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第四節(jié)古典概型與幾何概型 知識點一古典概型 1 基本事件的特點 1 任何兩個基本事件是 的 2 任何事件 除不可能事件 都可以表示成 的和 互斥 基本事件 2 古典概型具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型 簡稱古典概型 1 有限性 試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有 個 2 等可能性 每個基本事件出現(xiàn)的可能性 3 古典概型的概率公式P A 有限 相等 知識點二幾何概型1 幾何概型的概念 1 如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的幾何度量 或 成比例 則稱這樣的概率模型為幾何概率模型 簡稱 2 幾何概型中的幾何度量可以是空間中或直線上的有限區(qū)域 相應的概率是體積之比 面積之比或長度之比 長度 面積 體積 幾何概型 2 幾何概型的特點 1 無限性 試驗中所有可能出現(xiàn)的結果 基本事件 有 多個 2 等可能性 每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等 因此 用幾何概型求解的概率問題和古曲概型的思路是相同的 同屬于 比例解法 即隨機事件A的概率可以用 事件A包含的基本事件所占的圖形面積 或體積 長度 與 試驗的基本事件所占總面積 或總體積 總長度 之比來表示 無限 4 幾何概型與古典概型的區(qū)別與聯(lián)系 1 共同點 基本事件都是等可能的 2 不同點 幾何概型基本事件的個數(shù)是無限的 古典概型基本事件的個數(shù)是有限的 基本事件可以抽象為點 對于幾何概型 這些點盡管是無限的 但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的 根據(jù)等可能性 這些點落在區(qū)域的概率與該區(qū)域的度量成正比 而與該區(qū)域的位置和形狀無關 名師助學 1 利用古典概型的公式求解事件的概率問題 應明確是否滿足古典概型的兩個特點 一是基本事件的有限性 二是基本事件的等可能性 2 善于用轉化思想把求一個復雜事件的概率問題轉化為求幾個簡單事件的概率和問題 3 解決幾何概型的求概率問題 關鍵是要構造出隨機事件對應的幾何圖形 利用圖形的幾何度量來求隨機事件的概率 方法1古典概型概率 1 一定要針對具體問題認真分析事件特點 準確判斷事件類型 古典概型中事件特點是結果有限且等可能性 2 計算古典概型中事件A的概率的關鍵是求出基本事件總數(shù)n和事件A中所含基本事件數(shù)m 3 計算基本事件總數(shù)常用的方法有枚舉法 樹形圖法 列表法 坐標網(wǎng)格法 用計數(shù)原理與排列組合計算法 備考中應認真體會和熟練掌握 例1 學校游園活動有這樣一個游戲項目 甲箱子里裝有3個白球 2個黑球 乙箱子里裝有1個白球 2個黑球 這些球除顏色外完全相同 每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球 若摸出的白球不少于2個 則獲獎 每次游戲結束后將球放回原箱 1 求在1次游戲中 摸出3個白球的概率 獲獎的概率 2 求在2次游戲中獲獎次數(shù)X的分布列及數(shù)學期望E X 解題指導 1 關鍵點 閱讀題意 判定概率類型 2 信息分析 要獲獎則摸出的白球為2個或3個兩種情況 在兩次游戲中獲獎次數(shù)X可為0 1 2 為獨立重復試驗 求出其各自概率 得X的分布列 從而求得其數(shù)學期望E X 點評 求解概率問題的關鍵是弄清題中所研究的對象 準確求解出試驗與所求事件分別包含的基本事件的個數(shù) 這是準確求解古典概型的基礎 方法2幾何概型的概率解答幾何概型問題的關鍵在于弄清題中的考察對象和對象的活動范圍 當考察對象為點 點的活動范圍在線段上時 用線段長度比計算 當考察對象為線時 一般用角度比計算 事實上 當半徑一定時 由于弧長之比等于其所對應的圓心角的度數(shù)之比 所以角度之比實際上是所對的弧長 曲線長 之比 例2 設有關于x的一元二次方程x2 2ax b2 0 1 若a是從0 1 2 3四個數(shù)中任取的一個數(shù) b是從0 1 2三個數(shù)中任取的一個數(shù) 求上述方程有實根的概率 2 若a是從區(qū)間 0 3 任取的一個數(shù) b是從區(qū)間 0 2 任取的一個數(shù) 求上述方程有實根的概率 點評 利用幾何概型求概率時 要選擇好角度 從分析基本事件的 等可能性 入手 將每個基本事件理解為在某個特定區(qū)域內隨機地取一點 而某個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內的某個指定區(qū)域中的點 方法2復雜古典概型問題在古典概型的概率中涉及兩種不同的抽取方法 以摸球為例 設袋內裝有n個不同的球 現(xiàn)從中依次摸球 每次只摸一只 具有兩種摸球的方法 有放回 每次摸出一只后 仍放回袋中 然后再摸一只 這種摸球的方法屬于有放回的抽樣 顯然 對于有放回的抽樣 每次摸出的球可以重復 且摸球可無限地進行下去 無放回 每次摸出一只后 不放回原袋中 在剩下的球中再摸一只 這種摸球方法屬于無放回的抽樣 顯然 對于無放回的抽樣 每次摸出的球不會重復出現(xiàn) 且摸球只能進行有限次 提醒 注意一次性抽取與逐次抽取的區(qū)別 一次性抽取是無順序的問題 逐次抽取是有順序的問題 例3 一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球 球的編號分別為1 2 3 4 1 從袋中隨機取兩個球 求取出的球的編號之和不大于4的概率 2 先從袋中隨機取一個球 該球的編號為m 將球放回袋中 然后再從袋中隨機取一個球 該球的編號為n 求n m 2的概率 解題指導 本題在審題時 要特別注意細節(jié) 使解題過程更加完善 如第 1 問 注意兩球一起取 實質上是不分先后 再如兩球編號之和不大于4等 第 2 問 有次序