《高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.6立體幾何中的向量方法（一）-證明平行與垂直課件 理 蘇教版.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.6立體幾何中的向量方法（一）-證明平行與垂直課件 理 蘇教版.ppt（107頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

8 6立體幾何中的向量方法 一 證明平行與垂直 第八章立體幾何 數(shù)學(xué)蘇 理 基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí) 題型分類 深度剖析 思想方法 感悟提高 練出高分 1 直線的方向向量與平面的法向量的確定 1 直線的方向向量 在直線上任取一向量作為它的方向向量 2 平面的法向量可利用方程組求出 設(shè)a b是平面 內(nèi)兩不共線向量 n為平面 的法向量 則求法向量的方程組為 非零 2 用向量證明空間中的平行關(guān)系 1 設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2 則l1 l2 或l1與l2重合 2 設(shè)直線l的方向向量為v 與平面 共面的兩個不共線向量v1和v2 則l 或l 3 設(shè)直線l的方向向量為v 平面 的法向量為u 則l 或l 4 設(shè)平面 和 的法向量分別為u1 u2 則 v1 v2 存在兩個實數(shù)x y 使v xv1 yv2 v u u1 u2 3 用向量證明空間中的垂直關(guān)系 1 設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2 則l1 l2 2 設(shè)直線l的方向向量為v 平面 的法向量為u 則l 3 設(shè)平面 和 的法向量分別為u1和u2 則 v1 v2 v1 v2 0 v u u1 u2 u1 u2 0 思考辨析 判斷下面結(jié)論是否正確 請在括號中打 或 1 直線的方向向量是唯一確定的 2 平面的單位法向量是唯一確定的 3 若兩平面的法向量平行 則兩平面平行 4 若兩直線的方向向量不平行 則兩直線不平行 5 若a b 則a所在直線與b所在直線平行 6 若空間向量a平行于平面 則a所在直線與平面 平行 l 或l 2 3 4 解析 解析 思維升華 思維點撥 題型一證明平行問題 例1 2013 浙江改編 如圖 在四面體A BCD中 AD 平面BCD BC CD AD 2 BD 2 M是AD的中點 P是BM的中點 點Q在線段AC上 且AQ 3QC 證明 PQ 平面BCD 證明線面平行 可以利用判定定理先證線線平行 也可利用平面的法向量 題型一證明平行問題 例1 2013 浙江改編 如圖 在四面體A BCD中 AD 平面BCD BC CD AD 2 BD 2 M是AD的中點 P是BM的中點 點Q在線段AC上 且AQ 3QC 證明 PQ 平面BCD 解析 思維升華 思維點撥 題型一證明平行問題 例1 2013 浙江改編 如圖 在四面體A BCD中 AD 平面BCD BC CD AD 2 BD 2 M是AD的中點 P是BM的中點 點Q在線段AC上 且AQ 3QC 證明 PQ 平面BCD 證明方法一如圖 取BD的中點O 以O(shè)為原點 OD OP所在射線為y z軸的正半軸 建立空間直角坐標(biāo)系O xyz 設(shè)點C的坐標(biāo)為 x0 y0 0 解析 思維升華 思維點撥 題型一證明平行問題 例1 2013 浙江改編 如圖 在四面體A BCD中 AD 平面BCD BC CD AD 2 BD 2 M是AD的中點 P是BM的中點 點Q在線段AC上 且AQ 3QC 證明 PQ 平面BCD 解析 思維升華 思維點撥 題型一證明平行問題 例1 2013 浙江改編 如圖 在四面體A BCD中 AD 平面BCD BC CD AD 2 BD 2 M是AD的中點 P是BM的中點 點Q在線段AC上 且AQ 3QC 證明 PQ 平面BCD 又PQ 平面BCD 所以PQ 平面BCD 方法二在線段CD上取點F 使得DF 3FC 連結(jié)OF 同證法一建立空間直角坐標(biāo)系 寫出點A B C的坐標(biāo) 設(shè)點C坐標(biāo)為 x0 y0 0 解析 思維升華 思維點撥 題型一證明平行問題 例1 2013 浙江改編 如圖 在四面體A BCD中 AD 平面BCD BC CD AD 2 BD 2 M是AD的中點 P是BM的中點 點Q在線段AC上 且AQ 3QC 證明 PQ 平面BCD 解析 思維升華 思維點撥 題型一證明平行問題 例1 2013 浙江改編 如圖 在四面體A BCD中 AD 平面BCD BC CD AD 2 BD 2 M是AD的中點 P是BM的中點 