《高考數(shù)學(xué) 6.5 合情推理與演繹推理課件.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 6.5 合情推理與演繹推理課件.ppt（53頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第五節(jié)合情推理與演繹推理 知識(shí)梳理 1 必會(huì)知識(shí)教材回扣填一填 1 歸納推理 定義 由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征 推出該類事物的 對(duì)象都具有這些特征的推理 或者由個(gè)別事實(shí)概括出 的推理 稱為歸納推理 簡(jiǎn)稱歸納 特點(diǎn) 由 到整體 由 到一般的推理 全部 一般結(jié)論 部分 個(gè)別 2 類比推理 定義 由兩類對(duì)象具有某些 和其中一類對(duì)象的某些已知特征 推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理 簡(jiǎn)稱類比 特點(diǎn) 由特殊到 的推理 3 合情推理 歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí) 經(jīng)過觀察 分析 比較 聯(lián)想 再進(jìn)行歸納 然后提出 的推理 我們把它們統(tǒng)稱為合情推理 類似特征 特殊 類比 猜想 4 演繹推理 從一般性的原理出發(fā) 推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論 我們把這種推理稱為演繹推理 簡(jiǎn)言之 演繹推理是由一般到 的推理 5 演繹推理的一般模式 三段論 大前提 已知的 小前提 所研究的 結(jié)論 根據(jù) 對(duì) 做出的判斷 特殊 一般原理 特殊情況 一般原理 特殊情況 2 必備結(jié)論教材提煉記一記 1 合情推理的結(jié)論是猜想 不一定正確 演繹推理在大前提 小前提和推理形式都正確時(shí) 得到的結(jié)論一定正確 2 合情推理是發(fā)現(xiàn)結(jié)論的推理 演繹推理是證明結(jié)論的推理 3 必用技法核心總結(jié)看一看 1 常用方法 歸納 類比 2 數(shù)學(xué)思想 合情推理思想 演繹推理思想 3 記憶口訣 合情未必就合理 推理正確靠演繹 演繹要用三段論 大小推理要合理 小題快練 1 思考辨析靜心思考判一判 1 歸納推理與類比推理都是由特殊到一般的推理 2 在類比時(shí) 平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對(duì)象較為合適 3 所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù) 某數(shù)m是3的倍數(shù) 則m一定是9的倍數(shù) 這是三段論推理 但其結(jié)論是錯(cuò)誤的 4 在演繹推理中 只要符合演繹推理的形式 結(jié)論就一定正確 解析 1 錯(cuò)誤 歸納推理是由部分到整體 由個(gè)別到一般的推理 類比推理是由特殊到特殊的推理 2 錯(cuò)誤 平面中的三角形與空間中的四面體作為類比對(duì)象較為合適 3 正確 因?yàn)榇笄疤徨e(cuò)誤 所以結(jié)論錯(cuò)誤 4 錯(cuò)誤 演繹推理在大前提 小前提和推理形式都正確時(shí) 得到的結(jié)論一定正確 答案 1 2 3 4 2 教材改編鏈接教材練一練 1 選修2 2P77練習(xí)T1改編 已知數(shù)列 an 中 a1 1 n 2時(shí) an an 1 2n 1 依次計(jì)算a2 a3 a4后 猜想an的表達(dá)式是 A an 3n 1B an 4n 3C an n2D an 3n 1 解析 選C a1 1 a2 4 a3 9 a4 16 猜想an n2 2 選修2 2P84習(xí)題2 1A組T5改編 在等差數(shù)列 an 中 若a10 0 則有a1 a2 an a1 a2 a19 n n 19 且n N 成立 類比上述性質(zhì) 在等比數(shù)列 bn 中 若b9 1 則存在的等式為 解析 根據(jù)類比推理的特點(diǎn)可知 等比數(shù)列和等差數(shù)列類比 在等差數(shù)列中是和 在等比數(shù)列中是積 故有b1b2 bn b1b2 b17 n n 17 且n N 答案 b1b2 bn b1b2 b17 n n 17 且n N 3 真題小試感悟考題試一試 1 2014 北京高考 學(xué)生的語文 數(shù)學(xué)成績(jī)均被評(píng)定為三個(gè)等級(jí) 依次為 優(yōu)秀 合格 不合格 若學(xué)生甲的語文 數(shù)學(xué)成績(jī)都不低于學(xué)生乙 且其中至少有一門成績(jī)高于乙 則稱 學(xué)生甲比學(xué)生乙成績(jī)好 如果一組學(xué)生中沒有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績(jī)好 