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2019版中考數(shù)學 三角形分類訓練四 解直角三角形 魯教版 典例詮釋： 考點一 勾股定理及其逆定理的應用 例1 (xx大興一模)《九章算術》中記載：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”譯文：有一根竹子原高一丈(1丈=10尺)，中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？如圖1-10-95，我們用線段OA和線段AB來表示竹子，其中線段AB表示竹子折斷部分，用線段OB表示竹梢觸地處離竹根的距離，則竹子折斷處離地面的高度OA是 尺. 圖1-10-95 【答案】 【名師點評】 本題是以古代數(shù)學著作為背景，首先要讀懂題目，哪些線段是已知，哪些線段是未知：OB=3，OA+AB=10，求OA的長，利用勾股定理即可得解. 考點二 求三角函數(shù)值 例2 (xx延慶一模)如圖1-10-96，在44的正方形網(wǎng)格中，tan α的值等于( ) 圖1-10-96 A.2 B. C. D. 【答案】 A 【名師點評】求三角函數(shù)方法較多，解法靈活，在具體的解題中要根據(jù)已知條件采取靈活的計算方法．常用的方法有：①根據(jù)特殊的三角函數(shù)值求值；②直接應用三角函數(shù)定義;③借助變量之間的數(shù)量關系求值;④根據(jù)三角函數(shù)關系求值;⑤構造直角三角形求值. 例3 (xx懷柔二模)如圖1-10-97，在地面上的點A處測得樹頂B的仰角為α度，AC=7米，則樹高BC為( ) 圖1-10-97 A．7sin α米 B．7cos α米 C．7tan α米 D．(7+α)米 【答案】 C 【名師點評】 此題考查三角函數(shù)的定義和仰角的知識，已知∠A、AC，求BC，利用∠A的正切值即可. 考點三 特殊三角函數(shù)值的計算 例4 (xx懷柔一模)2sin 45－． 【答案】 2 【名師點評】 此題考查了實數(shù)的運算，掌握零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪的運算法則是關鍵，另外要求我們熟練記憶一些特殊角的三角函數(shù)值． 考點四 解直角三角形 例5 如圖1-10-98，在△ABC中，∠A=30，∠B=45，AC=2，求AB的長. 圖1-10-98 【答案】 3+ 【名師點評】 將斜三角形轉化為直角三角形是解決三角形中有關計算的重要思想方法，解決的方法是作三角形的高． 例6 (xx東城二模)如圖1-10-99，矩形ABCD中，M為BC上一點，F(xiàn)是AM的中點，EF⊥AM，垂足為F，交AD于點E． (1)求證：∠BAM=∠AEF； (2)若AB=4，AD=6，cos∠BAM=，求DE的長. 圖1-10-99 (1)【證明】 ∵ 四邊形ABCD是矩形， ∴ ∠B=∠BAD=90. ∵ EF⊥AM，∴ ∠AFE=∠B=∠BAD=90. ∴ ∠BAM+∠EAF=∠AEF+∠EAF=90. ∴ ∠BAM=∠AEF. (2)【解】 在Rt△ABM中，∠B=90，AB=4，cos∠BAM=，∴ AM=5. ∵ F為AM中點，∴ AF=. ∵ ∠BAM=∠AEF，∴ cos∠BAM=cos∠AEF=.∴ sin∠AEF=. 在Rt△AEF中，∠AFE=90，AF=，sin∠AEF=， ∴ AE=，∴ DE=AD－AE=6－=. 【名師點評】 (1)通過“同角的余角相等”易證；(2)在△ABM中，知AB和∠BAM的余弦值可以得到AM的長，再利用相似或三角函數(shù)求AE的長，從而求出DE的長. 考點五 解直角三角形的應用 例7 (xx門頭溝一模)如圖1-10-100，A，B，C表示修建在一座山上的三個纜車站的位置，AB，BC表示連接纜車站的鋼纜．已知A，B，C所處位置的海拔，，分別為130米，400米，1 000米．由點 A測得點B的仰角為30，由點B測得點C的仰角為45，那么AB和BC的總長度是( ) 圖1-10-100 A.1 200+270 B.800+270 C.540+600 D.800+600 【答案】 C 基礎精練： 1.(xx平谷一模)在我國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載了一道有趣的數(shù)學問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長各幾何？”這個數(shù)學問題的意思是說：“有一個邊長為1丈(1丈=10尺)的正方形水池，在水池正中央長有一根蘆葦，蘆葦露出水面 1 尺．