點Q在線段AC上 且AQ 3QC 證明 PQ 平面BCD 又PQ 平面BCD OF 平面BCD PQ 平面BCD 解析 思維升華 思維點撥 用向量證明線面平行的方法有 1 證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直 2 證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行 3 證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個不共線的向量線性表示 題型一證明平行問題 例1 2013 浙江改編 如圖 在四面體A BCD中 AD 平面BCD BC CD AD 2 BD 2 M是AD的中點 P是BM的中點 點Q在線段AC上 且AQ 3QC 證明 PQ 平面BCD 解析 思維升華 思維點撥 跟蹤訓(xùn)練1 2014 湖北 如圖 在棱長為2的正方體ABCD A1B1C1D1中 E F M N分別是棱AB AD A1B1 A1D1的中點 點P Q分別在棱DD1 BB1上移動 且DP BQ 0 2 1 當(dāng) 1時 證明 直線BC1 平面EFPQ 2 是否存在 使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角 若存在 求出 的值 若不存在 說明理由 方法一 1 證明如圖 1 連結(jié)AD1 由ABCD A1B1C1D1是正方體 知BC1 AD1 當(dāng) 1時 P是DD1的中點 又F是AD的中點 所以FP AD1 所以BC1 FP 而FP 平面EFPQ 且BC1 平面EFPQ 故直線BC1 平面EFPQ 圖 1 2 解如圖 2 連結(jié)BD 因為E F分別是AB AD的中點 又DP BQ DP BQ 所以四邊形PQBD是平行四邊形 故PQ BD 且PQ BD 圖 2 在Rt EBQ和Rt FDP中 因為BQ DP BE DF 1 于是EQ FP 所以四邊形EFPQ是等腰梯形 同理可證四邊形PQMN是等腰梯形 分別取EF PQ MN的中點為H O G 連結(jié)OH OG 則GO PQ HO PQ 而GO HO O 故 GOH是平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角的平面角 若存在 使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角 則 GOH 90 連結(jié)EM FN 則由EF MN 且EF MN 知四邊形EFNM是平行四邊形 連結(jié)GH 因為H G分別是EF MN的中點 所以GH ME 2 由OG2 OH2 GH2 方法二以D為原點 射線DA DC DD1分別為x y z軸的正半軸建立如圖 3 所示的空間直角坐標(biāo)系D xyz 圖 3 由已知得B 2 2 0 C1 0 2 2 E 2 1 0 F 1 0 0 P 0 0 M 2 1 2 N 1 0 2 而FP 平面EFPQ 且BC1 平面EFPQ 故直線BC1 平面EFPQ 2 解設(shè)平面EFPQ的一個法向量為n x y z 于是可取n 1 同理可得平面PQMN的一個法向量為m 2 2 1 若存在 使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角 則m n 2 2 1 1 0 題型二證明垂直問題 例2如圖所示 正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱長都為2 D為CC1的中點 求證 AB1 平面A1BD 解析 思維升華 思維點撥 證明線面垂直可以利用線面垂直的定義 即證線與平面內(nèi)的任意一條直線垂直 也可以證線與面的法向量平行 題型二證明垂直問題 例2如圖所示 正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱長都為2 D為CC1的中點 求證 AB1 平面A1BD 解析 思維升華 思維點撥 題型二證明垂直問題 例2如圖所示 正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱長都為2 D為CC1的中點 求證 AB1 平面A1BD 證明方法一設(shè)平面A1BD內(nèi)的任意一條直線m的方向向量為m 并且 a b c 2 a b a c 0 b c 2 以它們?yōu)榭臻g的一個基底 解析 思維升華 思維點撥 題型二證明垂直問題 例2如圖所示 正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱長都為2 D為CC1的中點 求證 AB1 平面A1BD 解析 思維升華 思維點撥 題型二證明垂直問題 例2如圖所示 