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第三章三角函數(shù) 解三角形第一節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 知識梳理 1 必會知識教材回扣填一填 1 角的有關概念 正角 負角 零角 象限角 k 360 k 2 2 弧度的概念 1弧度的角 長度等于 的弧所對的圓心角叫做1弧度的角 角 的弧度數(shù)公式 角度與弧度的換算 360 rad 1 rad 1rad 57 18 半徑長 2 3 任意角的三角函數(shù) 定義 設 是一個任意角 它的終邊與單位圓交于點P x y 則sin cos tan y x 幾何表示 三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示 正弦線的起點都在x軸上 余弦線的起點都是原點 正切線的起點都是 1 0 如圖中有向線段MP OM AT分別叫做角 的 和 正弦線 余弦線 正切線 4 終邊相同的角的三角函數(shù) sin k 2 cos k 2 tan k 2 其中k Z 即終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等 5 扇形的弧長與面積公式 扇形的弧長l 扇形的面積S sin cos tan r 2 必備結(jié)論教材提煉記一記 1 象限角與軸線角 象限角 軸線角 2 任意角三角函數(shù)的定義設P x y 是角 終邊上異于頂點的任一點 其到原點O的距離為r 則sin cos tan 3 必用技法核心總結(jié)看一看 1 常用方法 數(shù)形結(jié)合法 2 數(shù)學思想 分類討論 數(shù)形結(jié)合 3 記憶口訣 各象限角三角函數(shù)值符號的記憶口訣 一全正 二正弦 三正切 四余弦 小題快練 1 思考辨析靜心思考判一判 1 順時針旋轉(zhuǎn)得到的角是正角 2 鈍角是第二象限的角 3 若兩個角的終邊相同 則這兩個角相等 4 1弧度的角就是長度為1的弧所對的圓心角 5 終邊在y軸上的角的正切值不存在 解析 1 錯誤 順時針旋轉(zhuǎn)得到的角是負角 2 正確 鈍角的范圍是 顯然是第二象限的角 3 錯誤 角180 的終邊與角 180 的終邊相同 顯然它們不相同 4 錯誤 1弧度的角是單位圓中長度為1的弧所對的圓心角 5 正確 終邊在y軸上的角與單位圓的交點坐標為 0 1 0 1 由三角函數(shù)的定義知 角的正切值不存在 答案 1 2 3 4 5 2 教材改編鏈接教材練一練 1 必修4P10T10改編 單位圓中 200 的圓心角所對的弧長為 A 10 B 9 C D 解析 選D 單位圓的半徑r 1 200 的弧度數(shù)是200 由弧度數(shù)的定義得 所以l 2 必修4P15T6改編 若角 滿足tan 0 sin 0知 是一 三象限角 由sin 0知 是三 四象限角 故 是第三象限角 3 真題小試感悟考題試一試 1 2015 蘭州模擬 下列各角與終邊相同的角是 解析 選D 與終邊相同的角可以寫成 k 2 k Z 當k 1時 為 2 2015 石家莊模擬 已知角 的終邊在直線y x上 且cos 0 則tan 解析 選D 如圖 由題意知 角 的終邊在第二象限 在其上任取一點P x y 則y x 由三角函數(shù)的定義得tan 1 3 2014 新課標全國卷 若tan 0 則 A sin 0B cos 0C sin2 0D cos2 0 解析 選C 由tan 0可得 k 0 考點1象限角及終邊相同的角 典例1 1 終邊在直線y x上 且在 2 2 內(nèi)的角 的集合為 2 如果 是第三象限的角 試確定 2 的終邊所在位置 解題提示 1 數(shù)形結(jié)合 先寫出 0 2 內(nèi)的角 再寫出 2 0 內(nèi)的角 最后寫出集合 2 由 的范圍寫出 與2 的范圍 再由終邊相同角的關系判斷 規(guī)范解答 1 如圖 在坐標系中畫出直線y x 可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是 在 0 2 內(nèi) 終邊在直線y