求出y＝7。（3）、（4）組運(yùn)用的方法是等式的性質(zhì)，不過(guò)，我們認(rèn)為從書(shū)寫(xiě)的步驟來(lái)說(shuō)，我們的方法要更簡(jiǎn)單一些。 師：（2）組的討論清楚沒(méi)有？ （生上臺(tái)改正） 師：現(xiàn)在我們就請(qǐng)（2）組的這位同學(xué)說(shuō)說(shuō)，他們?yōu)槭裁催@樣改。 生：第一步，我們想，3y減去8是13，如果不減就該加上8，兩邊都加8，還原成3y＝21，那 y就是7了。 生：第二步，3乘y是21，兩邊都除以3，那y就是7了。 師：對(duì)了！數(shù)學(xué)上的每一步都很重要。我們必須寫(xiě)清楚，否則別人看不懂就會(huì)誤事兒！剛才大 家寫(xiě)的過(guò)程，歸納起來(lái)很簡(jiǎn)單：就是解方程的時(shí)候，用數(shù)量關(guān)系或者等式的性質(zhì)思考，再加上驗(yàn)算，那肯定不會(huì)有錯(cuò)的。 三、練習(xí)鞏固 師：同學(xué)們學(xué)會(huì)了解一步、兩步計(jì)算的方程，試一試，你能解下面兩個(gè)方程嗎？并驗(yàn)算。 （出示：18+6x＝30，4n-2.54＝15） 生獨(dú)立完成。 師：請(qǐng)同學(xué)給大家展示，并介紹方法。 生1：我與大家交流的是18+6x＝30，我用等式的性質(zhì)把等式兩邊同時(shí)減去18，寫(xiě)成18+6x－18 ＝30－18，6x＝12；再把等式兩邊同時(shí)除以6，寫(xiě)成6x6＝126，x＝2。驗(yàn)算：18＋62＝30。大家在寫(xiě)的時(shí)候還要注意書(shū)寫(xiě)格式，先提行寫(xiě)下一個(gè)“解”字，還要盡量使等號(hào)對(duì)齊，兩邊寫(xiě)式子。 師：把思考過(guò)程說(shuō)得很詳細(xì)，還提醒大家注意書(shū)寫(xiě)格式。真不錯(cuò)！誰(shuí)來(lái)說(shuō)第二題。 生2：我和大家交流解4n-2.54＝15的過(guò)程。我先計(jì)算出2.54＝10，就在方程下寫(xiě)出4n-10＝15，再把4n看做被減數(shù)，根據(jù)被減數(shù)=差+減數(shù)，求出4n＝25，最后在把n看作25的因數(shù)，根據(jù)因數(shù)=積另一個(gè)因數(shù)，求出n＝254，n＝25/4。最后，還要驗(yàn)算：425/4－2.54＝15，說(shuō)明方程的解確實(shí)是25/4，我做對(duì)了。 師：說(shuō)得非常清楚，同學(xué)們學(xué)數(shù)學(xué)不僅要會(huì)解出正確的答案，更重要的還要學(xué)會(huì)用語(yǔ)言把我們的想法準(zhǔn)確地表述出來(lái)，與大家共同交流。 四、回顧總結(jié) 師：今天，我們學(xué)習(xí)了解方程，大家一起來(lái)說(shuō)說(shuō)，從這節(jié)課中你學(xué)到了什么？ 生：我學(xué)會(huì)了解方程的書(shū)寫(xiě)格式。 生：我學(xué)會(huì)了解方程的思考方法。 生：我學(xué)會(huì)了方程的驗(yàn)算。 師：大家的總結(jié)很全面，從大家的總結(jié)中看出你們這節(jié)課學(xué)得非常認(rèn)真，我們學(xué)數(shù)學(xué)最重要的 是學(xué)習(xí)思考方法，并運(yùn)用這些方法來(lái)解決問(wèn)題，明天，我們將學(xué)習(xí)用方程來(lái)解決生活中遇到的問(wèn)題，希望大家繼續(xù)努力。