正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱長都為2 D為CC1的中點 求證 AB1 平面A1BD 方法二如圖所示 取BC的中點O 連結(jié)AO 因為 ABC為正三角形 所以AO BC 因為在正三棱柱ABC A1B1C1中 平面ABC 平面BCC1B1 所以AO 平面BCC1B1 解析 思維升華 思維點撥 題型二證明垂直問題 例2如圖所示 正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱長都為2 D為CC1的中點 求證 AB1 平面A1BD 取B1C1的中點O1 以O(shè)為原點 y軸 z軸建立空間直角坐標(biāo)系 設(shè)平面A1BD的法向量為n x y z 解析 思維升華 思維點撥 題型二證明垂直問題 例2如圖所示 正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱長都為2 D為CC1的中點 求證 AB1 平面A1BD 解析 思維升華 思維點撥 題型二證明垂直問題 例2如圖所示 正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱長都為2 D為CC1的中點 求證 AB1 平面A1BD 故AB1 平面A1BD 解析 思維升華 思維點撥 用向量證明垂直的方法 1 線線垂直 證明兩直線所在的方向向量互相垂直 即證它們的數(shù)量積為零 2 線面垂直 證明直線的方向向量與平面的法向量共線 或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示 題型二證明垂直問題 例2如圖所示 正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱長都為2 D為CC1的中點 求證 AB1 平面A1BD 解析 思維升華 思維點撥 3 面面垂直 證明兩個平面的法向量垂直 或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎?題型二證明垂直問題 例2如圖所示 正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱長都為2 D為CC1的中點 求證 AB1 平面A1BD 解析 思維升華 思維點撥 跟蹤訓(xùn)練2如圖所示 在四棱錐P ABCD中 PC 平面ABCD PC 2 在四邊形ABCD中 B C 90 AB 4 CD 1 點M在PB上 PB 4PM PB與平面ABCD成30 角 1 求證 CM 平面PAD 證明以C為坐標(biāo)原點 分別以CB所在直線為x軸 CD所在直線為y軸 CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C xyz PC 平面ABCD PBC為PB與平面ABCD所成的角 PBC 30 令n x y z 為平面PAD的一個法向量 CM 平面PAD 2 求證 平面PAB 平面PAD PB AB BE PA 又PA DA A BE 平面PAD 又 BE 平面PAB 平面PAB 平面PAD 題型三解決探索性問題 例3如圖 棱柱ABCD A1B1C1D1的所有棱長都等于2 ABC和 A1AC均為60 平面AA1C1C 平面ABCD 1 求證 BD AA1 思維點撥 解析 題型三解決探索性問題 例3如圖 棱柱ABCD A1B1C1D1的所有棱長都等于2 ABC和 A1AC均為60 平面AA1C1C 平面ABCD 1 求證 BD AA1 思維點撥 解析 題型三解決探索性問題 例3如圖 棱柱ABCD A1B1C1D1的所有棱長都等于2 ABC和 A1AC均為60 平面AA1C1C 平面ABCD 1 求證 BD AA1 解設(shè)BD與AC交于點O 則BD AC 連結(jié)A1O 在 AA1O中 AA1 2 AO 1 A1AO 60 A1O AO 思維點撥 解析 思維點撥 解析 題型三解決探索性問題 例3如圖 棱柱ABCD A1B1C1D1的所有棱長都等于2 ABC和 A1AC均為60 平面AA1C1C 平面ABCD 1 求證 BD AA1 由于平面AA1C1C 平面ABCD A1O 平面ABCD 以O(shè)B OC OA1所在直線分別為x軸 y軸 z軸 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 思維點撥 解析 題型三解決探索性問題 例3如圖 棱柱ABCD A1B1C1D1的所有棱長都等于2 ABC和 A1AC均為60 平面AA1C1C 平面ABCD 1 求證 BD AA1 思維點撥 解析 例3 2 求二面角D A1A C的余弦值 例3 2 求二面角D A1A C的余弦值 思維點撥 解析 例3 2 求二面角D A1A C的余弦值 解由于OB 平面AA1C1C 平面AA1C1C的一個法向量為n1 