并且不存在語文成績(jī)相同 數(shù)學(xué)成績(jī)也相同的兩位學(xué)生 那么這組學(xué)生最多有 A 2人B 3人C 4人D 5人 解析 選B 假設(shè)A B兩位學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)一樣 由題意知他們語文成績(jī)不一樣 這樣他們的語文成績(jī)總有人比另一個(gè)人高 語文成績(jī)較高的學(xué)生比另一個(gè)學(xué)生 成績(jī)好 與已知條件 他們之中沒有一個(gè)比另一個(gè)成績(jī)好 相矛盾 因此 沒有任意兩位學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)是相同的 因?yàn)閿?shù)學(xué)成績(jī)只有3種 因而學(xué)生數(shù)量最大為3 即3位學(xué)生的成績(jī)分別為 優(yōu)秀 不合格 合格 合格 不合格 優(yōu)秀 時(shí)滿足條件 2 2014 新課標(biāo)全國(guó)卷 甲 乙 丙三位同學(xué)被問到是否去過A B C三個(gè)城市時(shí) 甲說 我去過的城市比乙多 但沒去過B城市 乙說 我沒去過C城市 丙說 我們?nèi)巳ミ^同一城市 由此可判斷乙去過的城市為 解析 由丙可知 乙至少去過一個(gè)城市 由甲說可知甲去過A C且比乙多 故乙只去過一個(gè)城市 且沒有去過C城市 故乙只去過A城市 答案 A 3 2014 陜西高考 觀察分析下表中的數(shù)據(jù) 猜想一般凸多面體中F V E所滿足的等式是 解析 由題中所給的三組數(shù)據(jù) 可得5 6 9 2 6 6 10 2 6 8 12 2 由此可以猜想出一般凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)V 面數(shù)F及棱數(shù)E所滿足的等式是F V E 2 答案 F V E 2 考點(diǎn)1類比推理 典例1 2015 泉州模擬 設(shè) ABC的三邊長(zhǎng)分別為a b c ABC的面積為S 內(nèi)切圓半徑為r 則r 類比這個(gè)結(jié)論可知 四面體ABCD的四個(gè)面的面積分別為S1 S2 S3 S4 四面體ABCD的體積為V 內(nèi)切球半徑為R 則R 解題提示 平面中的邊長(zhǎng)與面積類比空間中的面積與體積 二維圖形中的2類比三維圖形中的3 規(guī)范解答 三角形的面積類比四面體的體積 三角形的邊長(zhǎng)類比四面體四個(gè)面的面積 內(nèi)切圓半徑類比內(nèi)切球的半徑 二維圖形中的類比三維圖形中的 得R 答案 互動(dòng)探究 把本例改為 在邊長(zhǎng)為a的正三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值a 類比上述結(jié)論 在棱長(zhǎng)為a的正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到其四個(gè)面的距離之和為定值 解析 正四面體內(nèi)任一點(diǎn)與四個(gè)面組成四個(gè)三棱錐 它們的體積之和為正四面體的體積 設(shè)點(diǎn)到四個(gè)面的距離分別為h1 h2 h3 h4 每個(gè)面的面積為正四面體的體積為則有得h1 h2 h3 h4 答案 規(guī)律方法 類比推理的關(guān)鍵及情形 1 進(jìn)行類比推理 應(yīng)從具體問題出發(fā) 通過觀察 分析 聯(lián)想進(jìn)行對(duì)比 提出猜想 其中找到合適的類比對(duì)象是解題的關(guān)鍵 2 類比推理常見的情形有 平面與空間類比 低維與高維的類比 等差與等比數(shù)列類比 運(yùn)算類比 加與乘 乘與乘方 減與除 除與開方 數(shù)的運(yùn)算與向量運(yùn)算類比 圓錐曲線間的類比等 變式訓(xùn)練 若 an 是等差數(shù)列 m n p是互不相等的正整數(shù) 則有 m n ap n p am p m an 0 類比上述性質(zhì) 相應(yīng)地 對(duì)等比數(shù)列 bn m n p是互不相等的正整數(shù) 有 解析 等差數(shù)列的三項(xiàng)之和類比等比數(shù)列的三項(xiàng)之積 等差數(shù)列中 m n ap類比等比數(shù)列中的答案 加固訓(xùn)練 2015 溫州模擬 下面使用類比推理 得出正確結(jié)論的是 若a 3 b 3 則a b 類比出 若a 0 b 0 則a b 若 a b c ac bc 類比出 a b c ac bc 若 a b c ac bc 類比出 c 0 ab n anbn 類比出 a b n an bn 解析 中 3與0兩個(gè)數(shù)的性質(zhì)不同 故類比中把3換成0 其結(jié)論不成立 中 乘法滿足對(duì)加法的分配律 但乘法不滿足對(duì)乘法的分配律 是正確的 中 令n 2顯然不成立 答案 考點(diǎn)2歸納推理知 考情歸納推理是發(fā)現(xiàn)問題 找出規(guī)律的具體鮮明的方法 