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第四章三角函數(shù) 高考文數(shù) 4 3三角恒等變換 知識(shí)清單 考點(diǎn)兩角和與差的三角公式和二倍角公式 tan tan tan 1 tan tan tan tan tan 1 tan tan 2 升冪公式1 cos 2cos2 1 cos 2sin2 3 降冪公式sin2 cos2 4 其他常用變形sin2 cos2 拓展延伸1 公式的變形與應(yīng)用 1 兩角和與差的正切公式的變形 1 sin tan 2 輔助角公式asin bcos sin 其中cos sin 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)方法1 化簡(jiǎn)原則 1 一看 角 這是最重要的一環(huán) 通過(guò)看角之間的差別與聯(lián)系 把角合理地拆分 從而正確運(yùn)用公式 2 二看 函數(shù)名稱(chēng) 看函數(shù)名稱(chēng)之間的差異 從而確定要使用的公式 3 三看 結(jié)構(gòu)特征 分析結(jié)構(gòu)特征 可以幫助我們找到變形的方向 常見(jiàn)的有 遇到分式要通分 遇到根式一般要升冪 等 2 化簡(jiǎn)要求 1 使三角函數(shù)式的項(xiàng)數(shù)最少 次數(shù)最低 角與函數(shù)名稱(chēng)的種類(lèi)最少 2 盡量使分母不含三角函數(shù) 3 盡量使被開(kāi)方數(shù)不含三角函數(shù)等 方法技巧 3 化簡(jiǎn)方法 1 直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次 消項(xiàng) 2 切化弦 異角化同角 異次化同次 異名化同名 3 三角公式的逆用等 例1 1 2014課標(biāo) 8 5分 設(shè) 且tan 則 C A 3 B 3 C 2 D 2 2 化簡(jiǎn) 0 解題導(dǎo)引 1 由切化弦及兩角差的正弦得cos sin 利用誘導(dǎo)公式得sin sin 利用 的取值范圍得 結(jié)論 2 利用倍角公式化成同角三角函數(shù)利用同角三角函數(shù)關(guān)系及 的范圍得結(jié)果 解析 1 由tan 得 即sin cos cos sin cos 所以sin cos 又cos sin 所以sin sin 又因?yàn)?所以 0 因此 所以2 故選C 2 原式 cos 因?yàn)?0 所以原式 cos 答案 2 cos 三角函數(shù)式的求值方法1 給角求值 一般所給出的角都是非特殊角 從表面上看是很難的 但非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系 解題時(shí) 要利用這種關(guān)系 結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)并且消掉非特殊角的三角函數(shù)而得解 2 給值求值 給出某些角的三角函數(shù)式的值 求另外一些角的三角函數(shù)式的值 解題關(guān)鍵在于 變角 使角相同或具有某種關(guān)系 3 給值求角 實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為 給值求值 先求角的某一三角函數(shù)值 再求角的范圍 確定角 例2 1 2017湖北百所重點(diǎn)學(xué)校高三聯(lián)考 10 4sin80 等于 B A B C D 2 3 2 2017課標(biāo)全國(guó) 15 5分 已知 tan 2 則cos 解題導(dǎo)引 1 對(duì)原式進(jìn)行通分利用誘導(dǎo)公式及拆角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)結(jié)論 2 由tan 2得sin 2cos 結(jié)合sin2 cos2 1及 的取值范圍得sin 與cos 的值代入兩角差的余弦公式得結(jié)果 解析 1 4sin80 故選B 2 因?yàn)?且tan 2 所以sin 2cos 又sin2 cos2 1 所以sin cos 則cos cos cos sin sin 答案 2 利用輔助角公式解決問(wèn)題的方法利用asinx bcosx sin x 把形如y asinx bcosx k的函數(shù)化為一個(gè)角的一種三角函數(shù)的一次式 從而可以求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 周期 值域和最值 圖象的對(duì)稱(chēng)軸以及對(duì)稱(chēng)中心等問(wèn)題 同時(shí)要牢記30 45 60 等特殊角的三角函數(shù)值 能合理選用公式 例3 2017山西臨汾二模 11 已知函數(shù)f x sin2x sinxcosx 當(dāng)x 時(shí) 函數(shù)y f x 取得最小值 則 C A 3B 3C D 解題導(dǎo)引利用降冪公式及輔助角公式將f x 化成同名同角三角函數(shù)利用三角函數(shù)的有界性求得f x 取最小值時(shí)2 的值代入2 的值求得代數(shù)式結(jié)果 解析f x sin2x sinxcosx sin2x cos2x sin 當(dāng)x 時(shí) 函數(shù)y f x 取得最小值 即2 2k k Z 那么2 2k k Z 則 故選C 例4 2015天津 15 13分 已知函數(shù)f x sin2x sin2 x R 1 求f x 的最小正周期 2 求f x 在區(qū)間上的最大值和最小值 解析 1 由已知 有f x cos2x sin2x cos2x sin 所以f x 的最小正周期T 2 因?yàn)閒 x 在區(qū)間上是減函數(shù) 在區(qū)間上是增函數(shù) f f 所以f x 在區(qū)間上的最大值為 最小值為