1 0 0 設(shè)n2 x y z 為平面DAA1D1的一個法向量 思維點撥 解析 思維點撥 解析 例3 2 求二面角D A1A C的余弦值 取n2 1 1 則 n1 n2 即為二面角D A1A C的平面角 思維點撥 解析 例3 2 求二面角D A1A C的余弦值 所以 二面角D A1A C的余弦值為 思維點撥 解析 思維升華 例3 3 在直線CC1上是否存在點P 使BP 平面DA1C1 若存在 求出點P的位置 若不存在 請說明理由 例3 3 在直線CC1上是否存在點P 使BP 平面DA1C1 若存在 求出點P的位置 若不存在 請說明理由 思維點撥 解析 思維升華 例3 3 在直線CC1上是否存在點P 使BP 平面DA1C1 若存在 求出點P的位置 若不存在 請說明理由 思維點撥 解析 思維升華 解假設(shè)在直線CC1上存在點P 使BP 平面DA1C1 例3 3 在直線CC1上是否存在點P 使BP 平面DA1C1 若存在 求出點P的位置 若不存在 請說明理由 思維點撥 解析 思維升華 例3 3 在直線CC1上是否存在點P 使BP 平面DA1C1 若存在 求出點P的位置 若不存在 請說明理由 設(shè)n3 平面DA1C1 思維點撥 解析 思維升華 例3 3 在直線CC1上是否存在點P 使BP 平面DA1C1 若存在 求出點P的位置 若不存在 請說明理由 取n3 1 0 1 因為BP 平面DA1C1 思維點撥 解析 思維升華 例3 3 在直線CC1上是否存在點P 使BP 平面DA1C1 若存在 求出點P的位置 若不存在 請說明理由 即點P在C1C的延長線上 且C1C CP 思維點撥 解析 思維升華 例3 3 在直線CC1上是否存在點P 使BP 平面DA1C1 若存在 求出點P的位置 若不存在 請說明理由 對于 是否存在 型問題的探索方式有兩種 一種是根據(jù)條件作出判斷 再進(jìn)一步論證 另一種是利用空間向量 先設(shè)出假設(shè)存在點的坐標(biāo) 再根據(jù)條件求該點的坐標(biāo) 即找到 存在點 若該點坐標(biāo)不能求出 或有矛盾 則判定 不存在 思維點撥 解析 思維升華 跟蹤訓(xùn)練3如圖所示 四棱錐S ABCD的底面是正方形 每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍 P為側(cè)棱SD上的點 1 求證 AC SD 證明連結(jié)BD 設(shè)AC交BD于點O 則AC BD 由題意知SO 平面ABCD 跟蹤訓(xùn)練3如圖所示 四棱錐S ABCD的底面是正方形 每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍 P為側(cè)棱SD上的點 1 求證 AC SD 以O(shè)為坐標(biāo)原點 所在直線分別為x軸 y軸 z軸的正方向 建立空間直角坐標(biāo)系 如圖 跟蹤訓(xùn)練3如圖所示 四棱錐S ABCD的底面是正方形 每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍 P為側(cè)棱SD上的點 1 求證 AC SD 跟蹤訓(xùn)練3如圖所示 四棱錐S ABCD的底面是正方形 每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍 P為側(cè)棱SD上的點 1 求證 AC SD 故OC SD 從而AC SD 2 若SD 平面PAC 則側(cè)棱SC上是否存在一點E 使得BE 平面PAC 若存在 求SE EC的值 若不存在 試說明理由 2 若SD 平面PAC 則側(cè)棱SC上是否存在一點E 使得BE 平面PAC 若存在 求SE EC的值 若不存在 試說明理由 2 若SD 平面PAC 則側(cè)棱SC上是否存在一點E 使得BE 平面PAC 若存在 求SE EC的值 若不存在 試說明理由 而BE不在平面PAC內(nèi) 故BE 平面PAC 思想與方法系列14利用向量法解決立體幾何問題 典例 14分 2014 課標(biāo)全國 如圖 四棱錐P ABCD中 底面ABCD為矩形 PA 平面ABCD E為PD的中點 1 證明 PB 平面AEC 溫馨提醒 規(guī)范解答 證明連結(jié)BD交AC于點O 連結(jié)EO 因為ABCD為矩形 所以O(shè)為BD的中點 又E為PD的中點 所以EO PB 因為EO 平面AEC PB 平面AEC 所以PB 平面AEC 溫馨提醒 規(guī)范解答 1 利用向量法證明立體幾何問題 可以建坐標(biāo)系或利用基底表示向量 2 建立空間直角坐標(biāo)系時 要根據(jù)題中條件找出三條互相垂直的直線 3 利用向量除了可以證明線線平行 垂直 線面 面面平行 垂直外 還可以利用向量求夾角 距離 從而解決線段長度問題 體積問題等 溫馨提醒 規(guī)范解答 