也是創(chuàng)新的一種思維方式 因而成為高考考查的亮點(diǎn) 常以選擇題 填空題的形式出現(xiàn) 主要考查數(shù)列 不等式 等式 函數(shù) 幾何等問題 明 角度命題角度1 與數(shù)字有關(guān)的推理 典例2 2015 新鄉(xiāng)模擬 從1開始的自然數(shù)按如圖所示的規(guī)則排列 現(xiàn)有一個(gè)三角形框架在圖中上下或左右移動(dòng) 使每次恰有九個(gè)數(shù)在此三角形內(nèi) 則這九個(gè)數(shù)的和可以為 A 2011B 2012C 2013D 2014 解題提示 設(shè)最上層的一個(gè)數(shù)為a 則第二層的三個(gè)數(shù)為a 7 a 8 a 9 第三層的五個(gè)數(shù)為a 14 a 15 a 16 a 17 a 18 根據(jù)題意求和驗(yàn)證 規(guī)范解答 選B 根據(jù)題干圖所示的規(guī)則排列 設(shè)最上層的一個(gè)數(shù)為a 則第二層的三個(gè)數(shù)為a 7 a 8 a 9 第三層的五個(gè)數(shù)為a 14 a 15 a 16 a 17 a 18 這9個(gè)數(shù)之和為a 3a 24 5a 80 9a 104 由9a 104 2012 得a 212 是自然數(shù) 故選B 命題角度2 與不等式有關(guān)的推理 典例3 2015 寶雞模擬 觀察下列不等式 照此規(guī)律 第五個(gè)不等式為 解題提示 觀察不等式兩邊式子的特點(diǎn) 總結(jié)指數(shù) 項(xiàng)數(shù) 分子 分母之間的數(shù)量關(guān)系 規(guī)范解答 左邊的式子的通項(xiàng)是右邊式子的分母依次增加1 分子依次增加2 還可以發(fā)現(xiàn)右邊分母與左邊最后一項(xiàng)分母的關(guān)系 所以第五個(gè)不等式為答案 悟 技法1 歸納推理的一般步驟 1 通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì) 2 從相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題 2 處理與歸納推理相關(guān)的類型及策略 1 與數(shù)字有關(guān) 觀察數(shù)字特點(diǎn) 找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律可解 2 與不等式有關(guān) 觀察每個(gè)不等式的特點(diǎn) 找到規(guī)律后可解 通 一類1 2015 臨沂模擬 觀察 x2 2x x4 4x3 cosx sinx 由歸納推理可得 若定義在R上的函數(shù)f x 滿足f x f x 記g x 為f x 的導(dǎo)函數(shù) 則g x A f x B f x C g x D g x 解析 選D 由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知 偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù) 因此當(dāng)f x 是偶函數(shù)時(shí) 其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù) 故g x g x 2 2015 瀘州模擬 一支人數(shù)是5的倍數(shù)且不少于1000人的游行隊(duì)伍 若按每橫排4人編隊(duì) 最后差3人 若按每橫排3人編隊(duì) 最后差2人 若按每橫排2人編隊(duì) 最后差1人 則這只游行隊(duì)伍的最少人數(shù)是 A 1025B 1035C 1045D 1055 解析 選C 設(shè)這只游行隊(duì)伍的最少人數(shù)是n 因?yàn)槊繖M排4人編隊(duì) 最后差3人 若按每橫排3人編隊(duì) 最后差2人 若按每橫排2人編隊(duì) 最后差1人 所以n 1是2 3 4的公倍數(shù) 即12的倍數(shù) 即n 1 1008 12k k N 則n 1009 12k k N 又因?yàn)閚為5的倍數(shù) 故當(dāng)k 3時(shí) 1045是滿足條件的最少人數(shù) 故選C 3 2013 陜西高考 觀察下列等式 12 1 12 22 3 12 22 32 6 12 22 32 42 10 照此規(guī)律 第n個(gè)等式可為 解析 12 1 12 22 1 2 12 22 32 1 2 3 12 22 32 42 1 2 3 4 12 22 32 42 1 n 1n2 1 n 1 1 2 n 1 n 1答案 12 22 32 42 1 n 1n2 1 n 1 考點(diǎn)3演繹推理 典例4 2015 保定模擬 數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和記為Sn 已知a1 1 an 1 Sn n N 證明 1 數(shù)列是等比數(shù)列 2 Sn 1 4an 解題提示 1 利用an 1 Sn 1 Sn消去an 1 2 根據(jù)是等比數(shù)列得到Sn 1與Sn 