如果把這根蘆葦拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面．請問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多少？”如圖1-10-101，設這個水池的深度是x尺，根據(jù)題意，可列方程為 ． 圖1-10-101 【答案】 2.(xx順義一模)《算法統(tǒng)綜》是中國古代數(shù)學名著，作者是我國明代數(shù)學家程大偉，在《算法統(tǒng)綜》有一道“蕩秋千”的問題:“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記，仕女家人爭蹴．良工高士素好奇，算出索長有幾？” 譯文：“有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推送10尺(水平距離)時，秋千的踏板就和人一樣高，這個人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直，試問繩索有多長？”如圖1-10-102，設秋千的繩索長為x尺，根據(jù)題意可列方程 . 【答案】 圖1-10-102 3.如圖1-10-103，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行 米． 圖1-10-103 【答案】 10 4.(xx通州一模)在我國古算書《周髀算經(jīng)》中記載周公與商高的談話，其中就有勾股定理的最早文字記錄，即“勾三股四弦五”，亦被稱作商高定理. 如圖1-10-104是由邊長相等的小正方形和直角三角形構成的，可以用其面積關系驗證勾股定理. 圖1-10-105是由圖1-10-104放入矩形內得到的，∠BAC=90，AB=3，AC=4，D，E，F(xiàn)，G，H，I都在矩形KLMJ的邊上，那么矩形KLMJ的面積為 . 圖1-10-104 圖1-10-105 【答案】 110 6.(xx豐臺二模)如圖1-10-106所示，河堤橫斷面迎水坡AB的坡角是30，堤高BC= 5 m，則坡面AB的長度是( ) 圖1-10-106 A.10 m B.10 m C.15 m D.5 m 【答案】 A 7.(xx平谷二模)如圖1-10-107，為測量一棵與地面垂直的樹BC的高度，在距離樹的底端4米的A處，測得樹頂B的仰角∠α=74，則樹BC的高度為( ) 圖1-10-107 A.米 B.4sin 74米 C.4tan 74米 D.4cos 74米 【答案】 C 8.(xx西城一模)某滑雪場舉辦冰雪嘉年華活動，采用直升機航拍技術拍攝活動盛況．如圖1-10-108，通過直升機的鏡頭C觀測水平雪道一端A處的俯角為30，另一端B處的俯角為45．若直升機鏡頭C處的高度CD為300米，點A，D，B在同一直線上，則雪道AB的長度為( ) 圖1-10-108 A．300米 B．1 502米 C．900米 D．(300+300)米 【答案】 D 9.(xx順義二模)如圖1-10-109，為了使電線桿穩(wěn)固的垂直于地面，兩側常用拉緊的鋼絲繩索固定，由于鋼絲繩的交點E在電線桿的上三分之一處，所以知道BE的高度就可以知道電線桿AB的高度了．要想得到BE的高度，需要測量出一些數(shù)據(jù)，然后通過計算得出. 請你設計出要測量的對象： ； 請你寫出計算AB高度的思路： . 圖1-10-109 【解】 ∠BCE和線段BC； 思路：①在Rt△BCE中，由tan∠BCE=，求出BE=BCtan∠BCE， ②由AE=AB，可求得BE=AB，AB=BE=BCtan∠BCE． 10.(xx延慶一模)如圖1-10-110，甲船在港口P的南偏西60方向，距港口86海里的A處，沿AP方向以每小時15海里的速度勻速駛向港口P．乙船從港口P出發(fā)，沿南偏東45方向勻速駛離港口P，現(xiàn)兩船同時出發(fā)，2小時后乙船在甲船的正東方向．求乙船的航行速度．(結果精確到個位，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732，≈2.236) 圖1-10-110 【解】 依題意，設乙船速度為每小時x海里，2小時后甲船在點B處，乙船在點C處，PC=2x， 如圖1-10-111,過P作PD⊥BC于D，∴ BP=86－215=56. 圖1-10-111 在Rt△PDB中，∠PDB=90,∠BPD=60，∴ PD=PBcos 60=28. 在Rt△PDC中，∠PDC=90，∠DPC=45， ∴ PD=PCcos 45=2x=x，∴ x=28，即x=14≈20． 