溫馨提醒 規(guī)范解答 2 設(shè)二面角D AE C為60 AP 1 AD 求三棱錐E ACD的體積 解因為PA 平面ABCD 四邊形ABCD為矩形 所以AB AD AP兩兩垂直 溫馨提醒 規(guī)范解答 設(shè)B m 0 0 m 0 設(shè)n1 x y z 為平面ACE的法向量 溫馨提醒 規(guī)范解答 又n2 1 0 0 為平面DAE的一個法向量 溫馨提醒 規(guī)范解答 因為E為PD的中點 三棱錐E ACD的體積 溫馨提醒 規(guī)范解答 1 利用向量法證明立體幾何問題 可以建坐標(biāo)系或利用基底表示向量 2 建立空間直角坐標(biāo)系時 要根據(jù)題中條件找出三條互相垂直的直線 3 利用向量除了可以證明線線平行 垂直 線面 面面平行 垂直外 還可以利用向量求夾角 距離 從而解決線段長度問題 體積問題等 溫馨提醒 規(guī)范解答 方法與技巧 1 用向量法解決立體幾何問題 是空間向量的一個具體應(yīng)用 體現(xiàn)了向量的工具性 這種方法可把復(fù)雜的推理證明 輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運算 降低了空間想象演繹推理的難度 體現(xiàn)了由 形 轉(zhuǎn) 數(shù) 的轉(zhuǎn)化思想 2 兩種思路 1 選好基底 用向量表示出幾何量 利用空間向量有關(guān)定理與向量的線性運算進(jìn)行判斷 2 建立空間坐標(biāo)系 進(jìn)行向量的坐標(biāo)運算 根據(jù)運算結(jié)果的幾何意義解釋相關(guān)問題 失誤與防范 用向量知識證明立體幾何問題 仍然離不開立體幾何中的定理 如要證明線面平行 只需要證明平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行 即化歸為證明線線平行 用向量方法證明直線a b 只需證明向量a b R 即可 若用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行 仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 設(shè)平面 的法向量為a 1 2 2 平面 的法向量為b 2 h k 若 則h k的值為 h 4 k 4 h k 0 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 AB與平面CDE平行或在平面CDE內(nèi) 平行或在平面內(nèi) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 已知A 4 1 3 B 2 5 1 C 3 7 5 則平行四邊形ABCD的頂點D的坐標(biāo)是 所以x 5 y 13 z 3 即D 5 13 3 5 13 3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4 已知a 2 1 3 b 1 4 2 c 7 5 若a b c三向量共面 則實數(shù) 解析由題意得c ta b 2t t 4 3t 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 5 如圖 在長方體ABCD A1B1C1D1中 AB 2 AA1 AD 2 P為C1D1的中點 M為BC的中點 則AM與PM所成的角為 解析以D點為原點 分別以DA DC DD1所在直線為x軸 y軸 z軸 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D xyz 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 答案90 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 6 已知平面 內(nèi)的三點A 0 0 1 B 0 1 0 C 1 0 0 平面 的一個法向量n 1 1 1 則不重合的兩個平面 與 的位置關(guān)系是 解析設(shè)平面 的法向量為m x y z m 1 1 1 m n m n 平行 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 7 設(shè)點C 2a 1 a 1 2 在點P 2 0 0 A 1 3 2 B 8 1 4 確定的平面上 則a 則 2a 1 a 1 2 x 1 3 2 y 6 1 4 x 6y 3x y 2x 4y 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 答案16 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 8 設(shè)u 