1的關(guān)系 再利用an Sn 1證明 規(guī)范解答 1 因?yàn)閍n 1 Sn 1 Sn an 1 所以 n 2 Sn n Sn 1 Sn 即nSn 1 2 n 1 Sn 所以 小前提 故是以1為首項(xiàng) 2為公比的等比數(shù)列 結(jié)論 大前提是等比數(shù)列的定義 這里省略了 2 由 1 可知所以Sn 1 4 n 1 Sn 1 4an n 2 小前提 又a2 3S1 3 S2 a1 a2 1 3 4 4a1 小前提 所以對(duì)于任意正整數(shù)n 都有Sn 1 4an 結(jié)論 規(guī)律方法 三段論的依據(jù)及應(yīng)用時(shí)的注意點(diǎn) 1 演繹推理的一般模式為三段論 三段論推理的依據(jù)是 如果集合M的所有元素都具有性質(zhì)P S是M的子集 那么S中所有元素都具有性質(zhì)P 2 應(yīng)用三段論的注意點(diǎn) 解決問題時(shí) 首先應(yīng)該明確什么是大前提 小前提 然后再找結(jié)論 變式訓(xùn)練 2015 北京模擬 若f a b f a f b a b N 且f 1 2 則 解析 利用三段論 因?yàn)閒 a b f a f b a b N 大前提 令b 1 則 f 1 2 小前提 所以所以原式 2014 答案 2014 加固訓(xùn)練 已知函數(shù)y f x 滿足 對(duì)任意a b R a b 都有af a bf b af b bf a 1 試證明 f x 為R上的單調(diào)增函數(shù) 2 若x y為正實(shí)數(shù)且 4 比較f x y 與f 6 的大小 解析 1 設(shè)x1 x2 R 取x1x1f x2 x2f x1 所以x1 f x1 f x2 x2 f x2 f x1 0 f x2 f x1 x2 x1 0 因?yàn)閤10 所以f x2 f x1 所以y f x 為R上的單調(diào)增函數(shù) 創(chuàng)新體驗(yàn)6演繹推理中的創(chuàng)新問題 創(chuàng)新點(diǎn)撥 1 高考考情 與演繹推理有關(guān)的新定義問題是高考命制創(chuàng)新型試題的一個(gè)熱點(diǎn) 常與集合 函數(shù)等結(jié)合 且考查的頻次較高 2 命題形式 常見的有新概念 新法則 新運(yùn)算等 新題快遞 1 2013 廣東高考 設(shè)整數(shù)n 4 集合X 1 2 3 n 令集合S x y z x y z X 且三條件x y z y z x z x y恰有一個(gè)成立 若 x y z 和 z w x 都在S中 則下列選項(xiàng)正確的是 A y z w S x y w SB y z w S x y w SC y z w S x y w SD y z w S x y w S 解題提示 本題在集合背景下利用新定義考查推理論證能力 應(yīng)理解好元素在集合S中的含義 解析 選B x y z S即x y z X 且三條件x y z y z x z x y恰有一個(gè)成立 則x y z是X中兩兩互不相同的三個(gè)數(shù) 不妨設(shè)x y z 同理 z w x S意味著z w x也兩兩互不相同 由于x z w x z或x z w有且只有一個(gè)成立 對(duì)于 y z w 由于y z 且w x z w y z或x z w y z w 所以 y z w S 同理 對(duì)于 x y w 由于x y x z w x y w或w x z w x y 所以 x y w S 2 2015 萊蕪模擬 如果函數(shù)f x 在區(qū)間D上是凸函數(shù) 那么對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意x1 x2 xn 都有若y sinx在區(qū)間 0 上是凸函數(shù) 那么在 ABC中 sinA sinB sinC的最大值是 解析 sinA sinB sinC 答案 3 2015 惠州模擬 我們將具有下列性質(zhì)的所有函數(shù)組成集合M 函數(shù)y f x x D 對(duì)任意x y D均滿足 f x f y 當(dāng)且僅當(dāng)x y時(shí)等號(hào)成立 1 若定義在 0 上的函數(shù)f x M 試比較f 3 f 5 與2f 4 的大小 2 設(shè)函數(shù)g x x2 求證 g x M 解析 1 對(duì)于 f x f y 令x 3 y 5得f 3 f 5 2f 4 備考指導(dǎo) 1 準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化 解決新定義問題時(shí) 一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義 及符號(hào)語言 緊扣所給定義轉(zhuǎn)化成題目要求的形式 切記不要與已有的概念或定義相混淆 2 方法選取 對(duì)新定義問題 可結(jié)合特例法 篩選法等方法 并注意運(yùn)用集合的有關(guān)性質(zhì)求解 要注意培養(yǎng)學(xué)生領(lǐng)悟新信息的能力