答：乙船的航行速度為每小時20海里． 11.(xx通州二模)如圖1-10-112，在ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，EF∥AD，請直接寫出與AE相等的線段 (兩條即可)，寫出滿足勾股定理的等式 .(一組即可) 圖1-10-112 【答案】 AD，DF 12.(xx平谷二模)已知：如圖1-10-113，∠ACB=90，AC=BC , AD = BE, ∠CAD=∠CBE, (1)判斷△DCE的形狀，并說明你的理由； (2)當BD∶CD=1∶2，∠BDC=135時，求sin∠BED的值. 圖1-10-113 【解】 (1)如圖1-10-114. 圖1-10-114 ∵ AC=BC,AD=BE,∠CAD=∠CBE, ∴ △ADC≌△BEC,∴ DC=EC,∠1=∠2. ∵ ∠1+∠BCD=90，∴ ∠2+∠BCD=90. ∴ △DCE是等腰直角三角形. (2)∵ △DCE是等腰直角三角形，∴ ∠CDE=45. ∵ ∠BDC=135，∴ ∠BDE=90. ∵ BD∶CD=1∶2, 設BD=x，則CD=2x，DE=2x，BE=3x.∴ sin∠BED==. 13.如圖1-10-115所示，邊長為1的小正方形構成的網(wǎng)格中，半徑為1的⊙O的圓心O在格點上，則∠AED的正切值等于 ． 圖1-10-115 【答案】 14.(xx豐臺二模)將兩個直角三角板按圖1-10-116中方式疊放，BC=4，那么BD= . 圖1-10-116 【答案】 2 15.(xx石景山一模)如圖1-10-117，在四邊形ABCD中，AB=2,∠A=∠C=60,DB⊥AB于點B，∠DBC=45，求BC的長. 圖1-10-117 【解】 如圖1-10-118,過點D作DE⊥BC于點E. 圖1-10-118 ∵ DB⊥AB,AB=2，∠A=60，∴ BD=ABtan 60=2. ∵ ∠DBC=45，DE⊥BC，∴ BE=DE=BDsin 45=. ∵ ∠C=∠A=60，∠DEC=90，∴ CE==，∴ BC=+. 16.(xx昌平一模)如圖1-10-119，已知：BD是四邊形ABCD的對角線，AB⊥BC，∠C=60，AB=1，BC=3+，CD=2. (1)求tan∠ABD的值； (2)求AD的長. 圖1-10-119 【解】 (1)如圖1-10-120,作DE⊥BC于點E. ∵ 在Rt△CDE中，∠C=60，CD=2， ∴ CE=,DE=3. ∵ BC=3+，∴ BE=BC－CE=3+=3. ∴ DE=BE=3. ∴ 在Rt△BDE中，∠EDB=∠EBD=45. ∵ AB⊥BC，∠ABC=90， ∴ ∠ABD=∠ABC－∠EBD=45.∴ tan∠ABD=1. 圖1-10-120 (2)如圖1-10-120,作AF⊥BD于點F. 在Rt△ABF中，∠ABF=45,AB=1，∴ BF=AF=. ∵ 在Rt△BDE中，DE=BE=3， ∴ BD=3.∴ DF=BD－BF=3=. ∴ 在Rt△AFD中，AD==. 17.(xx西城一模)如圖1-10-121，在ABCD中，過點A作AE⊥DC交DC的延長線于點E，過點D作DF∥EA交BA的延長線于點F． (1)求證：四邊形AEDF是矩形； (2)連接BD，若AB=AE=2，tan∠FAD=，求BD的長． 圖1-10-121 (1)【證明】 ∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，∴ AB∥DC，即AF∥ED. ∵ DF∥EA,∴ 四邊形AEDF是平行四邊形. ∵ AE⊥DE，∴ ∠E=90，∴ 四邊形AEDF是矩形. (2)【解】 如圖1-10-122. 圖1-10-122 ∵ 四邊形AEDF是矩形，∴ FD=AE=2，∠F=90. ∵ 在Rt△AFD中，tan∠FAD==，∴ AF=5. ∵ AB=2，∴ BF=AB+AF=7. ∴ 在Rt△BFD中，BD==. 真題演練： 1.(xx北京)計算：+4sin 45－+|1－|. 【答案】 2.(xx北京)如圖1-10-123，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點E，∠BAC＝90，∠CED＝45，∠DCE＝30，DE＝，BE＝2.求CD的長和四邊形ABCD的面積. 圖1-10-123 【解】 如圖1-10-124,過點D作DH⊥AC， 圖1-10-124 ∵ ∠CED=45，DH⊥EC，DE=，∴ EH=DH=1. 又∵ ∠DCE=30，∴ HC=，DC=2. ∵ ∠AEB=45，∠BAC=90，BE=2，∴ AB=AE=2， ∴ AC=2+1+=3+， ∴ =2(3+)+1(3+)=.