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不等式推理與證明 第六章 第六講直接證明與間接證明 知識梳理雙基自測 1 直接證明 推理論證 成立的方法 證明的結(jié)論 充分條件 2 間接證明 1 反證法的定義假設(shè)原命題不成立 經(jīng)過正確的推理 最后得出矛盾 因此說明 從而證明 的證明方法 2 利用反證法證題的步驟 假設(shè)命題的結(jié)論不成立 即假設(shè)結(jié)論的反面成立 由假設(shè)出發(fā)進行正確的推理 直到推出矛盾為止 由矛盾斷言假設(shè)不成立 從而肯定原命題的結(jié)論成立 簡言之 否定 歸謬 斷言 假設(shè)錯誤 原命題成立 1 分析法與綜合法相輔相成 對較復(fù)雜的問題 常常先從結(jié)論進行分析 尋求結(jié)論與條件 基礎(chǔ)知識之間的關(guān)系 找到解決問題的思路 再運用綜合法證明 或者在證明時將兩種方法交叉使用 2 利用反證法證明數(shù)學(xué)問題時 要假設(shè)結(jié)論錯誤 并用假設(shè)命題進行推理 沒有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果 其推理過程是錯誤的 3 當(dāng)我們解答問題較難直接解答時 可考慮從反面突破 即 正難則反 往往能夠 化難為易 B A 3 若a b c是不全相等的實數(shù) 求證 a2 b2 c2 ab bc ca 證明過程如下 因為a b c R 所以a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ac 又因為a b c不全相等 所以以上三式至少有一個等號不成立 所以將以上三式相加得2 a2 b2 c2 2 ab bc ac 所以a2 b2 c2 ab bc ca 此證法是 A 分析法B 綜合法C 分析法與綜合法并用D 反證法 B C 5 用反證法證明命題 三角形三個內(nèi)角至少有一個不大于60 時 應(yīng)假設(shè) A 三個內(nèi)角都不大于60 B 三個內(nèi)角都大于60 C 三個內(nèi)角至多有一個大于60 D 三個內(nèi)角至多有兩個大于60 解析 三角形三個內(nèi)角至少有一個不大于60 的對立面為三個內(nèi)角都大于60 B 考點突破互動探究 考點1綜合法的應(yīng)用 自主練透 例1 B a b 綜合法是由因?qū)Ч淖C明方法 它是一種從已知到未知的邏輯推理方法 在用綜合法證題時 首先要根據(jù)已知條件與結(jié)論之間的關(guān)系 選擇合適的定理 公理 公式等 從而確定恰當(dāng)?shù)慕忸}方法 已知a b R a b e 其中e是自然對數(shù)的底數(shù) 用分析法求證 ba ab 考點2分析法的應(yīng)用 師生共研 例2 分析法的證明思路 先從結(jié)論入手 由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件 而當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題 定義 公理 定理 法則 公式等 或要證命題的已知條件時命題得證 變式訓(xùn)練1 考點3反證法的應(yīng)用 師生共研 例3 對于直接從正面入手很難找到突破口 或結(jié)論中含 至多 至少 都是 都不是 唯一 等形式的命題時 ?？紤]用反證法證明 用反證法證明時 一般分為三個步驟 1 反設(shè) 假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立 即結(jié)論的反面成立 2 歸謬 由反設(shè)出發(fā) 結(jié)合已知條件 通過正確的邏輯推理 推得矛盾 3 斷言 由所得的矛盾斷言反設(shè)不成立 即原命題成立 反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾 矛盾可以是 與已知條件矛盾 與假設(shè)矛盾 與定義 公理 定理矛盾 與事實矛盾等方面 常見的結(jié)論和反設(shè)詞 D 名師講壇素養(yǎng)提升 一 換元法證不等式已知a b R a2 b2 4 求證 3a2 8ab 3b2 20 方法思想 用換元法與放縮法證明不等式 例4 變式訓(xùn)練3 B 例5 變式訓(xùn)練4 B