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知識點一解絕對值不等式 1 ax b c ax b c c 0 型不等式的解法 1 若c 0 則 ax b c等價于 c ax b c ax b c等價于ax b c或ax b c 然后根據a b的值解出即可 2 若c 0 則 ax b c的解集為 ax b c的解集為R 2 x a x b c c 0 x a x b c c 0 型不等式的解法可通過零點分區(qū)間法或利用絕對值的幾何意義進行求解 1 零點分區(qū)間法的一般步驟 令每個絕對值符號的代數式為零 并求出相應的根 將這些根按從小到大排列 把實數集分為若干個區(qū)間 由所分區(qū)間去掉絕對值符號得若干個不等式 解這些不等式 求出解集 取各個不等式解集的并集就是原不等式的解集 2 利用絕對值的幾何意義由于 x a x b 與 x a x b 分別表示數軸上與x對應的點到a b對應的點的距離之和與距離之差 因此對形如 x a x b 0 或 x a x b c c 0 的不等式 利用絕對值的幾何意義求解更直觀 3 f x g x f x 0 型不等式的解法 1 f x g x f x g x 或f x g x 2 f x g x g x f x g x 知識點二不等式的證明1 證明不等式的常用結論 1 絕對值的三角不等式定理1 若a b為實數 則 a b a b 當且僅當ab 0 等號成立 定理2 設a b c為實數 則 a c a b b c 當且僅當 a b b c 0時 等號成立 推論1 a b a b 推論2 a b a b 2 證明不等式的常用方法 1 比較法一般步驟 作差 變形 判斷 結論 為了判斷作差后的符號 有時要把這個差變形為一個常數 或者變形為一個常數與一個或幾個平方和的形式 也可變形為幾個因式的積的形式 以判斷其正負 2 綜合法利用某些已經證明過的不等式和不等式的性質 推導出所要證明的不等式 這種方法叫綜合法 即 由因導果 的方法 3 分析法證明不等式時 有時可以從求證的不等式出發(fā) 分析使這個不等式成立的充分條件 把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問題 如果能夠肯定這些充分條件都已經具備 那么就可以判定原不等式成立 這種方法叫作分析法 即 執(zhí)果索因 的方法 4 反證法和放縮法 先假設要證的命題不成立 以此為出發(fā)點 結合已知條件 應用公理 定義 定理 性質等 進行正確的推理 得到和命題的條件 或已證明的定理 性質 明顯成立的事實等 矛盾的結論 以說明假設不正確 從而證明原命題成立 這種方法叫作反證法 證明不等式時 通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小 簡化不等式 從而達到證明的目的 這種方法叫作放縮法 名師助學 1 a b 與 a b a b 與 a b a b 之間的關系 1 a b a b 當且僅當a b 0時 等號成立 2 a b a b a b 當且僅當 a b 且ab 0時 左邊等號成立 當且僅當ab 0時 右邊等號成立 2 證明不等式的常用方法有比較法 綜合法 分析法 如果已知條件與待證結論直接聯系不明顯 可考慮用分析法 如果待證命題是否定性命題 唯一性命題或以 至少 至多 等方式給出的 則考慮用反證法 如果待證不等式與自然數有關 則考慮用數學歸納法等 在必要的情況下 可能還需要使用換元法 構造法等技巧簡化對問題的表述和證明 方法1含絕對值不等式的性質與解法 1 基本性質法 對a R x a xa 2 平方法 兩邊平方去掉絕對值符號 3 零點分區(qū)間法 含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式 可用零點分區(qū)間法脫去絕對值符號 將其轉化為與之等價的不含絕對值符號的不等式 組 求解 4 幾何法 利用絕對值的幾何意義 畫出數軸 將絕對值轉化為數軸上兩點的距離求解 5 數形結合法 在直角坐標系中作出不等式兩邊所對應的兩個函數的圖象 利用函數圖象求解 例1 不等式 2x 1 2 x 1 0的解集為 點評 解決本題的關鍵是去絕對值號 轉化為一元一次不等式求解 方法2不等式的證明與應用證明不等式的常用方法 1 比較法 2 綜合法 3 分析法 4 反證法和放縮法 5 數學歸納法 點評 均值不等式的應用 方法3求解與絕對值不等式相關的最值問題的方法解含參數的不等式存在性問題 只要求出存在滿足條件的x即可 求解存在性問題需過兩關 第一關是轉化關 先把存在性問題轉化為求最值問題 不等式的解集為R是指不等式的恒成立問題 而不等式的解集為 的對立面也是不等式的恒成立問題 此兩類問題都可轉化為最值問題 即f x f x max f x a恒成立 a f x min 第二關是求最值關 求含絕對值的函數最值時 常用的方法有三種 利用絕對值的幾何意義 利用絕對值三角不等式 即 a b a b a b 利用零點分區(qū)間法 例3 已知函數f x x a x 2 1 當a 3時 求不等式f x 3的解集 2 若f x x 4 的解集包含 1 2 求a的取值范圍 審題指導 1 將a 3代入f x 利用零點分段法去絕對值號 2 根據x 1 2 去絕對值號解關于a的不等式 當x 3時 由f x 3 得2x 5 3 解得x 4 所以f x 3的解集為 x x 1 x x 4 2 f x x 4 x 4 x 2 x a 當x 1 2 時 x 4 x 2 x a 4 x 2 x x a 2 a x 2 a 由條件得 2 a 1且2 a 2 即 3 a 0 故滿足條件的a的取值范圍為 3 0 點評 研究含有絕對值的函數問題時 根據絕對值的定義 分類討論去掉絕對值符號 轉化為分段函數 然后利用數形結合解決 是常用的思想方法 解含絕對值的不等式的基本思路可概括為十二字口訣 找零點 分區(qū)間 逐個解 并起來