x上的角有兩個 在 2 0 內(nèi)滿足條件的角有兩個 故滿足條件的角 構(gòu)成的集合為答案 2 由 是第三象限的角得所以即所以角 的終邊在第二象限 由 2k 2k k Z 得2 4k 2 3 4k k Z 所以角2 的終邊在第一 二象限及y軸的非負半軸 易錯警示 解答本題 2 有兩點容易出錯 1 由 的象限表達式得到 的不等式時 不能正確地運用不等式的性質(zhì)化為終邊相同的角的形式 導致判斷出錯 2 由 的象限表達式得到2 的表達式后 容易漏掉y軸的非負半軸這一情況 導致不全而判斷失誤 互動探究 在本例題 2 的條件下 判斷的終邊所在的位置 解析 因為 2k 2k k Z 所以當k 3n n Z 時 當k 3n 1 n Z 時 當k 3n 2 n Z 時 所以的終邊在第一 三 四象限 規(guī)律方法 1 終邊在某直線上角的求法步驟 1 數(shù)形結(jié)合 在平面直角坐標系中畫出該直線 2 按逆時針方向?qū)懗?0 2 內(nèi)的角 3 再由終邊相同角的表示方法寫出滿足條件角的集合 4 求并集化簡集合 2 確定k k N 的終邊位置的方法先用終邊相同角的形式表示出角 的范圍 再寫出k 或的范圍 然后根據(jù)k的可能取值討論確定k 或的終邊所在位置 變式訓練 設角 是第二象限的角 且則角屬于 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D(zhuǎn) 第四象限 解析 選C 因為 是第二象限角 所以90 k 360 180 k 360 k Z 45 k 180 90 k 180 k Z 當k是偶數(shù)時 是第一象限角 當k是奇數(shù)時 是第三象限角 又由 cos cos得是第三象限角 加固訓練 1 2015 濟南模擬 若 k 360 m 360 k m Z 則角 與 的終邊的位置關系是 A 重合B 關于原點對稱C 關于x軸對稱D 關于y軸對稱 解析 選C 顯然角 與角 的終邊相同 角 與角 的終邊相同 而 與 的終邊關于x軸對稱 故選C 2 如圖所示 則終邊在圖中所示直線上的角的集合為 解析 由題干圖易知 在0 360 范圍內(nèi) 終邊在直線y x上的角有兩個 即135 和315 因此 終邊在直線y x上的角的集合為S 135 k 360 k Z 315 k 360 k Z 135 n 180 n Z 答案 135 n 180 n Z 考點2弧度制及扇形面積公式的應用 典例2 1 時間經(jīng)過8小時 鐘表中時針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)為 2 已知扇形的圓心角是 半徑是r 弧長為l 若 100 r 2 求扇形的面積 若扇形的周長為20 求扇形面積的最大值 并求此時扇形圓心角的弧度數(shù) 解題提示 1 明確時針旋轉(zhuǎn)的方向是解題的關鍵 2 先把角度數(shù)化成弧度數(shù) 再利用扇形的面積公式求解 利用扇形的面積公式建立函數(shù)關系 利用函數(shù)的最值求解 規(guī)范解答 1 時針是順時針方向旋轉(zhuǎn)的 所以經(jīng)過8小時 時針轉(zhuǎn)過的角度數(shù)為 360 240 其弧度數(shù)為答案 2 100 100 所以l 2 故S扇 lr 由題意 得l 2r 20 l 20 2r 所以S扇 lr 20 2r r r2 10r r 5 2 25 所以 當r 5時 S扇最大 25 此時扇形圓心角的弧度數(shù)為 規(guī)律方法 弧度制下有關弧長 扇形面積問題的解題策略 1 明確弧度制下弧長公式l r 扇形的面積公式是S lr 其中l(wèi)是扇形的弧長 是扇形的圓心角 2 求扇形面積的關鍵是求得扇形的圓心角 半徑 弧長三個量中的任意兩個量 變式訓練 2015 太原模擬 已知2弧度的圓心角所對的弦長為2 那么這個圓心角所對的弧長是 A 2B sin2C D 2sin1 解析 選C 如圖 AOB 2弧度 過O點作OC AB于C 并延長OC交弧AB于D 則 AOD BOD 1弧度 且AC AB 1 在Rt AOC中 AO 即從而弧AB的長為l r 加固訓練 1 已知扇形的周長是6 面積是2 