2 2 t v 6 4 4 分別是平面 的法向量 若 則t 解析 u v u v 0 12 8 4t 0 t 5 5 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 9 如圖 四邊形ABCD為正方形 PD 平面ABCD PD QA QA AB PD 證明 平面PQC 平面DCQ 證明如圖 以D為坐標(biāo)原點 線段DA的長為單位長 射線DA DP DC分別為x軸 y軸 z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D xyz 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 又DQ DC D 故PQ 平面DCQ 又PQ 平面PQC 平面PQC 平面DCQ 10 如圖 在底面是矩形的四棱錐P ABCD中 PA 底面ABCD E F分別是PC PD的中點 PA AB 1 BC 2 1 求證 EF 平面PAB 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 證明以A為原點 AB所在直線為x軸 AD所在直線為y軸 AP所在直線為z軸 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 則A 0 0 0 B 1 0 0 C 1 2 0 D 0 2 0 P 0 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 又AB 平面PAB EF 平面PAB EF 平面PAB 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 2 求證 平面PAD 平面PDC 又AP AD A DC 平面PAD DC 平面PDC 平面PAD 平面PDC 1 如圖 正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直 AB AF 1 M在EF上 且AM 平面BDE 則M點的坐標(biāo)為 解析設(shè)M點的坐標(biāo)為 x y 1 AC BD O 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 15 2 如圖 在正方體ABCD A1B1C1D1中 棱長為a M N分別為A1B和AC上的點 A1M AN 則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 MN 平面B1BCC1 答案平行 2 3 4 5 1 3 在正方體ABCD A1B1C1D1中 P為正方形A1B1C1D1四邊上的動點 O為底面正方形ABCD的中心 M N分別為AB BC的中點 點Q為平面ABCD內(nèi)一點 線段D1Q與OP互相平分 則滿足的實數(shù) 有 個 2 3 4 5 1 解析建立如圖的坐標(biāo)系 設(shè)正方體的邊長為2 則P x y 2 O 1 1 0 又知D1 0 0 2 Q x 1 y 1 0 而Q在MN上 xQ yQ 3 x y 1 即點P坐標(biāo)滿足x y 1 有2個符合題意的點P 即對應(yīng)有2個 答案2 2 3 4 5 1 4 如圖所示 已知直三棱柱ABC A1B1C1中 ABC為等腰直角三角形 BAC 90 且AB AA1 D E F分別為B1A C1C BC的中點 求證 1 DE 平面ABC 證明如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz 令A(yù)B AA1 4 2 3 4 5 1 則A 0 0 0 E 0 4 2 F 2 2 0 B 4 0 0 B1 4 0 4 取AB中點為N 連結(jié)CN 則N 2 0 0 C 0 4 0 D 2 0 2 又 NC 平面ABC DE 平面ABC 故DE 平面ABC 2 3 4 5 1 2 B1F 平面AEF 又 AF EF F B1F 平面AEF 2 3 4 5 1 5 在四棱錐P ABCD中 PD 底面ABCD 底面ABCD為正方形 PD DC E F分別是AB PB的中點 1 求證 EF CD 證明如圖 分別以DA DC DP所在直線為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標(biāo)系 設(shè)AD a 則D 0 0 0 A a 0 0 B a a 0 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 在平面PAD內(nèi)求一點G 使GF 平面PCB 并證明你的結(jié)論 若使GF 平面PCB 則 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1