則扇形的圓心角的弧度數(shù)是 A 1B 4C 1或4D 2或4 解析 選C 設此扇形的半徑為r 弧長為l 則解得或從而或 2 已知半徑為10的圓O中 弦AB的長為10 1 求弦AB所對的圓心角 的大小 2 求 所在的扇形弧長l及弧所在的弓形的面積S 解析 1 在 AOB中 AB OA OB 10 所以 AOB為等邊三角形 因此弦AB所對的圓心角 2 由扇形的弧長與扇形面積公式 得l r 10 S扇形 r l 又S AOB OA OB sin 所以弓形的面積S S扇形 S AOB 考點3三角函數(shù)的定義及其應用知 考情任意角的三角函數(shù) 正弦 余弦 正切 的定義屬于理解內(nèi)容 在高考中以選擇題 填空題的形式出現(xiàn) 考查利用定義求三角函數(shù)值或已知角求點的坐標等問題 明 角度命題角度1 利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值 典例3 2015 廣州模擬 若角 的終邊經(jīng)過點P m m 0 且sin 則cos 的值為 解題提示 由三角函數(shù)的定義及sin 列方程求m 再求cos 規(guī)范解答 由題意得 r 所以因為m 0 所以當m 時 點P的坐標為 所以當m 時 點P的坐標為 所以答案 命題角度2 利用三角函數(shù)的定義求點的坐標 典例4 2015 臨沂模擬 頂點在原點 始邊在x軸的正半軸上的角 的終邊與圓心在原點的單位圓交于A B兩點 若 30 60 則弦AB的長為 解題提示 根據(jù)三角函數(shù)的定義求A B兩點的坐標 由兩點間的距離公式求解 規(guī)范解答 由三角函數(shù)的定義得A cos30 sin30 B cos60 sin60 即所以 AB 答案 悟 技法三角函數(shù)定義的應用方法 1 已知角 終邊上一點P的坐標 可求角 的三角函數(shù)值 先求P到原點的距離 再用三角函數(shù)的定義求解 2 已知角 的某三角函數(shù)值 可求角 終邊上一點P的坐標中的參數(shù)值 可根據(jù)定義中的兩個量列方程求參數(shù)值 3 已知角 的終邊所在的直線方程或角 的大小 根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角 終邊上某特定點的坐標 通 一類1 2015 青島模擬 已知角 的終邊與單位圓的交點P y 則sin tan 解析 選C 由 OP 2 得當y 時 sin tan 此時 sin tan 當y 時 sin tan 此時 sin tan 2 2015 銅川模擬 已知角 的始邊與x軸的正半軸重合 頂點在坐標原點 角 終邊上的一點P到原點的距離為 若 則點P的坐標為 A 1 B 1 C D 1 1 解析 選D 設點P的坐標為 x y 則由三角函數(shù)的定義得即故點P的坐標為 1 1 3 2015 合肥模擬 已知角 的頂點與原點重合 始邊與x軸的正半軸重合 終邊在直線y 2x上 則cos2 解析 選B 由題意知 tan 2 即sin 2cos 將其代入sin2 cos2 1中可得cos2 故cos2 2cos2 1 自我糾錯8利用定義求三角函數(shù)值 典例 2015 杭州模擬 已知角 的終邊在直線3x 4y 0上 則5sin 5cos 4tan 解題過程 錯解分析 分析上面解題過程 你知道錯在哪里嗎 提示 解題過程錯在求r時開方?jīng)]加絕對值 誤以為t 0而導致漏解 規(guī)避策略 1 準確利用三角函數(shù)的定義利用定義來求任意角的三角函數(shù) 關鍵是求出角的終邊上點P的橫 縱坐標及點P到原點的距離 再利用定義求解 2 區(qū)分角的終邊和角的終邊所在的直線角的終邊是射線 若角的終邊落在某條直線上 這時終邊位置實際上有兩個 對應的三角函數(shù)值有兩組 應分別求解 自我矯正 因為角 的終邊在直線3x 4y 0上 所以在角 的終邊上任取一點P 4t 3t t 0 則當t 0時 r 5t sin cos tan 所以5sin 5cos 4tan 3 4 3 2 當t 0時 r 5t sin cos tan 所以5sin 5cos 4tan 3 4 3 4 綜上 所求值為 2或 4 答案 2或 4